精品解析：湖南省衡阳市衡东县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

湖南省衡阳市衡东县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 正八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 3. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是（　　） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 四条边都相等四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5. 如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.2 D. 4 6. 如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 点关于轴的对称点的坐标是（　　） A B. C. D. 8. 如图，O是矩形对角线的中点，交于点M，若，，则矩形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 9. 如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是___________． 12. 一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的对角线共有______条． 13. 将一个相邻两边之比为的矩形分成四部分，其中有两个全等的等腰直角三角形，其腰长与矩形较长边之比为，如图1，它是一个中心对称图形．现拼成不重叠、无缝隙的轴对称的“鱼”形，如图2，寓意“鱼跃龙门”．若对称中心到矩形较长边的距离为4，则图1矩形较短边的长为________，图2中“鱼”首尾高的值为________． 14. 点是由点P向左平移2个单位长度后得到的，则点P的坐标为__________． 15. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为________． 16. 如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则______． 17. 如图，中，，平分，交于点D，、，则___． 18. 如图，由两个全等菱形（菱形与菱形）组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形（阴影部分），点A，C在上，点F，H在上，若，则的长为________． 三、解答题（第19题6分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线上的一点，AD＝BC，．求证：四边形ABCD是平行四边形． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上． （1）写出点A、B、C的坐标； （2）作出关于x轴对称的的图形； （3）求． 四、题目 21. 如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知．求的长． 22. 如图，平行四边形中，点E，F分别是边上的点，且，．求证：四边形是菱形． 23. 如图，在中，，为上的中线，E是的中点，平分于点F，若，求的长度． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 25. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市衡东县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； 故选：A． 2. 正八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式，列式进行计算即可得解． 【详解】解：． ∴正八边形的内角和是， 故选：C． 3. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4. 下列说法中错误的是（　　） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：A、一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形，故正确，不合题意； B、每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形，故正确，不合题意； C、四个角都相等，四个角的内角和为，可得到每个内角为所以为矩形，故正确，不合题意； D、应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分，故错误，不合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点． 5. 如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据即可求解． 【详解】解：平分，，， ， ， ， 解得， 故选B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，解题关键是牢记平面内的点与有序实数对是一一对应的，以及直角坐标系中特殊位置的点的坐标． 根据点和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出对应的点． 【详解】解：根据题意，建立坐标系如图： ∴表示的位置是点． 故选：A． 7. 点关于轴的对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是 故选：． 8. 如图，O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则矩形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先由矩形的性质得到，，，进而利用勾股定理求出，如图所示，取中点N，连接，则 ，由平行的唯一性可证明点M和点N重合，由此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵O是矩形对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图所示，取中点N，连接， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴点M和点N重合， ∴，， ∴矩形的周长为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 9. 如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，，分别是，，的中点， ， 、分别为、中点， ， 四边形的周长为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 10. 如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连接相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作交于点，设交于点，设，由全等三角形的性质得，即得，进而可得，再分别由、可得，，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，设交于点， ∵正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长，是一道简单的题目． 12. 一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的对角线共有______条． 【答案】44 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据外角和是内角和的列方程求出n，再根据对角线的公式求出答案． 【详解】设这个多边形的边数为n， 则 解得 ∴这个多边形的对角线共有条， 故答案为：44． 【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和关系，多边形对角线公式，熟练掌握各计算公式是解题的关键． 13. 将一个相邻两边之比为的矩形分成四部分，其中有两个全等的等腰直角三角形，其腰长与矩形较长边之比为，如图1，它是一个中心对称图形．现拼成不重叠、无缝隙的轴对称的“鱼”形，如图2，寓意“鱼跃龙门”．若对称中心到矩形较长边的距离为4，则图1矩形较短边的长为________，图2中“鱼”首尾高的值为________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】过点作直线垂直矩形长边，交点为，如图所示，由矩形性质及题意即可得到答案；由题意中的比例关系求出矩形的边长、等腰直角三角形腰长，再由等腰直角三角形性质及勾股定理求出，数形结合表示出“鱼”首尾高，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作直线垂直矩形长边，交点为，如图所示： 对称中心到矩形较长边的距离为4， 图1矩形较短边的长为； 即矩形的短边长为， 矩形相邻两边之比为， 矩形长边长为， 等腰直角三角形的腰长与矩形较长边之比为， 等腰直角三角形的腰长为， 过点作，如图所示： ， 由等腰直角三角形性质可得， 在等腰中，由勾股定理得到斜边长为，则， 图2中“鱼”首尾高的值为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形性质、比例求线段长、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识．数形结合，根据比例求出相关线段长度是解决问题的关键． 14. 点是由点P向左平移2个单位长度后得到的，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据题意可知点向右平移2个单位长度后得到点P，据此根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点是由点P向左平移2个单位长度后得到的， ∴点P的坐标为，即， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段长，利用勾股定理逆定理判定，再结合即可得出结论． 【详解】解：在矩形中，， 在矩形中，，分别是，的中点，， 是的中位线，即， 在中，是BE的中点，， 是斜边上的中线，即， ， 在中，是EC的中点，， 是斜边上的中线，即， ， 在中，，，，即， 是直角三角形，且， 过作于，如图所示： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线表示是解决问题的关键． 16. 如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 如图，中，，平分，交于点D，、，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作于点M， ∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 18. 如图，由两个全等菱形（菱形与菱形）组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形（阴影部分），点A，C在上，点F，H在上，若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查菱形与正多边形的性质，解题的关键是熟知正八边形的特点，证明直角三角形，利用勾股定理求解． 根据正八边形的性质得到、是等腰直角三角形，再证明，得到，得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形与四边形是菱形， ∴，， ∴、是等腰直角三角形 ∴， ∵重叠部分是正八边形（阴影部分）， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第19题6分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线上的一点，AD＝BC，．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由可得AD∥BC，再由AD=BC即可判定四边形ABCD是平行四边形． 【详解】∵ ∴AD∥BC ∵AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后的顶点均在格点上． （1）写出点A、B、C坐标； （2）作出关于x轴对称的的图形； （3）求． 【答案】（1），，； （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是写出坐标系内点的坐标，轴对称的性质，求解网格三角形的面积； （1）根据坐标系内点的位置可得点的坐标； （2）根据关于x轴对称的两个点的坐标关系，可得，，,再顺次连接、、即可； （3）利用割补法求解三角形的面积即可． 掌握坐标系中关于x轴对称的点的特征是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得： ，，； 【小问2详解】 解：如图即为所求； 【小问3详解】 解：． 四、题目 21. 如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，涉及了勾股定理，设，根据即可求解； 【详解】解：由翻折的性质及长方形性质得：， 在中可得： ， ∴， 设， 在中，，即， 解得 ， ∴的长为 ． 22. 如图，平行四边形中，点E，F分别是边上的点，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，则，，即，则四边形是平行四边形，由，可证平行四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 23. 如图，在中，，为上的中线，E是的中点，平分于点F，若，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形你身边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理等知识：根据证明得出点F为边中点，为斜边上的中线，得出再根据中位线定理可得结论． 【详解】解：平分， ， ， ， 在与中， ， ，即F是中点， 又∵在中， ， ， 分别是中点， 是的中位线， ． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）能，；（3）或4时，△DEF为直角三角形. 【解析】 【分析】在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论； 先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答； 时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况不存在． 【详解】在中，，，， ． 又， ． 能， ，， ． 又， 四边形AEFD为平行四边形． ， ． ． 若使▱AEFD为菱形，则需， 即，． 即当时，四边形AEFD为菱形． 时，四边形EBFD为矩形． 在中，， ． 即，． 时，由四边形AEFD为平行四边形知， ． ， ． 即，． 时，此种情况不存． 综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质和的判定定理，矩形的判定和性质，第三小问中涉及到需要进行分类讨论，注意不要漏解． 25. 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形． 【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可． （2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题． （3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图①中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADA′=90°， 由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°， ∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°， ∴四边形AEA′D是矩形， ∵DA=DA′， ∴四边形AEA′D是正方形． （2）结论：△PQF是等腰三角形． 理由：如图②中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠QFP=∠APF， 由翻折可知，∠APF=∠FPQ， ∴∠QFP=∠FPQ， ∴QF=QP， ∴△PFQ是等腰三角形． （3）如图③中， ∵四边形PGQF是菱形， ∴PG=GQ=FQ=PF， ∵QF=QP， ∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m， ∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°， ∴∠DQD′=30°， ∵∠D′=90°， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $