精品解析：山东临沂市河东区2025-2026学年度下学期期中学业水平质量检测试题 八年级数学

2025-2026学年度下学期期中学业水平质量检测试题八年级数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分120分．考试时间120分钟. 2.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上. 3.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键．根据最简二次根式的概念，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：与不是同类二次根式，无法合并，B错误； 选项C：，计算正确，C正确； 选项D：，D错误． 3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A.满足，，有可能是等腰梯形，四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意； B.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； C.由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D.由，，不能四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 4. 已知三角形的三边长分别为，，，则以下条件：①；②；③；④，，；⑤．其中能说明是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐个判断条件即可得到结果． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形； ②设， ∵， ∴， 解得， ∴最大角， ∴不是直角三角形； ③设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形； ④∵， ∴ ，， ∴， ∴是直角三角形； ⑤∵， ∴，即， ∴是直角三角形； 综上，能说明是直角三角形的共4个． 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形对角线的性质证明为等边三角形，然后求出对角线，再由勾股定理求出． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 、相交于点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 6. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键． 先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到留下部分的面积． 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积． 故选：A． 7. 如图，在学校长方形篮球场上，放着一个长方体的器材箱，已知篮球场宽米，长米，该器材箱的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点爬过器材箱到达处需要走的最短路程是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 39米 【答案】C 【解析】 【分析】解答此题要将器材箱展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将器材箱展开，如图所示： 长相当于增加了2米， ∴长为米，宽为米， ∴最短路径为：（米）． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 22 B. 24 C. 44 D. 88 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，解题的关键是掌握以上公式． 利用勾股定理求出，然后根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：A． 9. 如图，用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中正确的个数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①、由作图可知，垂直平分，即，，，， ∴， 如图， ∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是菱形； ②、由作图可知， 即， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； ③、由作图无法得到四边形是菱形； ④、由作图可知， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 同①可知， 即， ∴四边形是菱形． 10. 如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 12. 如图，钟表的上半部分为正八边形，则该正八边形的每个内角的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：正八边形的内角和为 ∴该正八边形的每个内角的度数是． 13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由n为正整数，也是正整数，知3n是一个完全平方数，从而得出结果． 【详解】解：n为正整数，也是正整数， 则3n是一个完全平方数， 所以n的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数． 14. 如图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半也等于底乘以高，即可求出边上的高． 【详解】解：设边上的高为， 四边形是菱形，， ，， 在中， 菱形的面积 ． 15. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【解析】 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【小问1详解】 解：所作线段和如图所示（图不唯一）： 【小问2详解】 解：所作三角形如图所示（图不唯一）： ， 该三角形为直角三角形． 18. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 【答案】9米 【解析】 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为17米， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米） 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 19. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）试判断线段与的大小关系； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平行得，进而证明，推出，等量代换可得； （2）由等腰三角形三线合一，可得，再证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，证明如下： ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 20. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可． 【小问1详解】 解：∵有意义， ∴，即， ∴ ； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴ ． 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，平行四边形的性质以及三角形内角和定理求解； （2）根据平行四边形的性质以及等角对等边得出相关线段的长度，利用勾股定理逆定理得出直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴平行四边形的面积为． 22. 如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线分别交，，于点E，O，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质则，，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，即可证得结论； （2）过作于，根据菱形的性质，根据含的直角三角形的性质及勾股定理求，，再由即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过作于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23. 综合与实践： 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）折一折、探究证明： 如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕． 如图②：将正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，， 在图②中，请判断的形状并求线段的长度，请说明理由； （2）折一折，类比探究：如图③：将边长为8的正方形纸片折叠，使点落在点处，折痕与边交于点，与边交于点，展开后连接．在图③中，请猜想线段与线段之间的关系，请说明理由； （3）折一折、探究计算：如图④：将边长为8的正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点．若，则的长度为______． 【答案】（1）是等边三角形， （2）且，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得，是的垂直平分线，，进而得到，从而是等边三角形．根据勾股定理在中，求得，证明四边形是矩形，得到，进而即可求解； （2）由轴对称的性质得到．过点N作于点H，设与交于点O，证明，即可得到． （3）连接，证明，设，则，，在中，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下； 由第一次折叠知，是的垂直平分线， ∴， 由第二次折叠知，， ∴， ∴是等边三角形， 由第一次折叠可得， ∵， ∴在中，， ∵在正方形中，，又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：且，理由如下： ∵折叠使点D落在点F处，是折痕， ∴． 过点N作于点H，设与交于点O， ∴， ∵在正方形中，， ∴． ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接， 由折叠性质可知，，， ， ∴，， ， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中学业水平质量检测试题八年级数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分120分．考试时间120分钟. 2.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上. 3.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4.考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知三角形的三边长分别为，，，则以下条件：①；②；③；④，，；⑤．其中能说明是直角三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在学校长方形篮球场上，放着一个长方体的器材箱，已知篮球场宽米，长米，该器材箱的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点爬过器材箱到达处需要走的最短路程是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 39米 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若，则每个直角三角形的面积为（ ） A. 22 B. 24 C. 44 D. 88 9. 如图，用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中正确的个数是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 如图，钟表的上半部分为正八边形，则该正八边形的每个内角的度数是_______． 13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 14. 如图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则边上的高为______． 15. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 18. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 19. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）试判断线段与的大小关系； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 20. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，，求平行四边形的面积． 22. 如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线分别交，，于点E，O，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 23. 综合与实践： 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． （1）折一折、探究证明： 如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕． 如图②：将正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，， 在图②中，请判断的形状并求线段的长度，请说明理由； （2）折一折，类比探究：如图③：将边长为8的正方形纸片折叠，使点落在点处，折痕与边交于点，与边交于点，展开后连接．在图③中，请猜想线段与线段之间的关系，请说明理由； （3）折一折、探究计算：如图④：将边长为8的正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点．若，则的长度为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $