6.2.1 空间向量基本定理课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理及基底概念，通过联系平面向量基本定理，从二维到三维逐步拓展，搭建学习支架，帮助学生理解空间向量的线性表示及唯一性。 其亮点在于结合具体例题（如基底判断用反证法，向量表示结合几何图形）和跟踪训练，培养学生的空间观念（数学眼光）与逻辑推理（数学思维），题后反思总结方法提升符号表达（数学语言）能力。学生能提升空间想象与推理能力，教师可获得系统教学资源提高效率。

6.2 空间向量的坐标表示 6.2.1 空间向量基本定理 1 【课标要求】 1.掌握空间向量基本定理及其推论,理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示,而且这种表示是唯一的. 2.在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一个空间向量. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.空间向量基本定理及其推论 1.空间向量基本定理：如果三个向量,,不共面,那么对空间任一向量 ,存在 唯一的有序实数组,使 . 2.基底的有关概念 定义 在空间向量基本定理中,如果三个向量,, 不共面,那么空间的每一个向量都可 由向量,,线性表示.我们把,,称为空间的一个基底,,, 叫作基向量 正交基 底与单 位正交 基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底.特别地, 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用 {,, }表示 4 3.空间向量基本定理的推论 设,,,是不共面的四点,则对空间任意一点,都存在唯一的有序实数组 , 使得 . 名师点睛 （1）任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底; （2）一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联 的不同概念; （3）不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同; （4）任意一个空间基底都可生成空间的所有向量. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】基底的判断 例1 已知{,,是空间的一个基底,且, , ,试判断,, }能否作为空间的一个基底. 解 假设,,共面,则存在实数和,使得 ,则 ， 即 , 所以 此方程组无解, 所以,, 不共面, 所以,, }能作为空间的一个基底. 7 规律方法 基底的判断思路 判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面.若不共 面,就可以作为一个基底.常用反证法来判断. 跟踪训练1 若{,, }为空间的一个基底,则下列各组向量中一定能构成空间的一个基 底的是____.（填序号） ,, ,, ,, ,, ③ 8 [解析] ①中,,即,, 三个向量共面,所以①中的向量 不能作为基底; ②中,,即,, 三个向量共面,所以②中的向量不能作 为基底; ③中,因为{,,}为空间的一个基底,则,不共线,则与不共线,所以 与 ,共面,与, 共面, 所以与, 不共面,所以③中的三个向量可以作为空间的一个基底; ④中,,即,, 三个向量共面,所以④中的 三个向量不能作为基底. 故答案为③. 9 【题型二】用基底表示空间向量 例2 如图,四棱锥的底面为一矩形, 平面,设, , ,,分别是和的中点,试用,,表示,,, . 10 解 如图,连接 , 则 , 11 , , . 题后反思 用基底表示向量时的注意事项 （1）若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以 及数乘向量的运算律进行； （2）若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表 示其他向量,以及基向量的模及其夹角已知或易求. 跟踪训练2 在四面体中,设,,,,分别是, 的中点,试用 ,,表示向量 . 13 解 如图所示, . 14 【题型三】空间向量基本定理的应用 例3 如图,在平行六面体中,以顶点 为端 点的三条棱的长度都为1,且两两夹角为 .求: （1） 的长; 解 设,, , 则,,,, , 所以 . , 所以,即的长为 . 15 （2）异面直线与 所成角的余弦值. 解 因为, , 所以, , , 所以, , 所以异面直线与所成角的余弦值为 . 题后反思 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件,确定三 个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定 一个单位正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向 量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量.最后把空间向量的运算转化为 基向量的运算. 16 跟踪训练3 如图,已知在三棱锥中,,,,分别为 , ,,的中点,若,求证: . 证明 设,, . ,分别为, 的中点, . 同理, , . ,即, , ,即 . 17 $