23.3一次函数与方程（组）、不等式（3知识点+8题型+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学下册同步培优讲义

23.3一次函数与方程（组）、不等式 （3知识点+8题型+过关检测） 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 2 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 4 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 7 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 9 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 11 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 14 【题型7 图象法解二元一次方程组】 17 【题型8 求直线围成的图形面积】 19 1. 知识理解：深度理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在关联，掌握数与形的转化核心逻辑，明确三者可以相互转化、互为解题工具。 2. 能力掌握：能够借助一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组；能够根据方程、不等式的解，反向判断一次函数图象的交点、取值范围等图象特征。 3. 思想提升：熟练掌握数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提升几何直观能力、逻辑推理能力和代数运算能力。 4. 解题应用：熟练掌握本节八大核心题型的解题方法与技巧，可独立解决交点求解、解集判断、方程组求解、几何图形面积计算等综合题型。 03 知识•梳理 知识点1 一次函数与一元一次方程的关系 1. 基本定义：对于一次函数 ，当函数值 时，解析式就转化为一元一次方程 。 2. 核心结论：一元一次方程 的解，就是一次函数 的图象与 x轴交点的横坐标。 3. 双向转化： · 代数转几何：解方程 → 求直线 与x轴交点横坐标； · 几何转代数：已知直线与x轴交点 → 方程 的解为 。 知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系 设一次函数 ，函数图象将平面分为上下两部分，对应两类一元一次不等式： 1. ：对应直线 x轴上方所有点的横坐标取值范围； 2.：对应直线 x轴下方所有点的横坐标取值范围； 3. 增减性规律： · 当 （直线上升）：图象从左到右升高，解集随x增大正向延伸； · 当 （直线下降）：图象从左到右降低，解集随x增大反向延伸。 知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系 1. 核心原理：任意一个二元一次方程都可以转化为一次函数解析式，对应一条直线；二元一次方程组的解，是方程组中两个方程对应两条直线的交点坐标。 2. 双向转化： · 几何转代数：两条直线 、 的交点 ，就是方程组 的解； · 代数转几何：求解二元一次方程组，本质就是求对应两条直线的交点坐标。 3. 特殊情况：两直线平行（）→ 无交点 → 方程组无解；两直线重合 → 无数交点 → 方程组有无数组解。 04 题型•汇总 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 题型特征：已知一次函数直线与x轴、y轴的交点坐标，求对应一元一次方程的解。 解题技巧： 1. 直线 与x轴交点为 ，则方程 的解为 ； 2. 直线 与y轴交点为 ，则方程 的解为 ； 核心关键：x轴上所有点纵坐标为0，直接对应函数值为0的方程，无需复杂计算。 【典例1】．如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 【变式1】．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数解析式中，得到与的关系式，再将所求方程进行变形，求解即可． 【详解】解：观察图象可知，一次函数的图象经过点， ， ， 关于的方程可变形为：， 即， ， ． 【变式2】．如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．据此即可求解． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 【变式3】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 【答案】①③ 【分析】此题考查了一次函数、解方程、解不等式等知识．根据一次函数与y轴交点坐标的正负性确定k的范围，代入点坐标验证点是否在函数图象上，解方程及不等式判断结论的正确性． 【详解】解：对于结论①，当时，， 故函数经过点，结论正确； 对于结论②，函数交y轴正半轴于点A，则时，，解得，故结论②错误； 对于结论③，方程可化为，由于函数交y轴正半轴，，，故，解得，结论正确； 对于结论④，不等式可化为， 当时，，而时， 故，结论错误． 故答案为：①③． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 题型特征：已知一元一次方程的解，求对应一次函数直线与x轴的交点坐标。 解题技巧： 1. 若方程 的解为 ，则直线 与x轴的交点坐标为； 2. 固定规律：交点纵坐标永远为0，横坐标等于方程的解。 易错提醒：切勿遗漏纵坐标0，交点坐标为有序数对，不可只写横坐标。 【典例2】．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 【变式1】．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 【变式2】．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，涉及一次函数与方程的解的关系，两点间距离公式． 根据方程的解求出参数b，再求直线与坐标轴的交点坐标，最后利用两点间距离公式计算线段的长度． 【详解】解：关于x的方程的解为， ∴直线与轴的交点为 ∴将代入，则， 解得， 因此直线表达式， 当时，， 故与y轴交于点； ∴， 故答案为：2． 【变式3】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 题型特征：通过绘制一次函数图象，求解一元一次方程的近似解或精确解。 解题步骤： 1. 变形：将所求一元一次方程整理为 的标准形式； 2. 画图：画出一次函数 的图象； 3. 读数：找到直线与x轴的交点，交点横坐标即为方程的解。 技巧总结：图象法适合快速求近似解，若题目要求精确解，需结合代数计算验证。 【典例3】．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 【变式1】．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 【变式2】．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点与一元一次方程解的关系，方程的解为两个一次函数图象交点的横坐标，结合已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵函数和图象交点的横坐标，就是方程的解． ∴由题意得，方程的解为． 【变式3】．直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确． 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 题型特征：已知直线与x轴交点，求解 、 型不等式解集。 解题技巧： 1. 确定分界点：直线与x轴交点横坐标 是解集的唯一分界值； 2. 判断增减性： · （上升直线）： 解集为 ， 解集为 ； · （下降直线）： 解集为 ， 解集为 。 口诀：上升上大下小，下降上小下大。 【典例4】．一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，先利用函数图象与轴的交点可知当时，，再对关于x的不等式进行整理，利用整体思想即可求出不等式的解集． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴关于x的不等式的解集是， ∵可化为， ∴， ∴关于x的不等式的解集为． 【变式1】．已知在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式的关系，先求出k的值，再解不等式即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， 将代入解析式得 ， 解得， 将代入不等式 得：， 移项得， 系数化为1得． 即不等式的解集为． 【变式2】．如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：当时，函数的图象在x轴下方， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴时，函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为． 【变式3】．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 【答案】/ 【详解】如图，当时，， 当，即时，如图可知，． 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 题型特征：已知两条相交直线，求解 、 型不等式解集。 解题技巧： 1. 找分界点：两直线交点的横坐标 为解集分界值； 2. 看图象高低： · 在交点左侧/右侧，哪条直线在上方，对应函数值更大； · ：取 图象在 图象上方的x范围； · ：取 图象在 图象下方的x范围。 核心思路：交点分左右，高低定大小。 【典例5】．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合不等式的性质，把整理得，再根据一次函数与的图象交于点，以及运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵一次函数与的图象交于点， ∴的解集为， 即不等式的解集为． 【变式1】．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 【变式2】．如图，直线与的交点坐标为，则关于x的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线：与： 的交点坐标为， 根据图象可得，当时，， 即关于x 的不等式的解集是． 【变式3】．如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】由图象结合点的坐标，判断的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，点的左侧，直线低于直线， ∴当时，的取值范围为． 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 题型特征：已知两直线解析式求交点，或已知交点坐标求对应方程组的解。 解题技巧： 1. 已知两直线求交点：联立两个一次函数解析式，解二元一次方程组，所得解即为交点坐标； 2. 已知交点 求方程组解：直接写解 ； 核心原理：交点坐标同时满足两条直线的解析式，是方程组的唯一公共解。 【典例6】．如图，直线和直线相交于点，观察其图象可知方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴的解是． ∵， ∴， ∴， ∴的解是． 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】B 【分析】从函数图象中获取信息，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】A.由图可知中，随的增大而减小，故A正确，不符合题意； B.与轴的交点为，与轴的交点为，由图可知，故B不正确，符合题意； C.由图可知与的交点为，当时，，故C正确，不符合题意； D.由图可知与的交点为，所以关于的方程组的解为，故D正确，不符合题意． 【变式2】．在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，若直线也经过点A，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，先根据点在直线上求出点的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系得到方程组的解. 【详解】解： 点在直线上， 将代入得 ， 即点的坐标为， 方程组可变形为， 又一次函数和相交于点， 该方程组的解为两个一次函数图象交点的坐标，即. 【变式3】．一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ∴函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故②正确； ③由图象可知：两直线交点横坐标为，则，整理得；故③正确； ④由可得，， ∵， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 【题型7 图象法解二元一次方程组】 题型特征：利用函数图象直观求解二元一次方程组。 解题步骤： 1. 转化：将方程组中的两个二元一次方程，全部转化为 一次函数形式； 2. 作图：在同一平面直角坐标系中，画出两条直线的图象； 3. 找点：确定两条直线的交点坐标 ； 4. 写解：方程组的解为 。 【典例7】．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 【变式2】．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 【变式3】．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 【题型8 求直线围成的图形面积】 题型特征：多条直线与坐标轴、直线之间相交，围成三角形、四边形等图形，求面积。 通用解题步骤： 1. 求关键点坐标：求出所有直线与x轴、y轴的交点，以及直线与直线的交点坐标； 2. 确定图形形状：根据坐标判断围成图形为三角形、直角梯形等规则图形； 3. 确定底和高：优先选取坐标轴上的线段作为底，以对应交点的横/纵坐标绝对值为高； 4. 代入公式计算：三角形面积 。 解题技巧：所有坐标取绝对值，避免正负号影响面积计算；不规则图形可分割为多个三角形求解。 【典例8】．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】点在两条直线上，即可得关于k、m的二元一次方程，解方程即可得直线与y轴的交点纵坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 【变式1】．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【答案】 24 【分析】先将点的坐标代入两个一次函数解析式，求出的值，再得到两个函数与轴交点的坐标，最后利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 【变式2】．如图，已知直线经过点，，直线与轴交于点，与交于点． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线行； (2)①直接写出点的坐标为______________；②求的面积． 【答案】(1)；点在直线上 (2)①；② 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可； （2）①联立，解方程，求出点坐标即可； ②先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将点，代入得： ， 解得 直线的表达式为， 当时，， 点在直线上； （2）解：①联立， 解得：， ∴点P的坐标为； ②把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 【变式3】．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 05 过关•检测 1．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集确定 的符号以及直线与 轴的交点坐标，进而判断函数图象． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 2．关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【分析】根据直线解析式判断其所在象限，即可求解． 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 3．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【分析】根据函数图象即可判断经过的象限以及的符号，再由增减性判断的大小，最后由直线与坐标轴的交点求解即可． 【详解】解：由直线经过第一、二、三象限可得，，故A、B错误； 由得，随的增大而增大， ， ，故C错误； 对于，当时，， 由图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得，故D正确． 4．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可． 【详解】解：因为当时，直线在直线的上方， 所以，不等式的解集为． 5．如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图象，写出直线在点左侧部分的自变量范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 6．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的求解方法和三角形面积公式，逐个判断各选项的说法，即可找出不正确的结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵当时，，解得， ∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． ∵ ，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意． 当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点， ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意． 7．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一次函数图象及其性质可知的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图象的交点情况可判断③④正确与否，由与轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可． 【详解】解：由一次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，所以①错误， ∴，故②正确， 观察图象交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图象上方，即当时，，故当时，，故③错误； 因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确； 由当时一次函数图象上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确； 正确的结论有3个． 8．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 9．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集是． 10．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【答案】 【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解． 【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为， 即当时，成立， 因此方程的解是． 11．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定的取值，再验证函数与轴是否有交点即可得到结果. 【详解】解：函数是一次函数， 根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为， 二次项系数， 将代入得函数解析式为， 令，解得，该函数图象与轴有交点，符合题意， 故的取值范围是． 12．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大， 当时，，即． 不等式的解集为． 13．如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】由题可知当点在线段与直线的交点处时，取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，再求交点坐标即可． 【详解】解：由题可知，当点在线段与直线的交点处时，取得最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ． 14．如图，在平面直角坐标系中直线与交于点A，则关于x，y的方程组的解是______．    【答案】 【分析】根据一次函数的性质，求出点的坐标，再根据变形为，，变形为，可得点即为方程组的解． 【详解】解：∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 15．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析． 【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标； （2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围； （3）根据题意可得，即可得的取值范围； （4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可． 【详解】（1）解：根据图象可得方程的解为． （2）解：根据图象可得不等式的解集为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 16．一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）先求出点B和点C的坐标，然后分三种情况求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 17．解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）用两点法画直线； （2）①直线与轴交点的横坐标即是方程的解；②直线在轴下方对应的值即为所求的解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 过点画直线即为一次函数的图象； （2）解：①如图，方程的解为； ②函数值小于0时，对应的函数图象在轴的下方， 当时，函数值小于0． 18．某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)下表列出了部分研究数据： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 … 上表中，________，________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)结合函数图象，写出该函数的两条性质：________________________________；________________________________； (4)进一步探究函数图象： ①函数图象与轴有________个交点，则方程有________个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为________； ③不等式的解集为________． 【答案】(1)4，0 (2)见解析 (3)函数图象关于直线对称；当时，函数取得最小值，无最大值； (4)①2，2；②；③或 【分析】（1）当和时，分别代入求解即可； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可； （4）根据函数图象回答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：描点、连线，函数图象如图： ； （3）解：性质1：函数图象关于直线对称； 性质2：当时，函数取得最小值，无最大值； （4）解：观察图象得： ①函数图象与轴有2个交点，则方程有2个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为； ③不等式的解集为或． 19．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)且 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的值； （2）分成当，两种情况进行分析即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点和， ， 解得，即， ∴的值为，的值为． （2）解：由上可得函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∵，， ∴和的函数是从左到右为下降的直线， 当时，不等式需对所有成立， 整理得， 要使该不等式对任意大的正数都成立，则的系数必须非负，即， 解得， 结合，得． 当时，将代入和中， 即，， ∵函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴将代入时，， 即， 解得：， 综上可得：且． 20．如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；直线的函数表达式为 (2) (3)存在，或 【分析】（1）将代入得到，即可求出的值，得到，将的坐标代入直线的解析式，得到，求出的值即可； （2）根据图象直接确定即可； （3）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算，由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：∵直线与直线的图象交于点，且时直线的图象在直线图象的上方， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 21．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 22．阅读材料： 在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，二元一次方程有无数个解，对于一个方程，如果把与的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个方程的图象．例如：以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．如图所示，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程的图象称为直线． 直线把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点的坐标满足不等式，那么点就在直线的上方区域内．特别地，（为常数）表示横坐标为纵坐标为任意实数的点的全体组成的一条直线，（为常数）表示纵坐标为的点的全体组成的一条直线． 请根据以上材料，探索完成以下问题： (1)已知点、、、，其中在直线上的点有________； (2)已知点的坐标满足不等式组，则所有的点组成的图形的面积是________； (3)已知点的坐标满足不等式组，记所有的点组成的图形为图形，点在直线上，以点为顶点在直线上方构造面积为2的正方形，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行．若正方形及其内部所有点都在图形内部，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)、 (2)16 (3) 【分析】（1）分别把A、B、C、D各点的坐标代入验证即可； （2）画出符合题意的点的集合组成的图形，根据图象的性质求解即可； （3）画出图形，根据图象的性质，列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：对于点，此时， ∴点不在直线上； 对于，此时， ∴点在直线上； 对于，此时， ∴点在直线上； 对于，此时， ∴点不在直线上； 综上所述，在直线上的点为、； （2）解：如图， 所有的点组成的图形的面积是； （3）解：如图， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为，即， ∴点， ∴点，， ∵正方形及其内部所有点都在图形内部， ∴点，均在直线上的下方区域内，点在直线上或其上方区域内， ∴， 解得：． 即点的横坐标的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3一次函数与方程（组）、不等式 （3知识点+8题型+过关检测） 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 2 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 3 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 4 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 5 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 6 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 7 【题型7 图象法解二元一次方程组】 9 【题型8 求直线围成的图形面积】 10 1. 知识理解：深度理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在关联，掌握数与形的转化核心逻辑，明确三者可以相互转化、互为解题工具。 2. 能力掌握：能够借助一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组；能够根据方程、不等式的解，反向判断一次函数图象的交点、取值范围等图象特征。 3. 思想提升：熟练掌握数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提升几何直观能力、逻辑推理能力和代数运算能力。 4. 解题应用：熟练掌握本节八大核心题型的解题方法与技巧，可独立解决交点求解、解集判断、方程组求解、几何图形面积计算等综合题型。 03 知识•梳理 知识点1 一次函数与一元一次方程的关系 1. 基本定义：对于一次函数 ，当函数值 时，解析式就转化为一元一次方程 。 2. 核心结论：一元一次方程 的解，就是一次函数 的图象与 x轴交点的横坐标。 3. 双向转化： · 代数转几何：解方程 → 求直线 与x轴交点横坐标； · 几何转代数：已知直线与x轴交点 → 方程 的解为 。 知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系 设一次函数 ，函数图象将平面分为上下两部分，对应两类一元一次不等式： 1. ：对应直线 x轴上方所有点的横坐标取值范围； 2.：对应直线 x轴下方所有点的横坐标取值范围； 3. 增减性规律： · 当 （直线上升）：图象从左到右升高，解集随x增大正向延伸； · 当 （直线下降）：图象从左到右降低，解集随x增大反向延伸。 知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系 1. 核心原理：任意一个二元一次方程都可以转化为一次函数解析式，对应一条直线；二元一次方程组的解，是方程组中两个方程对应两条直线的交点坐标。 2. 双向转化： · 几何转代数：两条直线 、 的交点 ，就是方程组 的解； · 代数转几何：求解二元一次方程组，本质就是求对应两条直线的交点坐标。 3. 特殊情况：两直线平行（）→ 无交点 → 方程组无解；两直线重合 → 无数交点 → 方程组有无数组解。 04 题型•汇总 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 题型特征：已知一次函数直线与x轴、y轴的交点坐标，求对应一元一次方程的解。 解题技巧： 1. 直线 与x轴交点为 ，则方程 的解为 ； 2. 直线 与y轴交点为 ，则方程 的解为 ； 核心关键：x轴上所有点纵坐标为0，直接对应函数值为0的方程，无需复杂计算。 【典例1】．如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______． 【变式3】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 题型特征：已知一元一次方程的解，求对应一次函数直线与x轴的交点坐标。 解题技巧： 1. 若方程 的解为 ，则直线 与x轴的交点坐标为； 2. 固定规律：交点纵坐标永远为0，横坐标等于方程的解。 易错提醒：切勿遗漏纵坐标0，交点坐标为有序数对，不可只写横坐标。 【典例2】．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【变式2】．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是_____ ． 【变式3】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 题型特征：通过绘制一次函数图象，求解一元一次方程的近似解或精确解。 解题步骤： 1. 变形：将所求一元一次方程整理为 的标准形式； 2. 画图：画出一次函数 的图象； 3. 读数：找到直线与x轴的交点，交点横坐标即为方程的解。 技巧总结：图象法适合快速求近似解，若题目要求精确解，需结合代数计算验证。 【典例3】．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【变式2】．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【变式3】．直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 题型特征：已知直线与x轴交点，求解 、 型不等式解集。 解题技巧： 1. 确定分界点：直线与x轴交点横坐标 是解集的唯一分界值； 2. 判断增减性： · （上升直线）： 解集为 ， 解集为 ； · （下降直线）： 解集为 ， 解集为 。 口诀：上升上大下小，下降上小下大。 【典例4】．一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 【变式3】．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_____． 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 题型特征：已知两条相交直线，求解 、 型不等式解集。 解题技巧： 1. 找分界点：两直线交点的横坐标 为解集分界值； 2. 看图象高低： · 在交点左侧/右侧，哪条直线在上方，对应函数值更大； · ：取 图象在 图象上方的x范围； · ：取 图象在 图象下方的x范围。 核心思路：交点分左右，高低定大小。 【典例5】．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，直线与的交点坐标为，则关于x的不等式的解集是_____． 【变式3】．如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是______． 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 题型特征：已知两直线解析式求交点，或已知交点坐标求对应方程组的解。 解题技巧： 1. 已知两直线求交点：联立两个一次函数解析式，解二元一次方程组，所得解即为交点坐标； 2. 已知交点 求方程组解：直接写解 ； 核心原理：交点坐标同时满足两条直线的解析式，是方程组的唯一公共解。 【典例6】．如图，直线和直线相交于点，观察其图象可知方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【变式2】．在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，若直线也经过点A，则关于x，y的方程组的解是______． 【变式3】．一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【题型7 图象法解二元一次方程组】 题型特征：利用函数图象直观求解二元一次方程组。 解题步骤： 1. 转化：将方程组中的两个二元一次方程，全部转化为 一次函数形式； 2. 作图：在同一平面直角坐标系中，画出两条直线的图象； 3. 找点：确定两条直线的交点坐标 ； 4. 写解：方程组的解为 。 【典例7】．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【变式3】．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【题型8 求直线围成的图形面积】 题型特征：多条直线与坐标轴、直线之间相交，围成三角形、四边形等图形，求面积。 通用解题步骤： 1. 求关键点坐标：求出所有直线与x轴、y轴的交点，以及直线与直线的交点坐标； 2. 确定图形形状：根据坐标判断围成图形为三角形、直角梯形等规则图形； 3. 确定底和高：优先选取坐标轴上的线段作为底，以对应交点的横/纵坐标绝对值为高； 4. 代入公式计算：三角形面积 。 解题技巧：所有坐标取绝对值，避免正负号影响面积计算；不规则图形可分割为多个三角形求解。 【典例8】．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【变式2】．如图，已知直线经过点，，直线与轴交于点，与交于点． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线行； (2)①直接写出点的坐标为______________；②求的面积． 【变式3】．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 05 过关•检测 1．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 3．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 4．如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 7．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 10．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 11．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 12．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 14．如图，在平面直角坐标系中直线与交于点A，则关于x，y的方程组的解是______．    15．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 16．一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 17．解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 18．某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)下表列出了部分研究数据： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 … 上表中，________，________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)结合函数图象，写出该函数的两条性质：________________________________；________________________________； (4)进一步探究函数图象： ①函数图象与轴有________个交点，则方程有________个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为________； ③不等式的解集为________． 19．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 20．如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 22．阅读材料： 在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，二元一次方程有无数个解，对于一个方程，如果把与的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个方程的图象．例如：以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．如图所示，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程的图象称为直线． 直线把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点的坐标满足不等式，那么点就在直线的上方区域内．特别地，（为常数）表示横坐标为纵坐标为任意实数的点的全体组成的一条直线，（为常数）表示纵坐标为的点的全体组成的一条直线． 请根据以上材料，探索完成以下问题： (1)已知点、、、，其中在直线上的点有________； (2)已知点的坐标满足不等式组，则所有的点组成的图形的面积是________； (3)已知点的坐标满足不等式组，记所有的点组成的图形为图形，点在直线上，以点为顶点在直线上方构造面积为2的正方形，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行．若正方形及其内部所有点都在图形内部，直接写出点的横坐标的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $