精品解析：山东省青岛市市北区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

七年级数学质量调研 （满分：120分；时间：120分钟） 说明： 本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．其中第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题共16题，96分．所有题目请均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 3. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 5. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 6. 如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（ ）米． A. B. C. D. 8. 在数学实践课上，同学们将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4种拼法中，不能够验证平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是________． 10. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 11. 已知，，则的值是_____． 12. 请在下列的横线上填上适当的式子：（______）____________ 13. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则与的度数和是 _________． 14. 有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，，的边长之和为__________． 三、作图题（本题满分10分，共有2道题） 15. 已知：点A、点B、点C均在网格点上，用直尺在网格上画图： （1）过点C画的平行线； （2）过点C画的垂线，垂足为E； （3）若每个小方格的边长为1，连接，则三角形的面积是______． 16. 如图，点为的边上一点，过点作直线．（要求用尺规作图，并保留作图痕迹） 四、解答题（本题满分68分，共有8道大题） 17. 计算下列各式： （1） （2） （3） （4）利用完全平方公式计算： 18. 先化简，再求值 ，其中． 19. 如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字，，，，，．小明与小颖用这个转盘做游戏，两人约定：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域则小明胜，指针指向偶数区域则小颖胜，若转到边界线上则重新转．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 20. 如图是某老旧小区在改造天然气管道，从A处出发沿北偏东方向到达处，由于人工湖的影响，从处沿北偏西方向到处，从处沿着与垂直的方向铺设，就可以保持与的方向一致（即），到达天然气管道终点处．天然气公司解释理由如下，请你补充完整． 理由：因为（已知）， 所以（依据：______）， 因为（已知）， 所以______（依据：______）， 因为，（已知）， 所以______， 所以______， 所以（依据：______）． 21. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和黑球（除颜色外都相同），小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 ②______ 599 摸到白球的频率 ①______ 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 （1）请将表中数据补充完整； （2）根据上表补全折线统计图； （3）根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是______（保留一位小数）； （4）如果按此方法再摸1000次，并将这1000次试验获得的数据也绘制成折线统计图，那么这两幅折线统计图一般会一样吗？为什么？ 22. 【猜想】 两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值． 【验证】 （1）设两个相邻的整数为，，则它们平均数的平方为______；它们平方的平均数为______；，的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为______． 【说明】 （2）设两个相邻整数分别为a，，用代数式说明猜想成立，并求出这一定值． 23. 如图，已知，，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，则的度数为______（直接写出）． 24. 借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论． 初步应用：（1）如图1，大正方形的面积可以看作是边长为的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即，，，的和，从而得到乘法公式： ．仿照图1，构造图形并计算． 经验总结：完全平方公式可以：从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．（2）如图2，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积． 应用迁移：（3）已知x、y、z满足，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学质量调研 （满分：120分；时间：120分钟） 说明： 本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．其中第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题共16题，96分．所有题目请均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，积的乘方，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法和除法、积的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方计算并判定A；根据同底数幂乘法计算并判定B；根据同底数幂除法计算并判定C；根据积的乘方计算并判定D． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确； 故选：D． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球 B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7 C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上 D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小即可判断. 【详解】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误； B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确； C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误； D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误； 故选B. 【点睛】此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是熟知概率的定义. 3. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据0.000000049用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可． 【详解】解：因为， ∴． 所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 故选：C． 【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键． 5. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故选：C． 6. 如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和矩形的性质，熟知：两直线平行，同位角相等，矩形的性质结合已知条件即可求出1的度数为， 【详解】解：如图，先标注字母， ∵矩形， ∴， ∴； 故选B． 7. 一个正方形的林地，若将一边增加米，另一边增加米，那么扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米，则原正方形的边长是（ ）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算以及一元一次方程的运用，根据题意正确列出等式是解答本题的关键． 设原正方形的边长是米，根据扩建后的林地面积比原来面积增加了平方米可得：，化简解之即可． 【详解】解：设原正方形的边长是米，根据题意得： ， 解得：， 故答案为：A． 8. 在数学实践课上，同学们将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4种拼法中，不能够验证平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：A，左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意； B，左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意； C，左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，不合题意； D，左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，符合题意； 故选D． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是________． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【解析】 【分析】本题考查了平行公理的推论知识点，解题的关键是理解和运用平行公理的推论来判断直线的平行关系． 根据平行公理的推论来判断工人师傅检验电缆线平行的依据． 【详解】解：平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 10. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成， 击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 11. 已知，，则的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据有理数乘方的逆运算可得，再根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：2． 12. 请在下列的横线上填上适当的式子：（______）____________ 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可求解，掌握完全平方公式运算是解题的关键． 【详解】解：由， 故答案为：，，． 13. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则与的度数和是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形，，的边长之和为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，即，再利用完全平方公式计算得出，即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分是边长为的正方形的面积与正方形、正方形的面积差，即，即， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴正方形，，的边长之和为， 故答案为：． 三、作图题（本题满分10分，共有2道题） 15. 已知：点A、点B、点C均在网格点上，用直尺在网格上画图： （1）过点C画的平行线； （2）过点C画的垂线，垂足为E； （3）若每个小方格的边长为1，连接，则三角形的面积是______． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，全等三角形的性质与判定，网格中求三角形面积，画垂线等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则直线即为所求； （2）取格点F，连接交于E，则即为所求；可证明，导角可证明； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，． 16. 如图，点为的边上一点，过点作直线．（要求用尺规作图，并保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定，用尺规作图作出，根据同位角相等两直线平行，可得. 【详解】解：略． 四、解答题（本题满分68分，共有8道大题） 17. 计算下列各式： （1） （2） （3） （4）利用完全平方公式计算： 【答案】（1）11 （2） （3） （4）38809 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，和单项式除以单项式即可得到答案； （3）先利用单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值 ，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字，，，，，．小明与小颖用这个转盘做游戏，两人约定：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域则小明胜，指针指向偶数区域则小颖胜，若转到边界线上则重新转．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】 公平，理由， 小明胜的概率，小颖胜的概率， ∵， ∴游戏是公平的． 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法与运用，根据奇数区和偶数区在整个转盘中所占的份数，再通过概率的几何意义即可解答，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：略． 20. 如图是某老旧小区在改造天然气管道，从A处出发沿北偏东方向到达处，由于人工湖的影响，从处沿北偏西方向到处，从处沿着与垂直的方向铺设，就可以保持与的方向一致（即），到达天然气管道终点处．天然气公司解释理由如下，请你补充完整． 理由：因为（已知）， 所以（依据：______）， 因为（已知）， 所以______（依据：______）， 因为，（已知）， 所以______， 所以______， 所以（依据：______）． 【答案】垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，由垂直的定义得，由平行线的性质得，进而可得，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】理由：因为（已知）， 所以（依据：垂直的定义）， 因为（已知）， 所以（依据：两直线平行，同旁内角互补）， 因为，（已知）， 所以， 所以， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行． 21. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和黑球（除颜色外都相同），小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 ②______ 599 摸到白球的频率 ①______ 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 （1）请将表中数据补充完整； （2）根据上表补全折线统计图； （3）根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是______（保留一位小数）； （4）如果按此方法再摸1000次，并将这1000次试验获得的数据也绘制成折线统计图，那么这两幅折线统计图一般会一样吗？为什么？ 【答案】（1）0.7；540 （2） 如图所示， （3）0.6 （4）一般不会一样，摸球试验是随机的 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，画折线统计图，解题的关键是理解频率定义． （1）根据频率，频数和总数之间的关系求解即可； （2）根据表格中的数据描点画出折线统计图即可； （3）根据折线统计图进行解答即可； （4）根据随机试验的特点求解即可． 【小问1详解】 解：①摸到白球的频率为； ②摸到白球的次数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是0.6； 【小问4详解】 ∵摸球试验是随机的 ∴这两幅折线统计图一般不会一样，但随着摸球数量的增加，摸出白球的频率都会稳定在0.6左右． 22. 【猜想】 两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值． 【验证】 （1）设两个相邻的整数为，，则它们平均数的平方为______；它们平方的平均数为______；，的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为______． 【说明】 （2）设两个相邻整数分别为a，，用代数式说明猜想成立，并求出这一定值． 【答案】（1）；；； （2），， ∴， ∴定值为：． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键； （1）先计算出两数的平均数，再计算出该平均数的平方；先计算出两数的平方，再计算出两数的平方的和的平均数，再求出，的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差即可； （2）根据完全平方公式求出两数的平均数的平方和平方的平均数，再计算它们的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差即可得到答案． 【详解】解：（1）； ； ， 故答案为：；；； （2）略 23. 如图，已知，，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，则的度数为______（直接写出）． 【答案】（1） ，理由， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角度计算，三角形外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意，结合已知条件得到，从而证明； （）利用（）中结论得到，又，，则有，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 24. 借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论． 初步应用：（1）如图1，大正方形的面积可以看作是边长为的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即，，，的和，从而得到乘法公式： ．仿照图1，构造图形并计算． 经验总结：完全平方公式可以：从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．（2）如图2，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积． 应用迁移：（3）已知x、y、z满足，，，求的值． 【答案】 （1）如图，已知大正方形的边长为， 利用图形3的面积关系可得：． （2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用； （1）直接作图即可得出即可； （2）由题意可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案； （3）由可得，再两边平方可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）由题意可得：， ∵两正方形的面积和， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $