6.2.2第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系建立、空间点与向量的坐标表示及线性运算，从平面直角坐标系延伸，通过单位正交基底构建空间坐标系，衔接平面向量知识，为学生从二维到三维学习提供支架。 其亮点是“知识点提炼+题型解析+反思总结”结构，结合正四棱锥顶点坐标求解、正方体线线平行证明等实例，培养学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理坐标关系，用数学语言规范运算表达。题后反思助学生形成解题规律，教师可提升教学效率，学生能深化空间观念与运算能力。

6.2.2 空间向量的坐标表示 第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示 1 【课标要求】 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.会用空间直角坐标刻画点的位置,能用空间直角坐标表示空间向量. 3.掌握空间向量线性运算的坐标表示. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 1.空间直角坐标系 如图,在空间选定一点和一个单位正交基底{,,},以点为原点,分别以,, 的方 向为正方向建立三条数轴：轴、轴、 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个 空间直角坐标系.点 叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面, 分别称为平面、平面和 平面. 4 2.空间中点的坐标的求法 如图,在空间直角坐标系中,对于空间任意一点 ,我 们称向量为点的位置向量.把与向量 对应的有序实数组 叫作点的坐标,记作 . 5 名师点睛 （1）<m></m>,<m></m>. （2）画空间直角坐标系<m></m>时,一般使<m></m> （或<m></m>）,<m></m> . （3）建立的空间直角坐标系均为右手直角坐标系. （4）坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点如下表所示. 轴上 平面上 轴上 平面上 轴上 平面上 坐标原点 6 知识点2.空间向量的坐标表示及运算 1.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系中,对于空间任意一个向量 ,根据空间向量基本定理,存 在唯一的有序实数组,使.有序实数组 叫作向 量在空间直角坐标系中的坐标,记作 . 7 2.空间向量坐标运算法则 （1）设, , 则 , , , . 空间向量平行的坐标表示为 ,, . （2）若,,则 .即 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. 名师点睛 已知,,若,则 . 8 题型分析·能力素养提升 9 【题型一】求空间点的坐标 例1（1） 点关于 轴的对称点的坐标是__________ ___,关于坐标平面 的对称点的坐标是___________. [解析] 在空间直角坐标系中,点关于 轴的对称点 的横坐标不变,纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数,即 ；点关于坐标平面 的对称点的横 坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,即 . 10 （2）设正四棱锥 的所有棱长均为2,建立如图所示的空间直角坐标系,求各 个顶点的坐标. 解 在空间直角坐标系中,为底面正方形的中心,轴,轴,在 轴上. ,且,,,均在 平面上, , . 在平面内,与关于原点对称,与关于原点 对称, , . 又, , 在中, , . 11 题后反思（1）求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标,其规律是“关于谁对称,谁 不变”,如点关于轴的对称点为,关于平面的对称点为 . （2）建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一 般要使尽量多的点落在坐标轴上.对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线 为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与 轴所在直线平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴所在直线平行的线段长度,同时要 注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键. 12 跟踪训练1 已知点,,（为坐标原点）,则点 的坐标为 __________. [解析] 设点的坐标为 , 则, , ,解得 点的坐标为 . 13 【题型二】求空间向量的坐标 【例2】 在直三棱柱中,,, , ,为的中点,如图所示,在空间直角坐标系中,求, 的坐标. 解 由题可得, . , . 14 规律方法 用坐标表示空间向量的步骤 15 跟踪训练2 已知垂直于正方形所在的平面,, 分别是 ,的中点,并且 .如图所示,在空间直角坐标系中, 求向量 的坐标. 16 解 因为 , 所以可设,, . 因为 , 所以,, . 17 【题型三】空间向量的坐标运算 例3 已知空间三点,, . （1）求, ; 解 , . . . 18 （2）是否存在实数,,使得成立?若存在,求, 的值；若不存在,请说 明理由. 解 存在. 由题可得 , 则 , 所以 , 所以解得 所以存在实数, ，使得结论成立. 题后反思（1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐 标减去起点的坐标.特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标. （2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则. 19 跟踪训练3 已知为坐标原点,,,三点的坐标分别是,, .求 点的坐标,使得 成立. 解, , . 设点的坐标为 , 则 . ,, , 解得 则点的坐标为,, . 20 【题型四】空间向量平行的坐标表示及应用 例4 如图所示,在空间直角坐标系中,正方体 的棱长为2,求证： 21 （1） ； 证明 由题图可知,,, . 则, , . 又与 无公共点, . 22 （2） . 证明, , . 又与 无公共点, . 题后反思空间向量平行的坐标表示的应用主要有:（1）证明平行问题；（2）已知平 行求参数；（3）已知平行求点的坐标. 23 跟踪训练4（1） 设,,若,则 ___. 6 [解析] , , ,, . 24 （2）已知四边形的顶点坐标分别为,, , .求证：四边形 为梯形. 证明 , , 且,与 共线. 又 , , 且,与 不共线. 四边形 为梯形. 25 $