精品解析：广东肇庆市端州中学2024-2025学年第二学期高二数学期中检测

2024-2025学年第二学期高二级数学科期中检测 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班别，考号和姓名填写在答题卡上. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试时间120分钟，合计150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ） A. 2 m/s B. 6 m/s C 4 m/s D. 11 m/s 2. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A 33 B. 44 C. 55 D. 66 4. 下列函数中，在区间内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ） A. 196 B. 197 C. 198 D. 227 8. 若函数在区间内有极值点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，都有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，公差为，且，则__________. 13. 已知数列中，且，则__________. 14. 若函数 有两个零点，则a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 数列的前项和为 （1）求数列通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）. （1）该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大? （2）该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入） 18. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高二级数学科期中检测 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班别，考号和姓名填写在答题卡上. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试时间120分钟，合计150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ） A. 2 m/s B. 6 m/s C. 4 m/s D. 11 m/s 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合. 【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s. 故选：D. 2. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的递推关系可求 【详解】因为，故为奇数，故， 而为偶数，故，因为为偶数，故. 故选：B. 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式即可. 【详解】由等差数列前n项和公式可知. 故选：C. 4. 下列函数中，在区间内单调递减的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断A、B，根据二次函数的性质判断B，根据指数函数的性质判断D； 【详解】解：对于A：，则，所以在内单调递减，故A满足条件． 对于B：的对称轴为，开口向上，在上单调递增，故B不满足条件． 对于C：，由，解得，即函数的单调递减区间为，故C不满足条件． 对于D：在定义域上单调递增，故D不满足条件． 故选：A． 5. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）； 所以. 故选：D 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可得函数在R上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数在R上单调递增， 所以， 等价于，解得. 故选：A. 7. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ） A. 196 B. 197 C. 198 D. 227 【答案】D 【解析】 【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第16项. 【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：， 即 可知，，, 累加即可得到， 则，则 故选：D 8. 若函数在区间内有极值点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解. 【详解】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误. 【详解】A：，故正确； B：，故正确； C：，故错误； D：，故错误. 故选：AB. 10. 已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式即可求解. 【详解】由等比通项公式得：， 又因为，所以， 故A正确，B错误； 再由， 所以，故C正确，D错误； 故选：AC. 11. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； 令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； 因为，所以当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，公差为，且，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用等差数列的基本概念计算求解. 【详解】由题意，数列是等差数列，则， 解得. 故答案为：1. 13. 已知数列中，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 14. 若函数 有两个零点，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】把函数的零点转化为直线与函数的图象的交点问题即可作答. 【详解】由得，令，则， 当时，，当时，， 于是得在上递增，在上递减， 且，而，，， 从而得有两个不同零点， 当且仅当直线与函数的图象有两个不同交点， 即. 故答案为： 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数几何意义可求得切线方程； （2）利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由已知， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 令，得或， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16. 数列的前项和为 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件结合与的关系求解； （2）由结合（1）求出，再利用裂项相消法计算得解. 【小问1详解】 , 时，, , 即. 又也适合上式 所以 【小问2详解】 由（1）得,. 所以， 所以， 即. 17. 某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）. （1）该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大? （2）该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入） 【答案】（1）2百万元 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质解出即可； （2）根据题意，得到收益模型为，再用导数研究其最值即可. 【小问1详解】 设收益为，则有 ，， 所以当百万元时，公司获得的收益最大. 【小问2详解】 设此时的收益为，则 ，， 所以， 令，解得，或（舍）， 又当时，；当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，取最大值， 即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，将该公司由此获得收益最大. 18. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； 【小问2详解】 ，设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，按实数的取值分类讨论，利用函数单调性与导数符号的关系求单调性即可； （2）先将函数代入利用参变分离得到，再构造新函数，利用导数研究函数的单调性求的最大值即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得当时，在上单调递增， 当时，，令解得， 若，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，当时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）可得若有极大值点，则，， 此时， 当时，；当时，，故为的极大值点， 故符合. 当时恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，只需即可， ， 令，则恒成立， 故在上单调递减，， 所以恒成立， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性、导数研究函数的极值，还考查了构造法、参变分离法、分类讨论等思想方法，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $