精品解析：河南信阳市罗山县2025-2026学年下学期八年级期中数学

2025-2026学年度下期期中质量监测试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，如果设，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 13. 如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________． 14. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为_____． 15. 如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小悦的解答过程： 小亮： 解：原式， 当时，原式． 小悦： 解：原式， 当时，， 原式． （1）上述解答过程中，_____的解法是错误的． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 19. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 20. 如图，在中，E，F分别为边，的中点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请证明：四边形是菱形． 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． （1）求物体从的高空落到地面的时间； （2）已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ （3）在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 22. 如图，在四边形中，//，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始： （1）当运动，判断此时：四边形的形状，并证明． （2）当时，求长． （3）当时，需经过多少时间？ 23. 综合与实践：宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感、世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．我们通过下面的折纸可以折出黄金矩形． 【动手操作】第一步，在一张宽为（）的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3所示的处，折痕为． 第四步，展平纸片，按照所得的点E折出，使得，则图4就会出现黄金矩形． 【问题解决】 （1）如图3，的长为______（用含a的代数式表示）． （2）如图3，求证：四边形为菱形． （3）写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期期中质量监测试卷八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2. 从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是八边形， 故选∶B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 4. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 5. 已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，以及结合菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， A、由菱形可得，那么，则A选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； B、由菱形可得，则B选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； C、不能判定菱形是正方形，故不符合题意； D、由菱形可得，而，则，因为菱形对角线平分一组对角，则，故菱形是正方形，故符合题意； 故选：D． 6. 《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，如果设，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用．设，则，根据列得等式． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】A．，即，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故A不符合题意． B．根据三角形内角和与，得出，即，所以是直角三角形，故B不符合题意． C．设，则，，根据三角形内角和，即，解得，即、、．所以不是直角三角形，故C符合题意． D．设，则，，由可知，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键． 8. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6， ∴∠BAO＝90°，OA＝3 ∴， ∴BD＝2BO＝10， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质． 9. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 如图，在矩形中，，．E是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点A恰好落在边上点F处，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形和折叠的性质，以及勾股定理可求出，则可求出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 13. 如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长． 【详解】解：根据作图的方法得：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键． 14. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，由正方形的性质求得，即可得到点A的坐标为． 【详解】解：连接，交于点， ∵正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 15. 如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，则点在平行的线段上运动， 当时，最小， ，则， 在中，，， ， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小悦的解答过程： 小亮： 解：原式， 当时，原式． 小悦： 解：原式， 当时，， 原式． （1）上述解答过程中，_____的解法是错误的． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． 化简要根据的取值范围进行化简，小亮没有考虑的取值范围，所以小亮的计算错误； 首先把代数式整理可得：原式，再根据的取值范围去掉绝对值即可． 【小问1详解】 解：， 化简时要分情况， 当时，， 当时，， 当时，原式， 小亮的解答错误； 【小问2详解】 解： ， ， 原式． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示菱形即为所求： 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 19. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2）7.5m 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴点C表示的数是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：设秋千绳索的长度为xm， 由题意可得xm， 四边形为矩形，， ∴， 在中，， 即 解得； 即的长度为7.5m； 答：绳索的长为7.5m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 如图，在中，E，F分别为边，的中点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请证明：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质． （1）利用中点的定义求得，利用平行四边形的性质得到，根据平行四边形的判定即可证明四边形是平行四边形； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 在中，点E是的中点， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． （1）求物体从的高空落到地面的时间； （2）已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ （3）在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 【答案】（1） （2） （3）严禁高空抛物 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）代入求得h，进而计算即可； （3）由于，故会对人体造成伤害，则应该禁止高空抛物 【小问1详解】 解：把代入得：， 答：物体从的高空落到地面的时间为； 【小问2详解】 解：代入得：， 解得：， 则从高空坠落的物体所带能量为， 答：这串钥匙在下落过程中所带能量有； 【小问3详解】 解：∵， ∴对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 22. 如图，在四边形中，//，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始： （1）当运动，判断此时：四边形的形状，并证明． （2）当时，求长． （3）当时，需经过多少时间？ 【答案】（1）四边形PQCD为平行四边形，理由见详解； （2） （3）6s或7s 【解析】 【分析】（1）由题意得AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t，运动6s时，AP=6cm，CQ=18cm，证出PD=CQ，由平行四边形的判定可得出答案； （2）证明四边形APQB为矩形，由矩形的性质得出BQ=AP，求出AP的长，由勾股定理可得出答案； （3）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，过点P作PS∥CD，PM⊥BC于M，证出QM=MS=2，可得3t=4+24-t，解此方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：四边形PQCD为平行四边形， 证明：由题意得AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t， 运动6s时，AP=6cm，CQ=18cm， 又∵AD=24cm， ∴PD=AD-AP=18cm=CQ， ∵AD∥BC， ∴PD∥CQ，PD=CQ， ∴四边形PQCD为平行四边形； 【小问2详解】 解：当PQ=8cm时，PQ=AB=8cm， 又∵∠B=90°， ∴四边形APQB为矩形， ∴BQ=AP， 即26-3t=t， ∴AP=t=6.5， ∴AQ=； 【小问3详解】 解：若PQ=DC，分两种情况： ①PQ∥DC，由（1）可知，t=6， ②PQ与CD不平行，过点P作PS∥CD，PM⊥BC于M， 由四边形PDCS为平行四边形得，PD=CS=24-t，PS=CD， 由四边形ABMP为矩形得，BM=AP=t， ∴MS=26-24=2， ∵PQ=PS=CD， ∴QM=MS=2， ∴3t=4+24-t， 解得：t=7． 综上所述，满足条件的t的值为6或7． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 23. 综合与实践：宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感、世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．我们通过下面的折纸可以折出黄金矩形． 【动手操作】第一步，在一张宽为（）的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3所示的处，折痕为． 第四步，展平纸片，按照所得的点E折出，使得，则图4就会出现黄金矩形． 【问题解决】 （1）如图3，的长为______（用含a的代数式表示）． （2）如图3，求证：四边形为菱形． （3）写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个进行证明． 【答案】（1） （2）见解析 （3）图中的黄金矩形有矩形，矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，由折叠性质得到，再利用勾股定理可得答案； （2）由折叠的性质可得，再证明，得到，则可得到，据此可证明结论； （3）可证明四边形和四边形都是矩形，得到，求出，，则可证明，，据此可得结论． 【小问1详解】 解：如图3，根据题意可得四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， 【小问2详解】 证明：如图3所示，由折叠的性质可得， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； 【小问3详解】 解：图中的黄金矩形有矩形，矩形， 证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， 由（1）（2）得 ， ∴ ， ∴，， ∴矩形和矩形都是黄金矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $