精品解析：山东省滨州市无棣县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025—2026学年第二学期阶段性学业质量监测 八年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 第 Ⅰ 卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. D. 5，6，7 3. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 6. 意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，M，N分别为，的中点，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 8. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 第 Ⅱ 卷（非选择题 共96分） 二、填空题(每小题3分，共计18分) 9. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 10. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 11. 矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线长为2，则矩形的面积为________． 12. 如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 13. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是_____________． 14. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 三．解答题（共计78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 18. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 19. 【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． （1）____________； （2）求的面积； （3）过点作，垂足为，求线段的长． 20. 阅读与应用 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足公式（其中米/秒）． （1）当米时，求下落的时间；（结果保留根号） （2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ，， ，即， ．． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算：_______． （2）化简：． （3）若，求的值． 23. 【问题背景】（1）点，分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． 小茗同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述三条线段的数量关系为 ． 【变式迁移】（2）如图2，在平行四边形中，，，点，分别在，上．若，，． ①直接写出的长为 ； ②连接，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期阶段性学业质量监测 八年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 第 Ⅰ 卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义， 则，解得． 2. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. D. 5，6，7 【答案】A 【解析】 【分析】若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，据此逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，此选项符合题意； B．， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意； C．， 不能构成直角三角形，此选项不符合题意 D．，不能构成直角三角形，此选项不符合题意． 3. 在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并规则、二次根式乘方运算、带分数二次根式的化简规则，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵与不是同类二次根式，不能直接合并，∴A错误； 对于选项B，∵，计算正确，∴B正确； 对于选项C，∵，∴C错误； 对于选项D，∵，∴D错误． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误． B选项，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，故C正确． D选项，对边相等是所有平行四边形都具有的性质，无法判定该平行四边形是矩形，故D错误． 6. 意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息． 7. 如图，在平行四边形中，，M，N分别为，的中点，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据是的中位线，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形，， ， M，N分别为，的中点， 是的中位线， ． 8. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由即可得到点A表示的实数． 【详解】解：根据勾股定理，得， ∵， ∴ ∵点在原点的左边， ∴点表示的实数是． 第 Ⅱ 卷（非选择题 共96分） 二、填空题(每小题3分，共计18分) 9. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 10. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式， 因此被开方数相等，可得 解得． 11. 矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线长为2，则矩形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键．根据矩形的两条对角线的夹角为，可以判定为等边三角形，即可求得，在直角中，已知，，根据勾股定理即可计算的长，进而计算矩形的周长即可解题． 【详解】解：如图， 矩形的两条对角线的夹角为：， 矩形对角线相等且互相平分， 为等边三角形， ， 在直角中，，， ， 故矩形的面积为：． 故答案为：． 12. 如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 【答案】34 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了30海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，第一艘船（西北方向）：速度海里时，航行小时， ∴； 第二艘船（西南方向）：速度15海里时，航行2小时， ∴海里， ∴． 13. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是_____________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 先根据菱形的性质得，则利用得到，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用等角的余角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 三．解答题（共计78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再计算乘法，然后进行加减运算即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，由“AAS”可证△ADE≌△CBF，可得ED=FB，AE=CF，可得BE=DF，则可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，∠A＝∠C，AB=DC， 又∵∠1＝∠2， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∴AE+BE＝CF+DF， ∴BE＝DF，且DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的判定和性质． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，可得，即，根据可得； （2）根据题意，得，设，再根据勾股定理，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作图形； 【小问2详解】 ， ， 连接， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 故． 18. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1） （2）木工乙的想法可行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； 【小问2详解】 解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 19. 【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． （1）____________； （2）求的面积； （3）过点作，垂足为，求线段的长． 【答案】（1）12 （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，也考查了阅读理解能力． （1）利用阅读材料，把数值代入公式中即可计算出的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． 【小问1详解】 解：，，， ． 故答案为：12． 【小问2详解】 ，，， ． 【小问3详解】 ， ． ． 在中，，， ． 20. 阅读与应用 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足公式（其中米/秒）． （1）当米时，求下落的时间；（结果保留根号） （2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 【答案】（1）下落的时间为秒； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【小问1详解】 解：当米时：， 答：下落的时间为秒； 【小问2详解】 解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ，， ，即， ．． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算：_______． （2）化简：． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中每一项裂项，再计算求解即可； （3）先分母有理化得到，则，再由完全平方公式推出，把所求式子先变形为 ，最后利用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设为正整数， 则， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 23. 【问题背景】（1）点，分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． 小茗同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述三条线段的数量关系为 ． 【变式迁移】（2）如图2，在平行四边形中，，，点，分别在，上．若，，． ①直接写出的长为 ； ②连接，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【答案】[问题背景] ；[变式迁移]①3；②；[拓展应用] 【解析】 【分析】[问题背景]根据证明，得出，，根据证明，得出，然后根据线段的和差关系即可得出结论； [变式迁移] ①连，先证明为等边三角形，进而证明 ，得到， ， ②过点A作于点．再求出，根据勾股定理分别求出，，最后证明为等边三角形，即可求解； [拓展应用] 过B作，并截取，连接，则证明，得出，，证明，得出，即可求解． 【详解】解：[问题背景] ， 理由：过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴； [变式迁移] ①如图2，连， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴，， ∴ ， 故答案为：3； ②过点A作于点， 又， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴； [拓展应用] ， 理由：过B作，并截取，连接，则 ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判断，勾股定理等知识，熟知相关知识，根据条件添加适当辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $