精品解析：河南省新乡市牧野区 河南师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期期中试题第二卷

2026河南新乡河师大附中初三下学期期中试题第二卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（ ） A. 1.5 B. ﹣1.5 C. ﹣2.6 D. 2.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A位于﹣3和﹣2之间求解． 【详解】∵点A位于﹣3和﹣2之间， ∴点A表示的实数大于﹣3，小于﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想． 2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据中心对称图形与轴对称图形的概念可得，A、 C、D均是中心对称图形，B只是轴对称图形，故答案选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握此概念是解题的关键． 3. 已知：如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C�的度数是（ ） A. 135° B. 115° C. 65° D. 35° 【答案】C 【解析】 【详解】 ∵AB∥DE， ∴∠E=∠CFA=65°， ∴∠B+∠C=∠CFA=65°. 故选C. 点睛：掌握平行线的性质、三角形外角的性质. 4. 2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数300 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式加减运算法则，积的乘方和合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】解：A．，故A正确； B．，故B错误； C．与不是同类项，不能合并，故C错误； D．，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，乘方的运算，积的乘方，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算． 6. 若、是一元二次方程的两根，则的值为（ ）． A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义进行判断． 【详解】由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而 故选：C 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，也考查了判别式的意义． 7. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ） A. 45° B. 30° C. 75° D. 60° 【答案】D 【解析】 【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB， ∵将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O， ∴OD=CD，OD=OC=OA， ∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半） 故选D． 8. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】画树状图： ∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，∴两次都摸到红球的概率是． 故选C． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论①；②；③；④其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故①正确； ②抛物线开口向上，得：a＞0；由抛物线的对称轴为x=-=1，得b=-2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确； ③观察图象得，当x=-2时，y＞0， 即4a-2b+c＞0， ∵b=-2a， ∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故③正确； ④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确； 综上所述，正确的说法是：①②③④． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用． 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题属于分段函数，根据图象需要得出：点在边上时，随的增大而减小；当点在边上时，随的增大而增大；当点在线段上时，随的增大而减小；当点在线段上时，随的增大而增大． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，， ． ①点在边上时，随的增大而减小．故A、B错误，不符合题意； ②当点在边上时，随的增大而增大； ③当点在线段上时，随的增大而减小，点与点重合时，最小，但是不等于零．故C错误，不符合题意； ④当点在线段上时，随的增大而增大．故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象的含义，即会识图． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. ，x取何值时，函数在实数范围内有意义______________． 【答案】x为任意实数 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数需大于等于，对被开方数配方后判断其取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， ∵，且， ， ∴对任意实数，不等式恒成立， ∴为任意实数时，该函数在实数范围内有意义． 12. 甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________． 【答案】乙 【解析】 【详解】乙的平均数为：（2+5+6+9+8）÷5=6；乙的方差为： ；根据方差越小，成绩越稳定，乙的方差小于甲的方差，所以成绩比较稳定的是乙. 13. 写一个y随x的增大而减小的函数 ________ ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，写出满足y随x的增大而减小的函数即可，答案不唯一． 【详解】解：根据题意得，（答案不唯一）． 14. 如图，线段与相切于点C，连接、，交于点D，已知， ．则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】线段与相切于点C，则可以连接，得到，则是等腰三角形底边上的高线，根据三线合一定理，得到，在直角中根据勾股定理得到半径的长；图中阴影部分的面积等于的面积与扇形的面积的差的一半． 【详解】解：连接，由已知， ， ， 在中，OC= 的半径为3； ， ， ∴ ∴扇形的面积为 ∴阴影部分的面积为= 15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，为中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使为等腰三角形的P点坐标和．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标______________． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用菱形的性质得到，，，利用勾股定理求出，分①当；②；③当，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ①当时，点坐标和； ②当时，此时点与点重合，即点坐标为； ③如图，当时，过点作于，作的垂直平分线，交于点，交轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． ∴点坐标为， ∴其余所有符合这个条件的点坐标为：或． 三．解答题 16. 化简计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图． （1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人； （2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内； （3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人． 【答案】（1）24人；（2）C组；（3）150人． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组人数； （2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可； （3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案． 【详解】（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%， ∴本次抽取的总人数为：（人）， ∴抽取的学生成绩在C：组的人数为：（人）； （2）∵总人数为60人， ∴中位数为第30,31个人成绩的平均数， ∵，且 ∴中位数落在C组； （3）本次调查中竞赛成绩在A：组的学生的频率为：， 故该学校有名学生中竞赛成绩在A：组的学生人数有：（人）． 【点睛】本题考查了条件统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知以上知识是解题的关键． 18. 如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且． （1）求证：BF是的切线； （2）若的直径为4，，求． 【答案】（1）证明：如图，连接AE． ∵AB是的直径， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵AB是的直径， ∴直线BF是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°； （2）过点C作于点H，求得AC、BF的长度，证出，根据相似三角形的性质求得CH、HF的长度，根据求得BH的长度，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作于点H． ∵，的直径为4， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴，即． ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点． 19. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积； （3）直接写出不等式kx+b≤的解集． 【答案】（1）y=﹣，y=﹣2x+12（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0 【解析】 【分析】（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式； （2）联立解析式，可求交点坐标； （3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系． 【详解】（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4 ∵CD⊥x轴 ∴OB∥CD ∴△ABO∽△ACD ∴ ∴ ∴CD=20 ∴点C坐标为（﹣4，20） ∴n=xy=﹣80 ∴反比例函数解析式为：y= 把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得： 解得： ∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）当=﹣2x+12时，解得 x1=10，x2=﹣4 当x=10时，y=﹣8 ∴点E坐标为（10，﹣8） ∴S△CDE=S△CDA+S△EDA= （3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0 【点睛】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式． 20. 如图，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点C． （1） ； ； （2）点P为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P作于点Q，连接PC， ①求线段PQ的最大值； ②若以P、C、Q为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）①PQ的最大值是；②P的坐标为或 【解析】 【详解】试题分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-4），再展开可得到-4a=2，解得a=-，即可得到b的值； （2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+2，设P（t，-t2+t+2），则M（t，-t+2），用t表示出PM=-t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=-t2+t，然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，则∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，则PC=PM，利用两点间的距离公式得到t2+（-t2+t+2-2）2=（-t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标． 试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−4)， 即y=ax2−3ax−4a， 则−4a=2,解得a=−， 则b=-3a=； （2）(2)①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图， BC=， 当x=0时，y=-x2+x+2=2，则C(0，2)， 设直线BC的解析式为y=mx+n， 把C(0，2)，B(4，0)得，解得， ∴直线BC的解析式为y=x+2， 设P(t，t2+t+2)，则M(t，t+2)， ∴PM=−t2+t+2−(−t+2)=− t2+2t， ∵∠NBM=∠NPQ， ∴△PQM∽△BOC， ∴，即PQ=， ∴PQ=−t2+t=− (t−2)2+， ∴当t=2时，线段PQ的最大值为； ②当∠PCQ=∠OBC时,△PCQ∽△CBO， 此时PC∥OB,点P和点C关于直线x=对称， ∴此时P点坐标为(3，2)； 当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO， ∵∠OBC=∠NPQ， ∴∠CPQ=∠MPQ， 而PQ⊥CM， ∴△PCM为等腰三角形， ∴PC=PM， ∴t2+(−t2+t+2−2)2=(−t2+2t)2， 解得t=， 此时P点坐标为(，)， 综上所述,满足条件的P点坐标为(3，2)或(，). 点睛：本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；能利用分类讨论的思想解决数学问题. 21. 如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高为多少米？（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732） 【答案】137米 【解析】 【分析】通过设山高为未知数，在两个直角三角形中利用正切函数建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 即山高为137米． 22. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 【答案】（1）2000（元）； （2）①2元或8元； ②， 图象如下： 当时，商场所获利润不少于2160元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据利润的概念可直接求解； （2）①列出方程求解即可； ②求出与之间的函数关系式，作出草图，根据二次函数图象性质即可求出答案． 【小问1详解】 商场经营该商品原来一天可获利润为：（元）； 【小问2详解】 ①依题意得： 即 解得： 经检验：都是方程的解，且符合题意． 故商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． （2）依题意得： ， 结合①并观察图象可得： 当时，， 当时，商场所获利润不少于2160元． 23. 点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线的同侧，，，，直线、交于点F． （1）如图①，若，则______；如图②，若，则______； （2）如图③，若，则______（用含α的式子表示）； （3）将图③中的绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤．在图④中，与的数量关系是 ；在图⑤中，与的数量关系是______．请你任选其中一个结论证明． 【答案】（1），； （2） （3）图④，图⑤，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，根据角度和差关系以及三角形的外角即可得到，进而可得答案； （2）根据证明，得出，根据三角形内角和即可得到，进而可得答案； （3）图④，由前面步骤可得；图⑤，与前面步骤相同，可求得，代入数据求大小． 【小问1详解】 解：如图①∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 如图②，连接， ∵，， ∴为直角等腰三角形， ∴， ∵， 又∵， ∴为直角等腰三角形， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：图④，证明如下： ∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 图⑤，证明如下： ∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026河南新乡河师大附中初三下学期期中试题第二卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（ ） A. 1.5 B. ﹣1.5 C. ﹣2.6 D. 2.6 2. 下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知：如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C�的度数是（ ） A. 135° B. 115° C. 65° D. 35° 4. 2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数300 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若、是一元二次方程的两根，则的值为（ ）． A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ） A. 45° B. 30° C. 75° D. 60° 8. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是(　　) A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论①；②；③；④其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. ，x取何值时，函数在实数范围内有意义______________． 12. 甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________． 13. 写一个y随x的增大而减小的函数 ________ ． 14. 如图，线段与相切于点C，连接、，交于点D，已知， ．则图中阴影部分的面积是_____． 15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，为中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使为等腰三角形的P点坐标和．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标______________． 三．解答题 16. 化简计算： （1）； （2）． 17. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图． （1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人； （2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内； （3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人． 18. 如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且． （1）求证：BF是的切线； （2）若的直径为4，，求． 19. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积； （3）直接写出不等式kx+b≤的解集． 20. 如图，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点C． （1） ； ； （2）点P为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P作于点Q，连接PC， ①求线段PQ的最大值； ②若以P、C、Q为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 21. 如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高为多少米？（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732） 22. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 23. 点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线的同侧，，，，直线、交于点F． （1）如图①，若，则______；如图②，若，则______； （2）如图③，若，则______（用含α的式子表示）； （3）将图③中的绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤．在图④中，与的数量关系是 ；在图⑤中，与的数量关系是______．请你任选其中一个结论证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $