精品解析：山东青岛市市北区2025--2026学年七年级下学期阶段学情自测数学试卷

七年级数学 （满分：120分；时间：120分钟） 说明： 本试题分为第I卷和第II卷两部分，共23题．其中第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题共15题，96分． 所有题目请均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，于，直线经过点，则与的关系是（） A. 互余 B. 互补 C. 对顶角 D. 相等 3. 事件甲：地球绕着太阳转；事件乙：购买彩票中奖．下列说法正确的是（ ） A. 事件甲，乙都是随机事件 B. 事件甲是随机事件，事件乙是必然事件 C. 事件甲，乙都是必然事件 D. 事件甲是必然事件，事件乙是随机事件 4. 如图，已知，那么下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 下列说法合理的是（    ） A. 小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C. 某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D. 小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 6. 汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（ ）     A. B. C. D. 7. 乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为_________． 10. 若，则_______ ． 11. 已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则的度数为________． 12. 我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 13. 如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则______． 14. 任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 三、作图题（本题满分10分，共有2道题） 15. 尺规作图：已知，，求作：直线，使经过点，且．（保留作图痕迹，不写作法） 16. 如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． （1）过点画直线的垂线，垂足为点； （2）比较大小：____________，理由是：______________； （3）线段，则点到直线的距离为_______________． 四、解答题（本题满分68分，共有7道题） 17. 计算下列各式： （1） （2）； （3） （4）（用简便方法计算）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 20. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 21. 完成下面的说明，并在括号里注明依据． 如图，已知点，在直线上，是的平分线，过点作的平行线交于点．证明：． 证明：因为， 所以_________（依据：_____________________） _________（依据：_____________________） 因为是的平分线， 所以（依据：_____________________） 所以（依据：_____________________） 因为，（依据：_____________________） 所以（依据：_____________________） 22. 【问题提出】 在数学课上，老师提出如下问题： 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？ 【举例观察】 亮亮同学列出下列算式进行观察： ； ； ， 通过观察，亮亮发现“个位数字是5的两位数的平方，似乎都可以写成类似的形式”！ 【猜想验证】 亮亮猜想： 个位数字是5的两位数的平方，结果末尾的两个数字是25；去掉末尾的两个数字25，前面的数等于原数的十位数字乘以“十位数字加1”的积． 为了确认猜想，亮亮又写出了一个算式进行验证： 【字母说明】 如何用字母说明上述猜想成立呢？ （1）下面是亮亮的说明过程，请你补充完整． 说明：设该两位数的十位数字是（，且是整数），个位数字是5． …… 【回顾反思】 数学兴趣小组的同学又列举了一些类似的算式进行探究： 通过观察，发现上述算式似乎也有某种规律． （2）请你利用上述规律计算：___________=_____________． （3）兴趣小组的同学归纳了上面三组式子的一般规律并用字母说明，请你补充完整． 一般规律是___________________________________． 说明：设这两个两位数的十位数字分别是、（、是小于10的正整数且满足），个位数字都为1． …… 23. 今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． （1）①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． （2）如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 （满分：120分；时间：120分钟） 说明： 本试题分为第I卷和第II卷两部分，共23题．其中第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题共15题，96分． 所有题目请均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照同底数幂的乘法法则、合并同类项、幂的乘方、积的乘方分别进行运算，即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2. 如图，于，直线经过点，则与的关系是（） A. 互余 B. 互补 C. 对顶角 D. 相等 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，利用对顶角相等可得，结合角的和差关系即可得出与的关系． 【详解】解：由题意得， 对顶角相等， ， ， ， 与互余． 3. 事件甲：地球绕着太阳转；事件乙：购买彩票中奖．下列说法正确的是（ ） A. 事件甲，乙都是随机事件 B. 事件甲是随机事件，事件乙是必然事件 C. 事件甲，乙都是必然事件 D. 事件甲是必然事件，事件乙是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对随机事件和必然事件概念的理解，熟知必然事件是在一定的条件下一定会发生的事件；随机事件是在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，据此分析判断即可． 【详解】解：依题意，事件甲：地球绕着太阳转是必然事件， 事件乙：购买彩票中奖是随机事件， 故选：D． 4. 如图，已知，那么下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】∠1和∠2是直线AB、CD被直线DB所截的内错角，若∠1=∠2，则ABCD． 【详解】解：∵∠1=∠2 ∴ABCD（内错角相等，两直线平行），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 5. 下列说法合理的是（    ） A. 小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C. 某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D. 小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据概率的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意； B、某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意； C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意； D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意； 故选：D． 6. 汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，用两种方式表示出阴影部分的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积可以表示为，还可以表示为， 故验证的公式为， 故选：B． 8. 观察下列各式： ； ； ； … 根据以上规律计算：=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法规律探究，找出规律是解题的关键．观察等式得出，利用归纳总结的规律求解即可． 【详解】解：由原题中的等式可得：， 当时，． 故选：D． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据题意得游戏版的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，进行计算即可得，能正确求出游戏板的面积和阴影部分所占的面积是解题的关键． 【详解】解：∵游戏板的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积， ∴飞镖落在阴影部分的概率是：， 故答案为：． 10. 若，则_______ ． 【答案】18 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则求解． 【详解】解：． 11. 已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则的度数为________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定求角度，三角板中的角度计算，数形结合是解题的关键． 过点作，根据平行线的性质得出，进而得出， ，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 12. 我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【答案】 ①. ②. ##90000 【解析】 【分析】先根据单位换算关系将换算为米，并用科学记数法表示，再计算蜂鸟体长与测量精度的倍数关系． 【详解】解：∵， ∴． 蜂鸟体长为， 倍数． 13. 如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 14. 任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是______；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为______． 【答案】 ①. 1（答案不唯一） ②. 961 【解析】 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数的计算，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是（答案不唯一，还可能是169等）； 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 三、作图题（本题满分10分，共有2道题） 15. 尺规作图：已知，，求作：直线，使经过点，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定，作即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作，则即为所求， 理由：∵， ∴， ∴即为所求． 16. 如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上． （1）过点画直线的垂线，垂足为点； （2）比较大小：____________，理由是：______________； （3）线段，则点到直线的距离为_______________． 【答案】（1）见解析 （2），垂线段最短 （3） 【解析】 【分析】（1）结合全等三角形的判定和性质作图即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）根据等面积法计算即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是直线的垂线； 【小问2详解】 解：，理由是：垂线段最短； 【小问3详解】 解：设点到直线的距离为h， ∵， ∴， 解得：． 四、解答题（本题满分68分，共有7道题） 17. 计算下列各式： （1） （2）； （3） （4）（用简便方法计算）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别计算绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再将结果进行加减运算． （2）先计算单项式乘法，再计算积的乘方，最后进行单项式除法运算． （3）先利用完全平方公式展开括号内的式子并合并同类项，再进行单项式除法运算． （4）将转化为平方差公式的形式，再利用平方差公式进行简便计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式进行计算，再合并同类项对式子化简，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 【答案】指针落在红色区域的概率，指针落在白色区域的概率． 【解析】 【分析】根据红色区域的圆心角求出指针落在红色区域的概率，进而可知指针落在白色区域的概率． 【详解】解：指针落在红色区域的概率， 则指针落在白色区域的概率． 20. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】（1）117，0.80 （2）0.8 （3） 【解析】 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； 【小问3详解】 解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 21. 完成下面的说明，并在括号里注明依据． 如图，已知点，在直线上，是的平分线，过点作的平行线交于点．证明：． 证明：因为， 所以_________（依据：_____________________） _________（依据：_____________________） 因为是的平分线， 所以（依据：_____________________） 所以（依据：_____________________） 因为，（依据：_____________________） 所以（依据：_____________________） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换；邻补角互补；等角的补角相等． 【解析】 【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质补全证明过程即可． 【详解】证明：因为， 所以（依据：两直线平行，内错角相等） （依据：两直线平行，同位角相等） 因为是的平分线， 所以（依据：角平分线的定义） 所以（依据：等量代换） 因为，（依据：邻补角互补） 所以（依据：等角的补角相等） 22. 【问题提出】 在数学课上，老师提出如下问题： 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？ 【举例观察】 亮亮同学列出下列算式进行观察： ； ； ， 通过观察，亮亮发现“个位数字是5的两位数的平方，似乎都可以写成类似的形式”！ 【猜想验证】 亮亮猜想： 个位数字是5的两位数的平方，结果末尾的两个数字是25；去掉末尾的两个数字25，前面的数等于原数的十位数字乘以“十位数字加1”的积． 为了确认猜想，亮亮又写出了一个算式进行验证： 【字母说明】 如何用字母说明上述猜想成立呢？ （1）下面是亮亮的说明过程，请你补充完整． 说明：设该两位数的十位数字是（，且是整数），个位数字是5． …… 【回顾反思】 数学兴趣小组的同学又列举了一些类似的算式进行探究： 通过观察，发现上述算式似乎也有某种规律． （2）请你利用上述规律计算：___________=_____________． （3）兴趣小组的同学归纳了上面三组式子的一般规律并用字母说明，请你补充完整． 一般规律是___________________________________． 说明：设这两个两位数的十位数字分别是、（、是小于10的正整数且满足），个位数字都为1． …… 【答案】（1）见解析 （2）；； （3）两个十位数字之和为，个位数字都为的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上的和乘以，再加上．说明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意，将亮亮的说明过程补充完整即可； （2）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （3）结合（2）中发现的规律进行证明即可． 【小问1详解】 解：设该两位数的十位数字是（，且是整数），个位数字是． 则这个两位数可表示为， 所以； 【小问2详解】 解：因为， ， ， 所以． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：一般规律是：两个十位数字之和为，个位数字都为的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上的和乘以，再加上． 说明：如下： 设这两个两位数的十位数字分别是、（、是小于的正整数且满足），个位数字都为．则这两个两位数分别为和， 所以． 因为， 所以． 故答案为：两个十位数字之和为，个位数字都为的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上的和乘以，再加上． 23. 今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． （1）①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． （2）如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 【答案】（1）①；②； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得 ，则 ，由平行线的性质得 ，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得 ， ，由平行线的性质得 ，推出 ，即可得出； （3）先证 ，再证 ，最后根据平角可得度数，即可得解． 【小问1详解】 解：①由题意得：， ， ， ， ； 故答案为：； ②由题意得： ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由题意得： ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，即交于点， 由折叠的性质得到： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在平角上，则有， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $