广东肇庆市端州中学2025-2026学年第二学期高二数学期中检测试题

**基本信息** 本试卷聚焦高二数学核心内容，以导数应用（如瞬时速度、切线方程）、排列组合（分书问题）、概率统计（全概率公式）为载体，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，考查数学思维的严谨性与数学语言的应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|导数物理意义、求导法则、排列组合基础|注重概念辨析，如第7题结合等比数列与极值点考查数学眼光| |多选题|3|函数单调性图像分析、极值点判断|强调逻辑推理，如第9题通过图像辨析单调区间培养数学思维| |填空题|3|二项式系数、导数计算、概率应用|突出简洁表达，如第14题用全概率公式解决水果新鲜率问题体现数学语言| |解答题|5|导数综合应用、排列组合分组、概率统计|分层设计，如第19题讨论函数单调性与恒成立问题，提升创新应用能力|

2025-2026学年第二学期高二级数学科期中检测 一、单选题 1．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（   ）米/秒 A．10 B．8 C．6 D．4 2．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在曲线上的点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（    ） A．81 B．64 C．12 D．36 5．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 7．在等比数列中，是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C． D．1 8．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．题图为的图像，下列判断中正确的是（    ）． A．函数在区间上是严格减函数 B．函数在区间上是严格减函数 C．函数在区间上是严格增函数 D．函数在区间上是严格增函数 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数定义域内的极大值点 B．在上的最小值为 C．是函数定义域内的极小值点 D．在定义域内既无最大值又无最小值 11．已知，则（    ） A． B． C． D．除以8所得的余数是7 三、填空题 12．在的展开式中，的系数为_____________. 13．已知函数，则______. 14．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 四、解答题 15．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 16．要把9本不同的课外书分给甲、乙、丙3名同学： (1)如果每个人都得3本，则共有不同的分法多少种？ (2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，则共有不同的分法多少种？ 17．已知函数. (1)若1是的一个极大值点，求a的值； (2)若的两个极值点均为正数，求a的取值范围. 18．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年第二学期高二级数学科期中检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A C C A A AC BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】由得，利用导数的物理意义，即可计算物体在秒时的瞬时速度. 【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒. 故选：B. 2．D 【分析】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可. 【详解】对于选项A：，，两者不相等，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 3．B 【详解】，， 所以过点的切线方程为：，即. 4．A 【详解】因为每人限报其中的一个运动队， 所以不同的报名方法种数是. 5．C 【分析】求导后令可得. 【详解】由题意可得， 令， 所以当时，，函数为递减函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C 6．C 【分析】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数. 【详解】由题意， 甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有， ∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）. 故选：C. 7．A 【分析】根据函数的极值点的定义求得，再运用等比中项即可求得. 【详解】由可得， 依题意是方程的两根，则，， 又数列是等比数列，设公比为， 则，， 故，，故. 故选：A. 8．A 【分析】由条件概率公式以及全概率公式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 又. 所以.又， 所以. 故选：A. 9．AC 【分析】借助导函数的正负即可得原函数的单调性. 【详解】对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确； 对B：在区间上有正有负，故B错误； 对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确； 对D：在区间上有正有负，故D错误； 故选：AC. 10．BCD 【分析】对于A和C，用导数研究的单调性再确定极值点即可；对于B，用导数研究的最小值即可；对于D，证明对任意的，有，，从而得到既没有最大值也没有最小值即可. 【详解】对于A，由知当或时，当时. 所以在和上单调递减，在上单调递增，这表明是的极小值点，A错误； 对于B，根据的单调性，知在上的最小值为，B正确； 对于C，上面已经推知是的极小值点，C正确； 对于D，由于对任意的，有，. 所以没有最大值，也没有最小值，D正确. 故选：BCD. 11．BCD 【详解】A：二项式的通项公式为， ，所以本选项不成立； B：在中， 令，得， 令，得， 两式相加，得 ，所以本选项成立； C：对等式两边同时求导，得 ， 令，得，所以本选项成立； D： ， 所以除以8所得的余数是7，因此本选项说法正确. 12．15 【分析】写出展开式的通项，令的幂指数等于7，求出的值，即可求得展开式中的系数. 【详解】， 令，解得， 故的系数为. 故答案为：15 13． 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】， 故，故， 故答案为： 14．/ 【分析】设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 15．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)1 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16．(1)1680 (2)7560 【分析】（1）分三步完成任务，第一步选3本给甲，再选3本给乙，剩下的给丙，运用乘法原理解决问题； （2）分两步完成任务，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，再将3组书分给3人，最后采用乘法原理解决问题. 【详解】（1）解:要完成分配任务，可以分为三步： 第一步，分给甲3本书，有种方法； 第二步，分给乙3本书，因为只能在剩下的6本书里选，所以有种方法； 第三步，分给丙3本书，因为只能在剩下的3本书里选，所以有种方法． 因此共有不同的分法数为； （2）要完成分配任务，可以分为两步： 第一步，将9本书按照4本、3本、2本分为三组，有种方法； 第二步，将分好的3组书分别分给3个人，有种方法． 因此共有不同的分法数为． 17．(1) (2). 【分析】（1）先求出导函数，再应用极值点列式求出参数，最后代入计算检验即可； （2）先求出导函数，再应用极值点列不等式求出参数. 【详解】（1），依题意有，解得， 所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意， 故. （2）由题意可得关于x的方程有两个不相等的正实数根，设为，， 则 解得，所以a的取值范围是. 18．(1) (2)；；. 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用条件概率求解. 【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. （2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 19．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (2) 【分析】（1）先明确函数定义域,求导并化简导数表达式,再按 和 分类讨论,根据导数正负判断对应区间,确定函数在定义域内的单调递减或增减区间分布. （2）将恒成立不等式转化为新函数恒非负问题,新函数连续两次求导,分析导函数单调性,由端点导数值分 和 讨论,结合不等式放缩与零点存在定理验证,最终确定的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，且， 当时，在上恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，，得． 令，则， 令 ，则 . 令 ，得 ，即 ，解得 . 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减. 因此 在 处取得极小值，同时也是最小值：. 故 对 恒成立，即 ，同理也可得. 令， 则， 所以，即在上单调递增，从而． 当，即时，，则在上单调递增，从而， 此时符合题意； 当，即时，． 设，则. 令，则，则即在上单调递增. 所以，从而在上单调递增. 所以0，故． 又， 由零点存在定理及在上单调递增可知存在唯一的，使得，所以当时，，则在上单调递减，从而，此时不符合题意． 综上，的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $