精品解析：湖南衡阳市八中教育集团2025-2026学年下学期期中检测试题 八年级数学

衡阳市八中教育集团2026年上期期中检测试题八年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 某中学的学生在校园内的生物实践基地种植植物，以研究光合作用．植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为688纳米，1纳米米，则每个光子的波长可用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 3. 若点在轴上．则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 6. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的图象位于第二、四象限 B. 点在该函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. y随x的增大而减小 7. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 将一次函数（k为常数，）的图象向上平移2个单位长度得到的一次函数图象经过点，则k的值为（ ） A. B. C. D. 1 9. 在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式的值为0，则______． 12. 如图在平行四边形中，是的3倍，则________°． 13. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为：____．（用“”连接） 14. 点P在第四象限，P到x轴的距离为8，P到y轴的距离为6，则点P的坐标为______． 15. 直线与交点坐标为，则关于的二元一次方程组的解是_________ ． 16. 如图，在中，，．点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，如图为与x的部分函数图象，请你补全与x的函数图象后思考，若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为代入求值． 19. 如图，在中，对角线、交于点O，，经过点O且与，相交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 20. 嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． （1）他把“”猜成，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 21. 某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．运动会上的参赛选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌．为表彰取得优异成绩的参赛选手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格多元，且用元购进甲种文创产品的数量与用元购进乙种文创产品的数量相同． （1）求甲、乙两种文创产品的单价； （2）若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共件，设购进甲种文创产品m件，购买这些文创产品的总费用为元：①求与的函数解析式； ②若要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创产品件数的倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 23. 如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． （1）动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； （2）求a，b的值； （3）若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； （4）当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 24. 如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，过点A的另一条直线与y轴交于点N，点E是线段上的一个动点，点C为射线上一点． （1）求点A，B的坐标． （2）如图1，过点E作轴交直线于点F，设点E的横坐标为m． ①用含有m的式子表示线段的长； ②若的面积为S，求S与m之间的函数关系式； （3）把沿直线翻折得到． ①如图2，当点D在的内部时，连结并延长交于点P．若，求点P的坐标． ②如图3，点M为的中点，连结，当与x轴平行时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中教育集团2026年上期期中检测试题八年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】依题意得x+1≠0， ∴x≠-1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零． 2. 某中学的学生在校园内的生物实践基地种植植物，以研究光合作用．植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为688纳米，1纳米米，则每个光子的波长可用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：688纳米米米． 故选：B． 3. 若点在轴上．则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是掌握在轴上的点的特征．由点在轴上可得，求出值即可求解． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， 将代入中，得， 点的坐标为， 故选：B． 4. 如图，过反比例函数的图像上的一点P作轴，垂足为Q，连接．若的面积是2，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可知k的绝对值为2S△OPQ，反比例函数的图象在第二象限，即可判断出k的值． 【详解】解：∵△OPQ的面积是2， ∴k的绝对值为4， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k的值为﹣4， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解k与△OPQ的面积的关系，是解决问题的关键． 5. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线的性质，可得，，且，可推出，由此计算出的数值．将的数值与的长度相加，即可得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴的周长为． 6. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的图象位于第二、四象限 B. 点在该函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【详解】解：反比例函数，可得， 选项A，，反比例函数的图象位于第一、三象限，选项A错误，不符合题意； 选项B，将代入，得，点在函数图象上，选项B正确，符合题意； 选项C，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，因此选项C错误，不符合题意； 选项D，没有说明在同一象限内，整个实数范围内，函数不满足y随x的增大而减小，因此选项D错误，不符合题意． 7. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，根据已知条件“点为第二象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：∵点为第二象限内的点， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 8. 将一次函数（k为常数，）的图象向上平移2个单位长度得到的一次函数图象经过点，则k的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据“上加下减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移2个单位长度， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得， 整理得， 解得：． 9. 在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 10. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 代数式的值为0，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题根据分式值为零的条件求解，分式值为零需满足分子为零且分母不为零． 【详解】解：分式的值为， ∴， 解， 得， 由得， 综上可得． 12. 如图在平行四边形中，是的3倍，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形邻角互补以及对角相等的性质，结合已知条件求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为：____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得到，求出，，的值后即可比较大小． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得：，，， ∴． 14. 点P在第四象限，P到x轴的距离为8，P到y轴的距离为6，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，根据点到轴，轴的距离列出关于，的关系式，结合点所在象限的坐标特征确定，的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点坐标为， ∵到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， ∴，， 点在第四象限， ∴，， ∴，， 点的坐标为． 15. 直线与交点坐标为，则关于的二元一次方程组的解是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点的横纵坐标即为两直线对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交点坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，．点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，如图为与x的部分函数图象，请你补全与x的函数图象后思考，若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点P的运动路径分段讨论的面积，利用数形结合的思想，通过分析直线与分段函数图象的交点情况来确定参数n的取值范围． 【详解】解：当时，如图，点P在上， 由题意得，，， ∴， 当时，如图，点P在上， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴的函数图象如图所示： 若的函数图象与直线有两个交点时，其图象应在如图所示的和之间，不与重合，但可与重合； 将点代入，得，将点代入，得， ∴． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号再运算除法，化简得，然后根据分母有意义得，，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 由题意可知，，， ，， 当时，原式． 19. 如图，在中，对角线、交于点O，，经过点O且与，相交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）108 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而证明，即可推导出； （2）根据平行四边形的性质得，再用勾股定理计算出，最后根据平行四边形面积公式求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形，对角线、交于点O， ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：中，， ， ，， ， ． 20. 嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． （1）他把“”猜成，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可． 【小问1详解】 解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 【小问2详解】 解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 21. 某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．运动会上的参赛选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌．为表彰取得优异成绩的参赛选手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格多元，且用元购进甲种文创产品的数量与用元购进乙种文创产品的数量相同． （1）求甲、乙两种文创产品的单价； （2）若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共件，设购进甲种文创产品m件，购买这些文创产品的总费用为元：①求与的函数解析式； ②若要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创产品件数的倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案． 【答案】（1）甲种文创产品单价为元，乙种文创产品单价为元 （2）① （，且为整数）；②购进甲种文创产品件，乙种文创产品件时总费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（）设甲种文创产品的单价为元，则乙种文创产品的单价为元，根据题意列出方程解答即可求解； （）①购进甲种文创产品件，则购进乙种文创产品件，根据题意列出函数关系式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可；②先根据题意列不等式求出的取值范围，再利用一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种文创产品的单价为元，则乙种文创产品的单价为元， 根据题意，得，  解得，  经检验是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种文创产品单价为元，乙种文创产品单价为元； 【小问2详解】 解：①购进甲种文创产品件，则购进乙种文创产品件， 由题意得，总费用 ，  即与的函数解析式为 （，且为整数）， ②根据题意，得 ，  解不等式得，  为整数， 的最大值为， ∵在 中，，  随的增大而减小， ∴当 时，的值最小，，此时， 答：购进甲种文创产品件，乙种文创产品件时总费用最少，最少费用为元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标． 【答案】（1）yx+2，y； （2）△AOB的面积； （3）P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，） 【解析】 【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）△AOB的面积S=×OM×（xA-xB）=×2×（3+6）=9； （3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解： AO＝5，OD：AD＝3：4， 设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1， 故点A（3，4）， 则m＝3×4＝12， 故反比例函数的表达式为：y，故B（﹣6，﹣2）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：， 故一次函数的表达式为：yx+2； 【小问2详解】 解：设一次函数yx+2交y轴于点M（0，2）， ∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2）， ∴△AOB的面积SOM×（xA﹣xB）2×（3+6）＝9； 【小问3详解】 解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0）， AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2， 当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）； 当AO＝PO时，同理可得：m＝±5； 当AP＝PO时，同理可得：m； 综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． 23. 如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． （1）动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； （2）求a，b的值； （3）若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； （4）当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1），28 （2）， （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线间距离处处相等，同底等高，可知P在上时，面积不变，由图3可得出动点Q到达点A所用时间； （2）由图2得出P到B所用时间，由图3得出点Q从点C到点A所用时间，根据时间、路程、速度之间关系即可求解； （3）根据题意得出两个动点到达各拐点所用时间，结合图2，图3即可求解； （4）分情况讨论：和两种情况． 【小问1详解】 解：长方形中，，， ， 当动点P在线段上运动时，，保持不变； 由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28； 【小问2详解】 解：由图2得，点P到达点B所用时间为：， ， 解得； 由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ， ， 解得； 【小问3详解】 解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D， 当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A， 结合图2，3，可得： 当时，，， 令，得：， 解得； 当时，，， 满足， 综上可得，x的取值范围为或； 【小问4详解】 解：设动点P，Q走过的路程为，， 当时， ，， ； 当时， ， ， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为． 24. 如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，过点A的另一条直线与y轴交于点N，点E是线段上的一个动点，点C为射线上一点． （1）求点A，B的坐标． （2）如图1，过点E作轴交直线于点F，设点E的横坐标为m． ①用含有m的式子表示线段的长； ②若的面积为S，求S与m之间的函数关系式； （3）把沿直线翻折得到． ①如图2，当点D在的内部时，连结并延长交于点P．若，求点P的坐标． ②如图3，点M为的中点，连结，当与x轴平行时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①；② （3）①；②5或20 【解析】 【分析】（1）将，分别代入，即可求解； （2）①用含m的式子表示出点E，F的纵坐标，作差即可；②根据求解； （3）过点P作轴于点H，设点P的坐标为，由轴对称得，进而证明，推出，即可求解；②令直线交y轴于点N，根据求出点D坐标，有两种情况，一是点D在的内部，二是点D在的外部，分别用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：， 当时，， 当时，， 解得， ，； 【小问2详解】 解：①点E的横坐标为m，点E是线段上的一个动点， ， 轴交直线于点F， ， 点E在点F上方， ； ② ， 即； 【小问3详解】 解：①如图，过点P作轴于点H，，交于点G， 点P在直线上， 设点P的坐标为， ，， 把沿直线翻折得到， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， ， ， 解得， 点P的坐标为； ②令直线交y轴于点N， 与x轴平行， ， ，，点M为的中点， ， ， 设点， 由折叠得， ， 解得或， 当时，，点D在的内部，如图： 设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 当时，，点D在的外部，如图： 同理，设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 综上可得，的长为5或20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $