专题03勾股定理及其逆定理易错必刷题型专项训练(24大题型共计72道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题03勾股定理及其逆定理易错必刷题型专项训练 本专题汇总勾股定理及其逆定理全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.直角三角形三边图形面积 题型02.勾股定理与网格问题 题型03.勾股定理与折叠问题 题型04.线段平方和差计算 题型05.线段平方关系证明 题型06.弦图背景计算题 题型07.勾股定理构造解题 题型08.勾股数计算问题 题型09.判定三边是否构成直角三角形 题型10.定点构造直角三角形 题型11.勾股逆定理应用求解 题型12.网格中判定直角三角形 题型13.勾股逆定理拓展题型 题型14.最短路径求解 题型15.旗杆高度计算 题型16.大树折断高度计算 题型17水杯筷子长度计算. 题型18.航海距离计算 题型19.河宽测算问题 题型20.车辆超速判定 题型21.求小鸟飞行距离 题型22.求梯子滑落高度 题型23.求台阶上地毯长度 题型24.判断是否受台风影响 易错必刷题型01.直角三角形三边图形面积 题型特征：以直角三角形三边向外作正方形、半圆、等边三角形，求面积关系或单块面积 易错点：①误将半径当作直径代入圆面积公式 ②不理解相似图形面积通用规律，只会记正方形特例 ③计算平方数值时出错 1．如图，两个正方形的面积分别为8和17，则的长为_________． 【答案】3 【分析】利用勾股定理可得出的平方等于另外两个正方形的面积差(大的减小的)，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：． 则， 2．如图所示，是的边上的高，其中所有的四边形都是正方形，正方形的面积分别为，，，，若，，，则（   ） A．78 B．82 C．84 D．86 【答案】C 【分析】由勾股定理得，，则，进而得，结合已知即可求出，的值，进而可得、、的长，再根据即可求解． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴，， 根据题意知，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，， ∴． 3．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 易错必刷题型02.勾股定理与网格问题 题型特征：方格内求线段长、三角形周长、面积，依托格点构建直角三角形 易错点：①数错横竖格距，直角边取值错误 ②割补法算面积时多算、漏算区域 ③分不清斜边与直角边 4．如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：平移的距离即为对应点所连线段的长度， ∴平移距离． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 【答案】/ 【分析】根据网格的特点，，在中，根据勾股定理可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴． 6．我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方法比较大小即可； （2）构造三边为， 的三角形，根据三边关系比较大小即可；根据平方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：构造线段法：如图； ， ； 平方法：， ， ， ． 易错必刷题型03.勾股定理与折叠问题 题型特征：矩形、三角形折叠后，利用边长不变性质列勾股方程求线段长 易错点：①找不到折叠前后相等对应边 ②设未知数后平方展开计算失误 ③不会构建对应直角三角形 7．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 8．如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题关键是利用勾股定理计算斜边长度，结合折叠的性质找到线段等量关系，再通过勾股定理列方程求解。 （1）直接利用勾股定理计算的长度； （2）根据折叠性质得到线段和角等量关系，设未知数，利用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理： ， 故答案为：； （2）由折叠的性质可知： ，，， 在中，， ， ， 设，则，因此， 在中，根据勾股定理：， 代入，得：， 解得，． 故答案为：． 9．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积公式分别得到，，再根据角平分线的性质得到，由此列式即可求解； （2）过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ，，，由此列式求解即可； （3）根据题意得到，结合题意得到，，设，在中，根据勾股定理列式求解即可； （4）根据题意，运用勾股定理得到，且，结合（1）的计算得到，，，，则，分别算出，，，得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， ∴，， ， ． （2）证明：如图所示，过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：在中，平分交于点， ∴， ∵，，则， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴； （4）解：在中，，平分，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵折叠，点刚好落在边上的点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 易错必刷题型04.线段平方和差计算 题型特征：直接套用勾股变形公式，求解多条线段平方相加、相减数值 易错点：①混淆平方和与平方差公式用法 ②负数平方计算出错 ③不会整体代换已知条件 10．在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 11．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 12．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 易错必刷题型05.线段平方关系证明 题型特征：几何大题中，求证两条线段平方和等于第三条线段平方 易错点：①不会作辅助线构造直角三角形 ②推理步骤逻辑混乱、跳步作答 ③无法转化线段等量关系 13．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 14．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 15．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 易错必刷题型06.弦图背景计算题 题型特征：依托赵爽弦图，求大小正方形边长、面积、直角边长度 易错点：①分不清弦图内直角边、斜边与内外正方形边长关系 ②小正方形边长计算符号颠倒 ③面积换算出错 16．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，小正方形的边长是2，则弦的长度是（    ） A．10 B．12 C．16 D． 【答案】A 【分析】观察图形发现，小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，则，利用勾股定理求出弦的长度即可． 【详解】解：观察图形发现，小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，即， 则， 弦的长度是． 17．第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 【答案】9 【分析】先由勾股定理得，再由完全平方公式得，进而得，再由三角形的面积为，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积为． 18．动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4)见解析 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3）， ， ，， ； （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 易错必刷题型07.勾股定理构造解题 题型特征：题干无现成直角三角形，需自主作高、平移线段构造直角三角形解题 易错点：①辅助线作法思路模糊 ②构造三角形与题干条件不匹配 ③不会结合已知边长列式 19．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 20．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 21．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)< (3)作图见详解，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图． （1）先求的长度，再利用“圆的半径相等”确定的长度，最后结合数轴位置确定数； （2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方数； （3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为，再以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴的点即为对应的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴， 故答案为：<． （3）解：如图所示为所求： 理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使， 在中，， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时， ∴点F即为对应的点． 易错必刷题型08.勾股数计算问题 题型特征：多层嵌套正方形勾股树，求整体面积总和或单层面积 易错点：①找不到逐层面积传递规律 ②逐个数算效率低且易算错 ③分不清左右分支面积归属 22．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 23．如图1叫作一个基本的“勾股树”，也叫作第一代勾股树，它有个正方形．让图中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图），叫作第二代勾股树，它有个正方形．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图），它有个正方形，这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图形得出规律，即可得到第四代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：第一代勾股树中正方形有个， 第二代勾股树中正方形有个， 第三代勾股树中正方形有个， ∴第四代勾股树中正方形有个． 24．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 【答案】(1)8，10；24，25 (2)勾股数为5、12、13或12、35、37 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则（Ⅰ）解决此题． ②根据题干给出的法则（Ⅰ）和（Ⅱ）进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：依题意，6，8，10；7，24，25； （2）解：根据法则（Ⅰ），∵是大于1的奇数， ∴， 则或． 或（不是奇数，舍去）． ． ． 勾股数为5、12、13． 根据法则（Ⅱ）， 则或或， 或（舍去）或（舍去）． 则，， 勾股数为12、35、37． 综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37． 易错必刷题型09.判定三边是否构成直角三角形 题型特征：给出三条线段长度，用逆定理判断能否组成直角三角形 易错点：①未先找出最长边就盲目验算 ②大数平方计算失误 ③混淆直角三角形与勾股数概念 25．下列各组数据可以构成直角三角形的一组数据为（    ） A．3，4，7 B．4，5，6 C．7，12，13 D．8，15，17 【答案】D 【详解】解：选项A：，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 选项B：，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 选项C：，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 选项D：，，可得，能构成直角三角形，符合题意． 26．已知三角形的三边长分别为，，，则以下条件：①；②；③；④，，；⑤．其中能说明是直角三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐个判断条件即可得到结果． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形； ②设， ∵， ∴， 解得， ∴最大角， ∴不是直角三角形； ③设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形； ④∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； ⑤∵， ∴，即， ∴是直角三角形； 综上，能说明是直角三角形的共4个． 27．要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有： ．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法“解决下列问题： (1)分解因式：． (2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ (3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为2021； (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到，再利用平方差公式分解即可； （2）配方得，利用非负数的性质求解即可； （3）配方得，求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴当时，有最小值，最小值为2021； （3）解：， ∴， ∴， 解得：，，， ∵， ∴是直角三角形． 易错必刷题型10.定点构造直角三角形 题型特征：已知两个定点，寻找第三个点，使三点围成直角三角形 易错点：①遗漏直角顶点三种分类情况，出现漏解 ②坐标类题目数值计算偏差 ③主观固定直角位置 28．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 29．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________． 【答案】(2，0)或（5，0） 【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标． 【详解】与轴交于点， ∴y=0，x=-1， ∴A(-1，0)， 直线与直线交于点， ， 解得， ∴B（2，3）， 当点C为直角顶点时， ∴BC⊥AC， ∴BC∥y轴， B、C横坐标相同，C（2，0）， 当点B为直角顶点时， ∴BC⊥AB， ，k=1， ∴∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=， AC==6， AO=1， CO=AC-AO=5， C（5，0）， C点坐标为（2，0）或（5，0）． 故答案为：（2，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键． 30．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 易错必刷题型11.勾股逆定理应用求解 题型特征：利用逆定理判定直角后，再求解边长、周长、面积等问题 易错点：①判定直角后不会衔接后续计算 ②边长取值不符合实际长度要求 ②定理使用顺序颠倒 31．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 32．如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，掌握折叠前后对应边相等，利用勾股定理列方程求线段长度是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设，在中用勾股定理列方程求出，最后计算阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，，， ， 为直角三角形，且． 设． 由折叠的性质，得，， ． ∵在中，根据勾股定理，得， ， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为． 故选：A． 33．如图，在中，，， 是边上的中线，是边上的高，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，高线，勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理应用是解题的关键． （1）先证明是直角三角形，然后根据三角形面积公式求解； （2）先求，再根据求解即可． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， ， 又， ， 是直角三角形， 又是的高， ∴， ； （2）解：在中，由勾股定理得， ， ． 易错必刷题型12.网格中判定直角三角形 题型特征：格点三角形，先算三边长度，再判定是否为直角三角形 易错点：①格点线段长度计算错误 ②验算时对错最长判定边 ③凭肉眼直观判断，不用定理验证 34．如图，在的正方形网格中，_________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理. 求出，可知． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴. 故答案为：． 35．如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的面积为5 D．点到的距离为 【答案】D 【分析】结合网格特点，利用勾股定理求出的长，则可得A正确；再根据勾股定理的逆定理可得B正确；利用直角三角形的面积公式可得C正确、D错误． 【详解】解：，则选项A正确； ， ， ∴， ∴是直角三角形，且，则选项B正确； ∴的面积为，则选项C正确； 设点到的距离为， ∴， ∴，则选项D错误． 36．如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成： (1)从点出发画线段，以及线段，使，且两点也在格点上 (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)不是，理由见解析 【分析】（1）结合网格特点和勾股定理画图即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：， 则如图，线段，，即为所求． ． （2）解：不是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴，即不满足勾股定理的逆定理， ∴不是直角三角形． 易错必刷题型13.勾股逆定理拓展题型 题型特征：结合四边形、等腰三角形、动点问题综合判定直角 易错点：①不会拆分复杂图形提取直角三角形 ②动点范围判断不准确 ③多重条件下定理混用 37．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 38．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 39．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 易错必刷题型14.最短路径求解 题型特征：长方体、圆柱体立体表面，求两点之间最短行走路线 易错点：①立体图形展开方式选错 ②圆柱底面周长与直径概念混淆 ③不会将立体转为平面直角三角形 40．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 【答案】 【分析】把圆柱的侧面展开，找出最短路径，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时是底面周长的一半， ∴，， ， ∴蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为． 41．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，，，， ∴， ∵， ∴沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是． 42．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；② 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 【点睛】解题的关键是根据代数式的几何意义，构造直角三角形，将代数为转换为几何求最值问题，借助将军饮马几何模型和三角形三边关系进行求解． 易错必刷题型15.旗杆高度计算 题型特征：旗杆垂直地面，结合绳索长度，列方程求解旗杆高度 易错点：①绳索总长拆分错误 ②解方程移项、合并同类项出错 ③忽略旗杆垂直地面固定条件 43．如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为______． 【答案】12米/ 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设旗杆米，则绳长米，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设旗杆米，则绳长米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 44．如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 【答案】A 【分析】设墙面高度为米，根据题意表示出绳子长度即斜边的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设墙面高度为米， 绳子紧贴墙面到点还多出米， 绳子的总长度为米， 绳子拉直后末端刚好接触地面， 斜边的长度等于绳子的总长度， 即， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 墙面的高度为米． 45．风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，，． 在中，， ． （2）解：不能成功．假设能上升12m，如图，延长至点，连接，则， ． 在中，． ． ，余线仅剩7.5m， ， ∴不能上升12m，即不能成功． 易错必刷.题型16.大树折断高度计算 题型特征：大树拦腰折断，已知地面间距，求树木原本总高度 易错点：①只算折断斜边，忘记加剩余树干高度 ②直角边数据代入颠倒 ③总高度概念理解错误 46．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用树垂直于地面，形成，因此用勾股定理结合已知条件求出长度，再用长度加上长度即为大树的高度． 【详解】解：∵树折断部分与未断部分和地面构成了直角三角形，且，， ∴， ∴这棵树原来的高度为． 47．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为__________尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 故答案为：． 48．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 易错必刷题型17水杯筷子长度计算. 题型特征：已知水杯长宽高，求筷子露出杯外长度取值范围 易错点：①不会确定杯内筷子最长、最短临界状态 ②底面对角线计算错误 ③取值范围书写颠倒 49．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为__________米． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设米，则有米，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意可设米，则有米， ∵米， ∴，即， 解得：， ∴米； 故答案为：2． 50．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，水深为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设芦苇的长度是尺，则水深为尺， 根据题意，得． 51．如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【答案】筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据筷子露在杯子口外的最短长度以及筷子的长度，求出筷子插入茶杯的最大长度，根据勾股定理求出的长度是解答此题的关键． 【详解】解：由题意，得，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是． 易错必刷题型18.航海距离计算 题型特征：依据东南、西北等方位角，构建直角三角形求航行距离 易错点：①方位方向判断错误，构图偏差 ②航行路程累加计算失误 ③不会识别垂直航向直角关系 52．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 【答案】15 【详解】解：由题意可得：（海里），（海里），， （海里）． 53．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角； 本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 故选：B． 54．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 【答案】9米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为17米， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米） 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 易错必刷题型19.河宽测算问题 题型特征：游泳、测量类场景，利用偏移距离求解河流垂直宽度 易错点：①误把斜线距离当作河宽 ②直角边对应关系看错 ③实际场景几何模型构建错误 55．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 56．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 57．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 易错必刷题型20.车辆超速判定 题型特征：已知观测距离与行驶时间，计算车速对比限速标准 易错点：①路程、速度、时间公式混用 ②单位不统一直接计算 ③车速数值对比判断失误 58．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 59．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 60．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 易错必刷题型21.求小鸟飞行距离 题型特征：两棵高度不同树木，求小鸟直线飞行最短距离 易错点：①算错两棵树竖直高度差 ②水平间距数据取用错误 ③不会快速构建直角三角形模型 61．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 62．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 63．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 易错必刷题型22.求梯子滑落高度 题型特征：梯子斜靠墙面，底端滑动后，求顶端下滑垂直距离 易错点：①默认梯子长度发生改变 ②滑动前后两组直角边混淆 ③只算单端高度，不算下滑差值 64．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 65．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴． 66．如图，在离水面高度为的岸上处（米），有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以1米/秒的速度收绳，4秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的，结果保留根号） 【答案】米 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 在中，由勾股定理得米， ∴米， 答：船向岸边移动了米． 易错必刷题型23.求台阶上地毯长度 题型特征：阶梯坡面铺设地毯，计算地毯整体铺设总长 易错点：①误用勾股定理计算坡面斜长 ②不会平移拼接横竖边长 ③重复计算或漏算阶梯边 67．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 68．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 69．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键． 易错必刷题型24.判断是否受台风影响 题型特征：已知台风路径与影响半径，判定地点是否遭受侵袭 易错点：①不会作垂线段求最短距离 ②直接用斜线距离对比半径 ③行程与距离概念混淆 70．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 71．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    72．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理及其逆定理易错必刷题型专项训练 本专题汇总勾股定理及其逆定理全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.直角三角形三边图形面积 题型02.勾股定理与网格问题 题型03.勾股定理与折叠问题 题型04.线段平方和差计算 题型05.线段平方关系证明 题型06.弦图背景计算题 题型07.勾股定理构造解题 题型08.勾股数计算问题 题型09.判定三边是否构成直角三角形 题型10.定点构造直角三角形 题型11.勾股逆定理应用求解 题型12.网格中判定直角三角形 题型13.勾股逆定理拓展题型 题型14.最短路径求解 题型15.旗杆高度计算 题型16.大树折断高度计算 题型17水杯筷子长度计算. 题型18.航海距离计算 题型19.河宽测算问题 题型20.车辆超速判定 题型21.求小鸟飞行距离 题型22.求梯子滑落高度 题型23.求台阶上地毯长度 题型24.判断是否受台风影响 易错必刷题型01.直角三角形三边图形面积 题型特征：以直角三角形三边向外作正方形、半圆、等边三角形，求面积关系或单块面积 易错点：①误将半径当作直径代入圆面积公式 ②不理解相似图形面积通用规律，只会记正方形特例 ③计算平方数值时出错 1．如图，两个正方形的面积分别为8和17，则的长为_________． 2．如图所示，是的边上的高，其中所有的四边形都是正方形，正方形的面积分别为，，，，若，，，则（   ） A．78 B．82 C．84 D．86 3．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 易错必刷题型02.勾股定理与网格问题 题型特征：方格内求线段长、三角形周长、面积，依托格点构建直角三角形 易错点：①数错横竖格距，直角边取值错误 ②割补法算面积时多算、漏算区域 ③分不清斜边与直角边 4．如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A．3 B． C．4 D． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 6．我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 易错必刷题型03.勾股定理与折叠问题 题型特征：矩形、三角形折叠后，利用边长不变性质列勾股方程求线段长 易错点：①找不到折叠前后相等对应边 ②设未知数后平方展开计算失误 ③不会构建对应直角三角形 7．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 9．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 易错必刷题型04.线段平方和差计算 题型特征：直接套用勾股变形公式，求解多条线段平方相加、相减数值 易错点：①混淆平方和与平方差公式用法 ②负数平方计算出错 ③不会整体代换已知条件 10．在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 11．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 12．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 易错必刷题型05.线段平方关系证明 题型特征：几何大题中，求证两条线段平方和等于第三条线段平方 易错点：①不会作辅助线构造直角三角形 ②推理步骤逻辑混乱、跳步作答 ③无法转化线段等量关系 13．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 14．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 15．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 易错必刷题型06.弦图背景计算题 题型特征：依托赵爽弦图，求大小正方形边长、面积、直角边长度 易错点：①分不清弦图内直角边、斜边与内外正方形边长关系 ②小正方形边长计算符号颠倒 ③面积换算出错 16．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，小正方形的边长是2，则弦的长度是（    ） A．10 B．12 C．16 D． 17．第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 18．动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 易错必刷题型07.勾股定理构造解题 题型特征：题干无现成直角三角形，需自主作高、平移线段构造直角三角形解题 易错点：①辅助线作法思路模糊 ②构造三角形与题干条件不匹配 ③不会结合已知边长列式 19．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 20．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 21．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 易错必刷题型08.勾股数计算问题 题型特征：多层嵌套正方形勾股树，求整体面积总和或单层面积 易错点：①找不到逐层面积传递规律 ②逐个数算效率低且易算错 ③分不清左右分支面积归属 22．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 23．如图1叫作一个基本的“勾股树”，也叫作第一代勾股树，它有个正方形．让图中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图），叫作第二代勾股树，它有个正方形．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图），它有个正方形，这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 24．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 易错必刷题型09.判定三边是否构成直角三角形 题型特征：给出三条线段长度，用逆定理判断能否组成直角三角形 易错点：①未先找出最长边就盲目验算 ②大数平方计算失误 ③混淆直角三角形与勾股数概念 25．下列各组数据可以构成直角三角形的一组数据为（    ） A．3，4，7 B．4，5，6 C．7，12，13 D．8，15，17 26．已知三角形的三边长分别为，，，则以下条件：①；②；③；④，，；⑤．其中能说明是直角三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有： ．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法“解决下列问题： (1)分解因式：． (2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ (3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 易错必刷题型10.定点构造直角三角形 题型特征：已知两个定点，寻找第三个点，使三点围成直角三角形 易错点：①遗漏直角顶点三种分类情况，出现漏解 ②坐标类题目数值计算偏差 ③主观固定直角位置 28．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________． 30．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 易错必刷题型11.勾股逆定理应用求解 题型特征：利用逆定理判定直角后，再求解边长、周长、面积等问题 易错点：①判定直角后不会衔接后续计算 ②边长取值不符合实际长度要求 ②定理使用顺序颠倒 31．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 32．如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 33．如图，在中，，， 是边上的中线，是边上的高，且． (1)求的长； (2)求的长． 易错必刷题型12.网格中判定直角三角形 题型特征：格点三角形，先算三边长度，再判定是否为直角三角形 易错点：①格点线段长度计算错误 ②验算时对错最长判定边 ③凭肉眼直观判断，不用定理验证 34．如图，在的正方形网格中，_________． 35．如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的面积为5 D．点到的距离为 36．如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成： (1)从点出发画线段，以及线段，使，且两点也在格点上 (2)是直角三角形吗？请说明理由． 易错必刷题型13.勾股逆定理拓展题型 题型特征：结合四边形、等腰三角形、动点问题综合判定直角 易错点：①不会拆分复杂图形提取直角三角形 ②动点范围判断不准确 ③多重条件下定理混用 37．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 38．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 39．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 易错必刷题型14.最短路径求解 题型特征：长方体、圆柱体立体表面，求两点之间最短行走路线 易错点：①立体图形展开方式选错 ②圆柱底面周长与直径概念混淆 ③不会将立体转为平面直角三角形 40．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 41．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A． B． C． D． 42．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 易错必刷题型15.旗杆高度计算 题型特征：旗杆垂直地面，结合绳索长度，列方程求解旗杆高度 易错点：①绳索总长拆分错误 ②解方程移项、合并同类项出错 ③忽略旗杆垂直地面固定条件 43．如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为______． 44．如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 45．风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 易错必刷.题型16.大树折断高度计算 题型特征：大树拦腰折断，已知地面间距，求树木原本总高度 易错点：①只算折断斜边，忘记加剩余树干高度 ②直角边数据代入颠倒 ③总高度概念理解错误 46．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（      ） A． B． C． D． 47．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为__________尺． 48．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 易错必刷题型17水杯筷子长度计算. 题型特征：已知水杯长宽高，求筷子露出杯外长度取值范围 易错点：①不会确定杯内筷子最长、最短临界状态 ②底面对角线计算错误 ③取值范围书写颠倒 49．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为__________米． 50．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 51．如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 易错必刷题型18.航海距离计算 题型特征：依据东南、西北等方位角，构建直角三角形求航行距离 易错点：①方位方向判断错误，构图偏差 ②航行路程累加计算失误 ③不会识别垂直航向直角关系 52．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 53．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 54．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 易错必刷题型19.河宽测算问题 题型特征：游泳、测量类场景，利用偏移距离求解河流垂直宽度 易错点：①误把斜线距离当作河宽 ②直角边对应关系看错 ③实际场景几何模型构建错误 55．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 56．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 57．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 易错必刷题型20.车辆超速判定 题型特征：已知观测距离与行驶时间，计算车速对比限速标准 易错点：①路程、速度、时间公式混用 ②单位不统一直接计算 ③车速数值对比判断失误 58．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 59．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    60．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 易错必刷题型21.求小鸟飞行距离 题型特征：两棵高度不同树木，求小鸟直线飞行最短距离 易错点：①算错两棵树竖直高度差 ②水平间距数据取用错误 ③不会快速构建直角三角形模型 61．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 62．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 63．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 易错必刷题型22.求梯子滑落高度 题型特征：梯子斜靠墙面，底端滑动后，求顶端下滑垂直距离 易错点：①默认梯子长度发生改变 ②滑动前后两组直角边混淆 ③只算单端高度，不算下滑差值 64．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 65．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 66．如图，在离水面高度为的岸上处（米），有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以1米/秒的速度收绳，4秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的，结果保留根号） 易错必刷题型23.求台阶上地毯长度 题型特征：阶梯坡面铺设地毯，计算地毯整体铺设总长 易错点：①误用勾股定理计算坡面斜长 ②不会平移拼接横竖边长 ③重复计算或漏算阶梯边 67．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 68．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 69．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 易错必刷题型24.判断是否受台风影响 题型特征：已知台风路径与影响半径，判定地点是否遭受侵袭 易错点：①不会作垂线段求最短距离 ②直接用斜线距离对比半径 ③行程与距离概念混淆 70．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 71．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 72．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $