23.3～23.4一次函数与方程（组）、不等式、实际问题与一次函数寒假预习讲义-2025-2026学年人教版数学八年级下册（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

23.3～23.4一次函数与方程（组）、不等式、实际问题 与一次函数寒假预习讲义（人教版） 💦 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.巩固提升★综合测试 💧 课前预习★目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系，能借助函数图象认识方程的解、不等式的解集及方程组的解； 2.能从实际问题中抽象出变量关系，正确列出一次函数表达式； 3.能结合一次函数的图象与解析式，分析实际问题中的数量关系，并进行简单判断与求解； 4.感受一次函数在生活、生产中的广泛应用，体会数学的实用性与工具性。 ✅ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）．当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解．所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值． 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 【知识点2】一次函数与一元一次不等式 1.形式转化： （1）kx+b>0 对应一次函数 y=kx+b 中 y>0 的部分； （2）kx+b<0 对应一次函数 y=kx+b 中 y<0 的部分。 2.几何意义： （1）kx+b>0 的解集 ⇔ 直线在x轴上方对应的 x 取值范围； （2）kx+b<0 的解集 ⇔ 直线在x轴下方对应的 x 取值范围； 3.核心思想：利用数形结合，由图象位置直接判断不等式解集。 【知识点3】一次函数与二元一次方程组 1.形式转化：两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 联立，构成二元一次方程组。 2.几何意义：方程组的解 (x,y)，就是两条直线交点的坐标。 3.解与图象关系： *有唯一解 ⇔ 两直线相交； *无解 ⇔ 两直线平行； *有无数组解 ⇔ 两直线重合。 【知识点4】一次函数、方程、不等式的内在联系 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组，是同一数量关系的不同表达形式，三者可以相互转化、相互解释，统一在数形结合思想之下。 【知识点5】一次函数的应用 （1）利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论． （2）常见类型：行程问题、销售利润问题、方案选择问题、分段计费问题等。 （3）核心能力：将实际情境转化为一次函数数学模型，利用函数的图象与性质进行分析、计算与最优决策。 ☘ 核心考点★精讲精练 题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解 例1．若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 变式1．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为 ． 变式2．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 题型2由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 例2．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 变式1．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 变式2．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 题型3利用图象法解一元一次方程 例3．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为 ． 变式2．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例4．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若直线始终与线段有公共点，则的取值范围是 ． 变式2．若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 题型5根据两条直线的交点求不等式的解集 例5．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为 ． 变式2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 题型6两直线的交点与二元一次方程组的解 例6．图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 变式2．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象； (2)求方程组 题型7图象法解二元一次方程组 例7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 变式1．以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为 ． 变式2．利用一次函数的图象解二元一次方程组 题型8求直线围成的图形面积 例8．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 变式1．如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为 ； 变式2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)求出的面积． 题型9分配方案问题（一次函数的实际应用） 例9．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 变式1．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 变式2．将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为吨辆和吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 甲地（元辆） 乙地（元辆） 大货车 小货车 (1)这两种货车各需多少辆？ (2)如果安排辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，请写出运费（元）与的函数关系式．若运往甲地的物资不少于吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 题型10最大利润问题（一次函数的实际应用） 例10．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 变式1．某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗 棵时才能获得最大利润，最大利润是 元． 变式2．某商店销售1台型和2台型电脑的利润为1100元，销售3台型和5台型电脑的利润为3000元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？ (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，设购进型电脑台，这50台电脑的销售总利润为元． ①请写出关于的函数关系式，并判断总利润能否达到26000元，请说明理由． ②若，当把购进的两种电脑全部售出，求购进型电脑多少台时，能获得最大利润，最大利润是多少元？ 题型11行程问题（一次函数的实际应用） 例11．两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 变式2．快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．甲、乙两地之间的距离为．快车到达乙地后休息一段时间，再原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离为．快车离甲地的距离（单位：km）与行驶时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)慢车的速度是多少？ (2)在图中画出慢车离甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的函数图象，并写出慢车离甲地的距离与行驶时间之间的表达式； (3)慢车出发多长时间与快车相遇？ 题型12梯度计价问题 例12．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 变式1．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是 ． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 变式2．五月，正是高山杜鹃盛开的季节，小明一家人来到五指峰赏花．售票处有一公告栏，请根据公告栏信息回答下列问题： 公告栏各位游客，您好！欢迎您来到五指峰景区，本景点近期特惠门票价格如下： ①一次性购买10张及以下门票，票价是240元/张； ②一次性购买10张以上门票，超过10张的部分，每张八折优惠． (1)若他们一家人有6人，则门票总费用是________元． (2)设某旅游团有x人来此游玩，求该旅游团门票总费用y（单位：元）关于人数x的函数表达式． 题型13其他问题（一次函数的实际应用） 例13．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．综合实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式可能为（   ） 水的质量 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 0.5 1 2 4 5 A． B． C． D． 变式1．现有两种品牌的共享电动车，上面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，当两种品牌共享电动车收费相差4元时，x的值是 ． 变式2．某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． (1)甲的工作效率是______件；图中的值为______； (2)求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； (3)当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 题型14一次函数与几何综合 例14．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为．若函数的图象与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为 ． 变式2．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．下列关于一次函数的说法中，正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2 D．y的值随x值的增大而增大 2．已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数（ k为常数，）．当时，，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）交于点，则关于、的方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 8．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 10．超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 二、填空题 11．一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是 ． 12．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是 ． 13．在同一平面直角坐标系中，直线与（为常数）相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 14．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 15．直线如图所示，则关于的方程的解是 ． 16．一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集是 ． 17．汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在函数的图象上，当取最小值时，的面积为 ． 三、解答题 19．已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 20．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 21．画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)不等式组的解集． 22．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 23．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 24．如图，一次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点．点是一次函数与轴的交点． (1)分别求这两个一次函数的表达式； (2)关于x，y的二元一次方程组的解为____________________； (3)如图，是一次函数与轴的交点，连接，求的面积． 25．科技市场某电子商户为备战双十一购物节，分两次购进A、B两种充电器（两次同型号充电器的进价保持一致）：第一次采购了20件A充电器和30件B充电器，采购总费用为3100元；第二次采购了30件A充电器和20件B充电器，采购总费用为2900元．该商户将A充电器的售价定为每件60元，B充电器的售价定为每件120元． (1)求A、B两种充电器每件的进价分别是多少元？ (2)现计划共购进1200件这两种充电器，且要求A充电器的数量不少于B充电器数量的3倍．在满足采购数量要求的前提下，找出获利最大的进货方案，并计算对应的最大利润． 26．一辆汽车加满油后从甲地出发匀速行驶去往乙地，距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间单位：小时)的函数关系如图1所示，油箱剩余油量(单位：升)与距甲地的路程(单位：千米)满足一次函数关系，其部分数据如表，结合图表信息，回答下列问题： /千米 … … /升 … … (1)直接写出距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间(单位：小时)的函数关系式　　，并说明点表示的实际意义； (2)求与的函数关系式，并求出汽车从甲地出发时，油箱油量是多少升； (3)行驶多长时间时，油箱剩余油量为升？ (4)从甲地到乙地预计需要花小时，则到达前至少需要额外补充　　升油． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3～23.4一次函数与方程（组）、不等式、实际问题 与一次函数寒假预习讲义（人教版） 💦 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.巩固提升★综合测试 💧 课前预习★目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系，能借助函数图象认识方程的解、不等式的解集及方程组的解； 2.能从实际问题中抽象出变量关系，正确列出一次函数表达式； 3.能结合一次函数的图象与解析式，分析实际问题中的数量关系，并进行简单判断与求解； 4.感受一次函数在生活、生产中的广泛应用，体会数学的实用性与工具性。 ✅ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）．当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解．所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值． 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 【知识点2】一次函数与一元一次不等式 1.形式转化： （1）kx+b>0 对应一次函数 y=kx+b 中 y>0 的部分； （2）kx+b<0 对应一次函数 y=kx+b 中 y<0 的部分。 2.几何意义： （1）kx+b>0 的解集 ⇔ 直线在x轴上方对应的 x 取值范围； （2）kx+b<0 的解集 ⇔ 直线在x轴下方对应的 x 取值范围； 3.核心思想：利用数形结合，由图象位置直接判断不等式解集。 【知识点3】一次函数与二元一次方程组 1.形式转化：两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 联立，构成二元一次方程组。 2.几何意义：方程组的解 (x,y)，就是两条直线交点的坐标。 3.解与图象关系： *有唯一解 ⇔ 两直线相交； *无解 ⇔ 两直线平行； *有无数组解 ⇔ 两直线重合。 【知识点4】一次函数、方程、不等式的内在联系 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组，是同一数量关系的不同表达形式，三者可以相互转化、相互解释，统一在数形结合思想之下。 【知识点5】一次函数的应用 （1）利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论． （2）常见类型：行程问题、销售利润问题、方案选择问题、分段计费问题等。 （3）核心能力：将实际情境转化为一次函数数学模型，利用函数的图象与性质进行分析、计算与最优决策。 ☘ 核心考点★精讲精练 题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解 例1．若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握方程的解就是直线与x轴交点的横坐标是解题的关键． 由直线与x轴交点坐标为，再根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴当时， ∴方程的解为． 故选D． 变式1．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与x轴的交点的横坐标是一次函数的函数值为0时所得方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴则关于的方程的解为， 故答案为：． 变式2．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 题型2由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 例2．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 变式1．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 变式2．已知一次函数的图象经过点，． (1)求此一次函数的解析式； (2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出一次函数与坐标轴的两个交点，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴一次函数与坐标轴的两个交点为，， ∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为． 题型3利用图象法解一元一次方程 例3．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 变式1．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 变式2．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上， 描点，连线，可得该函数的图象如下： （2）解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例4．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若直线始终与线段有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与线段的交点问题．由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵直线与线段有公共点， 解得， 故答案为：． 变式2．若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系： （1）将代入即可求解； （2）先计算出时x的值，再根据一次函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得； （2）解：由（1）得， 令，得， 解得， ， y随x的增大而减小， 当时，， 故答案为：． 题型5根据两条直线的交点求不等式的解集 例5．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 变式1．如图，已知直线与直线的交点横坐标为1，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可得到该不等式的解集． 【详解】解：， ，即为， ∵直线与直线的交点横坐标为1， ∴由图象可得，的解集为， 故答案为：． 变式2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． 题型6两直线的交点与二元一次方程组的解 例6．图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系；根据题意联立直线与的解析式，再整理成一般形式即可． 【详解】解：由图可知直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组得，即为， ∴直线与的交点坐标可以看作方程组的解； 故选A． 变式1．如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 先求出点坐标，根据两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可得点的坐标为二元一次方程组的解， 代入中，得， ∴点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为 故答案为：． 变式2．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象； (2)求方程组 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组即的解为：． 题型7图象法解二元一次方程组 例7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 变式1．以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程，关键是将方程转换成 将方程转换成，即可确定这条直线对应的一次函数表达式． 【详解】解：在方程中， 可得：， ∴这条直线对应的一次函数表达式为； 故答案为：． 变式2．利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 题型8求直线围成的图形面积 例8．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：根据函数作出图像为： 对于一次函数， ∵当时，， ∴一次函数图像与y轴交点B为； ∵当时，，解得， ∴一次函数图像与x轴交点A为， ∴，， ∴． 故选：D． 变式1．如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为 ； 【答案】8 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数解析式求得，即可得到结论； 【详解】解：令，则有，即，令，则有， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：8； 变式2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的结合，求一次函数的解析式，求直线围成的三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）联立解析式求出交点坐标，然后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：将和代入得， ， 解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：联立解析式得， ， 解得 ∴点C的坐标是， ∵， ∴， ∴的面积． 题型9分配方案问题（一次函数的实际应用） 例9．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断． 【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确． B、设25小时之后A方式的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴函数关系式为， 令，解得， ∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误． C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确． D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确． 故选：B． 变式1．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 变式2．将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为吨辆和吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 甲地（元辆） 乙地（元辆） 大货车 小货车 (1)这两种货车各需多少辆？ (2)如果安排辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，请写出运费（元）与的函数关系式．若运往甲地的物资不少于吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 【答案】(1)需要大货车辆，需要小货车辆； (2)运往甲地的大货车辆，小货车辆，运往乙地的大货车辆，小货车辆，最少运费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设需要大货车辆，需要小货车辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）由题意可得，然后求出，又，则随的增大而增大，则当时，最小，最小值为，从而求解． 【详解】（1）解：设需要大货车辆，需要小货车辆，根据题意得： ， 解得， 答：需要大货车辆，需要小货车辆； （2）解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最小，最小值， 答：运往甲地的大货车辆，小货车辆，运往乙地的大货车辆，小货车辆．最少运费为元． 题型10最大利润问题（一次函数的实际应用） 例10．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 变式1．某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗 棵时才能获得最大利润，最大利润是 元． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 变式2．某商店销售1台型和2台型电脑的利润为1100元，销售3台型和5台型电脑的利润为3000元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？ (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，设购进型电脑台，这50台电脑的销售总利润为元． ①请写出关于的函数关系式，并判断总利润能否达到26000元，请说明理由． ②若，当把购进的两种电脑全部售出，求购进型电脑多少台时，能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元； (2)①（且为整数），总利润不能达到元；②当购进型电脑台时，最大利润为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用．根据题意正确的列方程组与关系式是解题的关键． （1）设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元，依题意得，，计算求解即可； （2）①由题意得，，，根据一次函数的性质求最值，和比大小，然后作答即可．②由，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：设每台型电脑和型电脑的销售利润各为元， 依题意得，， 解得，， ∴每台型电脑和型电脑的销售利润各为，元； （2）解：①由题意得，，， ∵， ∴随着的增大而增大，的最大值为， ∴总利润不能达到元， ∴w关于n的函数关系式为，总利润不能达到元． ②，， ∵， ∴随着的增大而增大，当时，的最大值为， ∴当购进型电脑台时，最大利润为元． 题型11行程问题（一次函数的实际应用） 例11．两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③时，甲、乙两人相距； ④时，乙比甲多行驶． 其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可． 本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发，故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为，故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距，故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得：， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得：； 故或时，乙比甲多行驶．故④正确； 综上，正确的有3个． 故选：C． 变式1．已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 【答案】 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 变式2．快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．甲、乙两地之间的距离为．快车到达乙地后休息一段时间，再原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离为．快车离甲地的距离（单位：km）与行驶时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)慢车的速度是多少？ (2)在图中画出慢车离甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的函数图象，并写出慢车离甲地的距离与行驶时间之间的表达式； (3)慢车出发多长时间与快车相遇？ 【答案】(1)慢车的速度为 (2)；图见解析 (3)慢车出发与快车相遇 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答； （1）根据图中的数据即可计算出慢车的速度； （2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）利用路程除以甲乙速度和即可求得相遇时间． 【详解】（1）解：， ∴慢车的速度为 （2）解：如图； 设慢车离甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的表达式为， 在图象上， ∴， 解得：， ∴表达式为； （3）解：快车从甲地到乙地的速度为， ∴慢车出发与快车相遇． 题型12梯度计价问题 例12．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量不确定， ∴需分段计算： 第一阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 第二阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些． 故选：B． 变式1．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是 ． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 变式2．五月，正是高山杜鹃盛开的季节，小明一家人来到五指峰赏花．售票处有一公告栏，请根据公告栏信息回答下列问题： 公告栏各位游客，您好！欢迎您来到五指峰景区，本景点近期特惠门票价格如下： ①一次性购买10张及以下门票，票价是240元/张； ②一次性购买10张以上门票，超过10张的部分，每张八折优惠． (1)若他们一家人有6人，则门票总费用是________元． (2)设某旅游团有x人来此游玩，求该旅游团门票总费用y（单位：元）关于人数x的函数表达式． 【答案】(1)1440 (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，明确题中的数量关系是解答本题的关键． （1）人时，根据门票费用单价人数列式计算即可得解； （2）当时，门票费用=单价×人数；当时，门票费用张门票的费用超过张的门票费用，据此即可得到函数表达式． 【详解】（1）解：． （元） 门票总费用是元． （2）解：当时，； 当时，． 综上所述，旅游团门票费用关于人数的函数表达式为． 题型13其他问题（一次函数的实际应用） 例13．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．综合实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式可能为（   ） 水的质量 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 0.5 1 2 4 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式．由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：C． 变式1．现有两种品牌的共享电动车，上面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，当两种品牌共享电动车收费相差4元时，x的值是 ． 【答案】5或40 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的应用；当、时，用待定系数法求出，再用待定系数法求出，结合两种品牌共享电动车收费相差4元，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，设，则有 ， 解得， ， ， 同理可得：， 当时，， 解得； 当时，， 解得或（舍去）， 综上所述：x的值是或， 故答案为：或． 变式2．某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． (1)甲的工作效率是______件；图中的值为______； (2)求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； (3)当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，甲、乙两人一共加工零件件 【分析】本题主要考查了函数图像以及一次函数的应用等知识， （1）根据题意和函数图像求解即可； （2）设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为，将，求解即可； （3）由（1）易知甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，结合乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为，由题意“甲、乙两人一共加工零件件”列式求解即可． 【详解】（1）解：∵甲加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点， ∴（件/时）， ∵乙3小时加工30件， ∴乙的加工速度是：，每小时10件， ∵乙更换设备后，乙的工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙的工作速度是：每小时加工（件）， ； 故答案为：，； （2）解：设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为， ∵图像过，， 则有， 解得， ∴； （3）由（2）可知，乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为， ∵甲的工作效率是件/时， ∴甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 答：当时，甲、乙两人一共生产件． 题型14一次函数与几何综合 例14．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为．若函数的图象与正方形有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换，理解题意是解决本题的关键． 根据题意求得正方形各顶点的坐标，根据题意得直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点，；进而把点和的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：长为3的正方形中，点的坐标为， ，，， 若直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点，， 当经过点时，有， 解得； 当经过点时，有， 解得； ∴直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：D． 变式1．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点B．若点在射线上，点在轴上，且与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象、全等三角形的判定与性质，关键是分情况讨论全等三角形的对应顶点关系．首先求出、两点坐标，得到、的长度，再根据推出，然后分两种全等对应情况，分别计算的长度，进而确定点坐标． 【详解】解：当时，， ； 当时，，解得， ； ，； ， ， ∴． ，， ； 情况1：若，则； 点的纵坐标为，即； 情况2：若，则， 点的纵坐标为，即； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 变式2．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)(4，0)或(-4，0) (3)或 【分析】本题考查了一次函数交点问题，三角形面积问题，坐标与图形； （1）将代入，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，设点的坐标为，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设点的坐标为，则点的坐标为．根据列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． 将代入，得，解得． （2）解：由题意，得点的坐标为，则． 设点的坐标为，则． 解得． 所以，点的坐标为或 （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 则． 解得或． 所以，点的坐标为或． ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．下列关于一次函数的说法中，正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2 D．y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 【详解】解：A、，， 直线经过第一、三、四象限，故不符合题意； B、当时，，解得：， 直线与轴交点的坐标是，故图象与x轴交于正半轴，不符合题意； C、当时，， 直线与轴交点的坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形面积，故不符合题意； D、， 随的增大而增大，符合题意； 故选：D． 2．已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．正确理解题意是解题的关键. 方程的解即为函数的值为时对应的值. 由点在直线上，直接可得解. 【详解】解：∵ 直线 过点， ∴ 当时，，即方程 的解为 ， 故选：D． 3．已知一次函数（ k为常数，）．当时，，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，分当，，两种情况讨论，再结合当时，，得出不等式，解不等式即可． 【详解】解：当时，一次函数为增函数．要使当时，恒成立，则该一次函数图象与轴的交点的横坐标需要满足． 解得，与矛盾，故此种情况不存在． 当时，一次函数为减函数．要使当时，恒成立，则当时，必有．即． 解得，即． 又∵， ∴； 故选C． 4．如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知直线与坐标轴交点求方程的解，解题关键是运用数形结合思想解题． 由直线与轴交点的横坐标为得出，再代入方程，求解即可． 【详解】解：直线与轴交点的横坐标为， ，即， 将代入关于的方程， 得， ， ， ， ． 故选：． 5．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 6．已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）交于点，则关于、的方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是两条直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；直接利用交点坐标与方程组解的对应关系得出结果即可． 【详解】解：∵直线与直线（为常数，且）交于点， ∴，即：， ∴关于、的方程组的解是：， 故选：B ． 8．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 10．超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式和一次函数在实际问题中的应用，关键在于根据促销活动分情况讨论总费用的表达式，同时结合玻璃罐数量为正整数的条件确定变量的取值范围． 【详解】解：对于选项A：根据总容量为千克，得购买乙罐的数量为，且为正整数，A选项成立，不符合题意； 对于选项B：当时，，B选项成立，不符合题意； 对于选项C：分两种情况讨论总费用： ①当时，甲罐无优惠，总费用； ②当时，甲罐享受立减元优惠，总费用； 因此C选项错误，符合题意； 对于选项D：由且为正整数，为非负整数，可得的可能取值为0、4、8： 当时，元； 当时，元； 当时，元； 故购买玻璃罐的最少费用为元，D选项成立，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与一元一次方程的解的关系． 方程的解即为一次函数图象与x轴交点的横坐标． 【详解】解：由一次函数图象与x轴相交于点， 可知当时，， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 12．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，涉及一次函数与方程的解的关系，两点间距离公式． 根据方程的解求出参数b，再求直线与坐标轴的交点坐标，最后利用两点间距离公式计算线段的长度． 【详解】解：关于x的方程的解为， ∴直线与轴的交点为 ∴将代入，则， 解得， 因此直线表达式， 当时，， 故与y轴交于点； ∴， 故答案为：2． 13．在同一平面直角坐标系中，直线与（为常数）相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和方程的关系，正确掌握交点坐标的意义是解题的关键． 根据两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，因此将交点横坐标代入直线方程即可求得纵坐标，从而得到方程组的解． 【详解】解： 直线 与 相交于点 ， 点 的坐标满足方程组 ， 将 代入 ，得 ， 方程组的解为 ． 14．若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 15．直线如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】方程的解，就是直线上函数值时对应的自变量的值．我们可以从图像中直接读取当 时的坐标． 【详解】解：从图中可以看到，直线经过点． ∴当时， 因此，方程的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是理解“方程的解”与“函数图像上点的坐标”之间的对应关系． 16．一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像． 根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：由图像可得， 在P点右侧的图像在的下方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 17．汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是 ． 【答案】汽车行驶的速度为 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，将代入函数的解析式，求得k的取值，从而得出k的意义是汽车行驶的速度． 【详解】解：根据函数图象可知：时，． 将，代入得：． 解得， ∴k的具体含义是汽车的行驶速度为， 故答案为：汽车的行驶速度为． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在函数的图象上，当取最小值时，的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，垂线段最短，勾股定理，解题的关键在于找出取最小值时，点B所在位置． 根据垂线段最短可知，当垂直于函数的图象时，取最小值，利用一次函数特点及勾股定理求出，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：点A的坐标为，点B在函数的图象上， ， 根据垂线段最短可知，当垂直于函数的图象时，取最小值，如图所示： ，， ， ， ，则， 解得， 的面积为； 故答案为：． 三、解答题 19．已知一次函数． (1)画出一次函数的图象； (2)由图可知，若方程，求方程的解． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质： （1）确定两点后，连接即可； （2）一次函数与轴的交点坐标即为方程的解． 【详解】（1）函数的图象如图所示； （2）从图象上可知一次函数与轴的交点坐标为 则关于的方程的解是． 20．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 21．画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查描点法画函数图像，一次函数与方程、一元一次不等式的关系，运用描点法画出函数图像，运用数形结合思想是解题的关键． （1）运用描点法画出函数图像，根据图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解； （2）不等式的解集为函数图像在x轴下方对应的自变量x的取值范围，根据图像即可解答； （3）根据函数图像找出函数值在与7之间的自变量的值即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 3 0 描点并连线： 由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为， ∴方程的解为． （2）解：由图像可得，不等式的解集为． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 由图像可得，不等式的解集为． 22．在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及二元一次方程组，属于基础题，关键是正确作出图象，根据图象进行求解． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解； （3）由图象可知，不等式的解集为：． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴可画图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组的解为：； （3）解：由图象可知：不等式的解集为：． 23．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 【答案】 任务一：甲食材每千克元，乙食材每千克元；任务二：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、一元一次不等式组、一次函数的性质，关键是熟练应用知识点解题； 任务一：根据题意列方程组即可； 任务二：根据题意列出不等式组，并列出总费用与甲食材数量之间的一次函数关系式，并讨论其最值． 【详解】任务一：解：设甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元； 任务二：解：设采购甲食材需千克，总费用为：元， ， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， 即：当时，最小，此时买甲食材千克，买乙食材千克， 答：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元． 24．如图，一次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点．点是一次函数与轴的交点． (1)分别求这两个一次函数的表达式； (2)关于x，y的二元一次方程组的解为____________________； (3)如图，是一次函数与轴的交点，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)7 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）根据一次函数的图象与一次函数的图象交于点，即可得出结果； （3）先求出点的坐标为，，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为；         ∵点在一次函数的图象上， ， ∴点．             将点，代入，得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； （3）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，， ∴； ． 25．科技市场某电子商户为备战双十一购物节，分两次购进A、B两种充电器（两次同型号充电器的进价保持一致）：第一次采购了20件A充电器和30件B充电器，采购总费用为3100元；第二次采购了30件A充电器和20件B充电器，采购总费用为2900元．该商户将A充电器的售价定为每件60元，B充电器的售价定为每件120元． (1)求A、B两种充电器每件的进价分别是多少元？ (2)现计划共购进1200件这两种充电器，且要求A充电器的数量不少于B充电器数量的3倍．在满足采购数量要求的前提下，找出获利最大的进货方案，并计算对应的最大利润． 【答案】(1)A种充电器每件进价50元，B种充电器每件进价70元 (2)获利最大的进货方案是购进A种充电器900件，B种充电器300件，最大利润为24000元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种充电器每件的进价为x元，B种充电器每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进B种充电器m件，获得的利润为w元，则购进A种充电器件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种充电器的数量不少于B种充电器数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种充电器每件的进价为x元，B种充电器每件的进价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种充电器每件进价50元，B种充电器每件进价70元； （2）解：设购进B种充电器m件，获得的利润为w元，则购进A种充电器件， 根据题意得：． ∵A种充电器的数量不少于B种充电器数量的3倍， ∴， 解得：， ∵在中，， ∴w的值随m的增大而增大， ∴当时，w取最大值，最大值为， ， ∴获利最大的进货方案是购进A种充电器900件，B种充电器300件，最大利润为24000元． 26．一辆汽车加满油后从甲地出发匀速行驶去往乙地，距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间单位：小时)的函数关系如图1所示，油箱剩余油量(单位：升)与距甲地的路程(单位：千米)满足一次函数关系，其部分数据如表，结合图表信息，回答下列问题： /千米 … … /升 … … (1)直接写出距甲地的路程(单位：千米)与行驶时间(单位：小时)的函数关系式　　，并说明点表示的实际意义； (2)求与的函数关系式，并求出汽车从甲地出发时，油箱油量是多少升； (3)行驶多长时间时，油箱剩余油量为升？ (4)从甲地到乙地预计需要花小时，则到达前至少需要额外补充　　升油． 【答案】(1)；点表示汽车行驶3小时后，距离甲地千米； (2)，油箱油量为升； (3)小时； (4) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涵盖正比例函数与一次函数的解析式求解、函数意义解读及实际问题计算，关键是利用待定系数法求函数解析式，结合函数关系转化实际问题． （1）根据汽车匀速行驶的特点，结合图象得出行驶速度，进而得到与的正比例函数关系式；点的实际意义结合其坐标对应的时间与路程解释即可； （2）设与的一次函数解析式，代入表格中两组已知数据，通过待定系数法求解解析式，再令得到出发时的油箱油量； （3）令代入与的解析式求出对应路程，再结合与的关系式计算行驶时间； （4）先计算甲地到乙地的总路程，代入与的解析式得到到达乙地时的剩余油量，根据油量为负计算需要补充的油量． 【详解】（1）解：汽车匀速行驶，由图象可知行驶千米用时2小时，故速度为千米/小时， ∴距甲地的路程与行驶时间的函数关系式为； 点的横坐标为3，纵坐标为，表示的实际意义为：汽车行驶3小时后，距离甲地千米； （2）解：设与的函数关系式为()， 将和代入得：，解得， ∴与的函数关系式为； 当时，，即汽车从甲地出发时，油箱油量是升； （3）解：令，得：， 解得； 答：行驶小时时，油箱剩余油量为升． （4）解：∵从甲地到乙地预计小时，总路程为千米， 将代入得：， 这说明行驶到乙地时油箱油量缺口为升， ∴到达前至少需要额外补充升油； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $