专题23.4 实际问题与一次函数（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2025-2026学年人教版八年级数学下学期

本讲义聚焦“实际问题与一次函数”核心知识点，系统梳理一次函数建模四步法（定变量、找关系、建模型、验范围），分段函数（定义、写法、图象），方案选择与最值（比较函数大小、利用增减性求最值），构建从基础建模到综合应用的学习支架。 资料特色为分层题型设计（基础、培优、压轴），结合行程计费、阶梯水电等实际情境及漏刻、音乐音高跨学科案例，培养抽象能力、模型意识与应用意识。课中助力分层教学，课后通过易错点总结与巩固练习帮助学生查漏补缺。

专题23.4 实际问题与一次函数 知识点1：一次函数实际应用建模四步法 1.定变量：确定自变量（主动变化量）与因变量（被动变化量），明确实际意义。 2.找关系：分析随均匀变化，确定单位变化量与初始值。 3.建模型：设解析式，用待定系数法求k、b。 4.验范围：结合实际确定取值范围（非负、整数、限制条件等）。 知识点2：分段函数 1.定义：自变量在不同区间，对应不同一次函数解析式的函数。 2.写法：分段写清解析式与对应范围，用大括号联立。 3.图象：由多条线段组成，分界点必须包含在一段中。 知识点3：一次函数方案选择与最值 类型 核心思路 解题步骤 方案选择 比较两个一次函数大小 1.列两个函数；2.联立求交点；3.分区间判断优劣 最值问题 利用增减性求最值 1.列函数；2.求范围；3.由定增减；4.端点取最值 【基础必考题型】 【题型1】简单一次函数建模（行程/计费） 1.核心知识点 均匀变化→；待定系数法求解析式；实际意义下自变量范围。 2.解题方法技巧 找两组代入求k、b；为单位变化量，为初始量。 【例题1】.（2025·湖北武汉·三模）甲、乙两人同时从地出发，以各自的速度匀速骑车到地，甲先到地后原地休息．甲、乙两人的距离与乙骑车的时间之间的函数关系图象如图，则甲的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过函数图象获取甲、乙两人骑行过程中的信息，利用路程、速度和时间的关系来求解甲的平均速度．解题关键在于准确理解函数图象中横、纵坐标的含义，从中提取出甲、乙两人的运动时间、路程等关键信息，再灵活运用路程、速度、时间的公式进行计算． 【详解】解：从图象可知，在时，甲、乙两人的距离达到最大值，这表明此时甲到达地，而乙还在途中， ∴是甲从地到地所用的时间． 在到这个时间段，甲在地休息，乙继续骑行，的时间乙骑行了． ∴乙的速度乙． ∵乙从地到地共用了， ∴、两地的距离． 甲从地到地用了，根据速度公式，甲的平均速度甲． 故选：D 【变式题1-1】.（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，关键是先根据图象求出两人距离随时间变化的函数表达式，再结合行程关系求出甲移动的距离． 【详解】解：设关于的函数为， 将、代入，得，解得， 函数表达式为． 当时，． 设甲自点移动的距离为，则， 解得， ∴甲自点移动． 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山西运城·期中）9月27日，龙城好运·2025小店区乡村田园健康跑活动如期举行，2000余名“大小朋友”快乐开跑，挑战自我，充实生活．杜老师从起点出发，向终点匀速跑去，她离终点的距离（单位：）与跑步时间（单位：）之间的部分对应值如下表所示，则与之间的函数关系式为_____．（不要求写出自变量的取值范围） 0 5 10 15 20 … 10 9 8 7 6 … 【答案】 【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，关键是读取图象中信息． 从表格可看出，杜老师每跑，离终点的距离减少，即离终点的路程（千米）与行驶时间（分钟）成一次函数关系，设，把表中的任意两对值代入即可求出与的关系． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， 将代入上式得，， 解得． ∴， ∴与之间的关系是一次函数，其函数表达式为． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 【答案】(1) (2)甲 (3) 【分析】（1）由甲的速度=甲的路程÷甲的时间，即可求得甲的速度； （2）观察图象，甲用的时间少于乙，则甲先到达终点； （3）由乙的速度=乙的路程÷乙的时间，求得乙的速度，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：甲的速度为：（米/秒）． （2）解：由图象可知：甲先到达终点． （3）解：乙的速度为：（米/秒）， 乙的图像的函数解析式为． 【题型2】分段函数读图与列式（阶梯水/电费） 1.核心知识点 分段函数解析式；分界点取值；图象与解析式对应。 2.解题方法技巧 一段一求式；分界点坐标代入验证；不重复不遗漏区间。 【例题2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 【变式题2-1】.（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式； （2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克 总配送费 化简得 即当时， 函数关系式为． （2）把代入， 得(元) 该包裹重量，属于第三档当时， 总配送费为 化简得 令， 得方程 ∴ 解得 答∶该包裹重量是26千克． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江西萍乡·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2) 该户这一年的电费为元； (3) 该户去年一年的用电量为． 【分析】本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键． （1）需考虑分档计费，第一档的电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式； （2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可； （3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 化简得； （2）解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元； （3）解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 【题型3】双方案基础选择（两种收费对比） 1.核心知识点 联立求交点；为临界；分判断优劣。 2.解题方法技巧 列两函数→求交点→画草图→定范围选方案。 【例题3】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【答案】(1)， (2)当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算 【分析】（1）根据两种活动方案分别表示出，与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款； ∴购买副羽毛球拍的费用为：（元），赠送的羽毛球数量为（个）， 当时，， 当时，， ∴； ∵活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折， ∴； （2）解：当时，令，则， 解得：， 当，即（羽毛球数量通常为整数）时，，选择活动二划算，当时，，选择活动一划算； 当时，令，则， 解得：， 当时，，选择活动一划算；当时，两种活动费用相同；当时，，选择活动二划算； 综上所述，当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·宁夏银川·月考）某校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自制，除租用刻录机需120元外，每张还需成本费4元（包括空白光盘费）． (1)分别写出电脑公司刻录费用、学校自刻费用与刻录的光盘张数的关系式； (2)什么情况下到电脑公司刻录费用省？ (3)什么情况下学校自己刻录费用省？什么情况下两种费用相同？ 【答案】(1)电脑公司刻录费用关系式为（，且x为整数）；学校自刻费用关系式为（，且x为整数） (2)当刻录光盘张数少于30张时，到电脑公司刻录费用省 (3)当刻录光盘张数多于30张时，学校自己刻录费用省；当刻录30张时，两种费用相同 【分析】（1）根据题意列出两种刻录方式的费用表达式； （2）根据题意列出不等式求解即可； （3）根据题意分别列出不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设刻录张光盘， 根据题意得，电脑公司刻录费用关系式为（，且x为整数）；学校自刻费用关系式为（，且x为整数）； （2）解：根据题意得， ∴ 解得 ∴当刻录光盘张数少于30张时，到电脑公司刻录费用省； （3）解：当学校自己刻录费用省时， 解得 ∴当刻录光盘张数多于30张时，学校自己刻录费用省； 当两种费用相同时， 解得 ∴当刻录30张时，两种费用相同． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 【答案】(1)当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱 (2)60元 【分析】（1）通过比较两种方案费用的大小关系，分三种情况讨论，得到不同打印张数下更省钱的方案； （2）根据“选择方案B比方案A多打印了20张”列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱； （2）解：设打印总费用为y元， 根据题意得， 解得 ∴使用打印总费用为60元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 【培优高频题型】 【题型4】含不等式约束的最优方案（进货/调配） 1.核心知识点 一次函数+不等式组；利用增减性求费用/利润最值。 2.解题方法技巧 设量→列函数→列不等式组求范围→由定最值点。 【例题4】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 【变式题4-1】.（2026·河南商丘·一模）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台，根据费用不超过800万元，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据型机器人每台每天可分拣快递24万件，型机器人每台每天可分拣快递20万件，可列出每天分拣的件数与的函数关系，再根据函数的性质得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 【变式题4-2】.（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元 (2)最节省费用的购买方案为购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱 【分析】（1）设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元，根据题中的等量关系，列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱，先根据题意，列出不等式，得，再根据题意得，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元， 由题可列，， 解得， 则每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元； （2）解：设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱， ，解得， ， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，则， 该公司最节省费用的购买方案是购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱． 【变式题4-3】.（2026·河南周口·二模）新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 【答案】(1)装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人 (2)①表中a的值为500；②当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润 【分析】（1）设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人，根据“工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱”列方程组求解即可； （2）①根据“用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同”列方程求解即可； ②当时，，设购进中堂画m幅，则购进对幅条，根据题意，列不等式求出，设销售利润为w元，根据题意列出函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人， 则依题意，可列二元一次方程组为：， 解得， 答：装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人． （2）解：①根据题意，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：表中a的值为500． ②当时，， 设购进中堂画m幅，则购进对幅条， 根据题意，得：， 解得， 设销售利润为w元， ， ， ∴当时，w有最大值，此时对幅， 答：当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润． 【题型5】最大利润问题（商品销售） 1.核心知识点 利润=单件利润×销量；构建利润一次函数；约束条件求范围。 2.解题方法技巧 统一变量→写利润式→求定义域→右大，左大。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 (2)该商品获得的最小利润为5500元 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根．且符合题意， 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 【变式题5-1】.（2026·宁夏银川·一模）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)精加工数量应为个，最大利润是元 【分析】（1）根据“一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）根据题意令粗加工个数为个，则精加工个数为个，得不等式，解出，再得出对应的利润与的函数关系，根据函数性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． （2）解：共采摘苹果个数为个， 令粗加工个数为个，则精加工个数为个， 则， 解得， 总利润为， 故越小，利润越大， 最小为， ∴总利润最大为元， 对应精加工个数为个， 故精加工数量应为个，最大利润是元． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 【答案】(1) A、B两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元 (2) 函数关系为（，且为整数），购买型号3台、型号7台满足要求且费用最少，最少费用为165万元 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，根据买3台型机器人，2台型机器人，共需90万元；买1台型机器人，6台型机器人，共需110万元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数关系式和不等式组，根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； （2）解：根据题意得：， 又， 解得：， （，且为整数）， ，， 随的增大而增大， 当，取得最小值为（万元）， 此时购买型号智能机器人（台）， 即购买型号智能机器人3台，购买型号智能机器人7台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是165万元． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河南·月考）2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元． (1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元． ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 【答案】(1)购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元 (2)①； ②共有4种购买方案，购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元 【分析】（1）设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，根据“已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元”，列出方程组求解即可． （2）①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，根据总费用购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用，解答即可． ②由题意可得，结合，且a为整数，得出，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元， 根据题意，得， 解得：． 答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元． （2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆， 则：，即：； ②由题意可得， 解得：． 又∵，且a为整数， ∴，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当a取最大值9时，W最小． （万元）， 答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元． 【压轴素养题型】 【题型6】行程类一次函数综合（往返/相遇） 1.核心知识点 路程=速度×时间；多段运动对应分段函数；相遇即相等。 2.解题方法技巧 一段一析式；注意时间差与方向；联立求相遇时刻。 【例题6】.（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）小莉陪父母出去散步，从家走了一段时间后到达公园，小莉陪父母看了一会风景后，用了返回家．下图是关于小莉离家的路程和离家时间的函数图像． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)公园离家的路程为__________m；小莉在公园停留的时间为__________； (2)求小莉从家出发到公园的速度？ (3)当小莉距离公园时，求的值． 【答案】(1)900，10； (2)； (3) 或 【分析】（1）由函数图像直接读取公园的路程和停留时间． （2）利用速度公式，用路程除以时间求出速度． （3）分去程和回程两种情况，先求出各段的函数解析式，再令距离公园（即）求解． 【详解】（1）解：由图像可知，公园离家的路程为， 小莉在公园停留的时间为． （2）解：小莉从家出发到公园的速度为． （3）解：当时，设， 将代入得：， 解得：， ， 当小莉距离公园时，， ， 解得：， 当时，设， 将和代入得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：， 或 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，反映的是甲、乙两人离A地的距离（千米）随甲出发的时间（小时）变化的函数图象．已知、两地相距45千米．请根据图象填空： (1)甲出发_____小时后乙才出发，乙比甲早_____小时到达B地； (2)甲的速度为_____千米/小时，乙的速度为_____千米/小时； (3)甲出发_____小时后被乙追上； (4)求乙离地的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的函数关系式． 【答案】(1)2，2 (2)9，45 (3) (4) 【分析】（1）从图象获取信息作答即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （3）根据乙追上甲时，两人的路程相等，列出方程进行求解即可； （4）设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲出发2小时后，乙才出发，乙比甲早小时到达B地； （2）解：（千米/小时）；（千米/小时）； 故甲的速度为9千米/小时，乙的速度为45千米/小时； （3）解：由题意，，解得； 故甲出发小时后被乙追上； （4）解：设函数解析式为， 把代入，得，解得， ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京西城·期中）王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程与所经过的时间（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： (1)学校与图书馆的距离是_____；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟； (2)相遇前，二人之间的距离的最大值是_____； (3)当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ 【答案】(1)4；15 (2) (3)3千米 【分析】（1）根据函数图象直接求解即可； （2）根据待定系数法分别得出所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为，同理：所在直线的函数解析式为，同理：所在直线的函数解析式为，分别作差求解即可； （3）由（2）得所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为，求出交点坐标，代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：学校与图书馆的距离是4；王鹏在图书馆停留的时间为分钟； （2）由图象可知，线段所在直线，是的正比例函数， 设所在直线的函数解析式为， 代入，得：， 解得：， 所在直线的函数解析式为， 所在直线的函数解析式为， 同理：所在直线的函数解析式为， 同理：所在直线的函数解析式为， 当时，， 当时，取得最大值为：； 当时，二人之间的距离为：， 当时，取得最大值为：； 当时，王鹏查完资料，从原路往回返，与李明的距离一直缩小， ∴二人之间的距离的最大值是； （3）由（2）得所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴． 【变式题6-3】.（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发，以的速度匀速步行直接回宿舍．在李明返回宿舍的图中，设张强距宿舍的距离为，李明距宿舍的距离为，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③； (2)． 【分析】（1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可； ③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，可求得，，据此列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 故答案为：0.12，1.2，0.6； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：0.06； ③当时， ； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）解：当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， ∴，， 当时，即， 解得， ∴． 【题型7】跨学科实践探究（漏刻/叠杯/音乐音高） 1.核心知识点 实验数据→一次函数；实际意义解释k、b；预测与估算。 2.解题方法技巧 描点看直线→求式→用式解决实际问题。 【例题7】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次的数据是不准确的． (2)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应的时间是多少？ 【答案】(1)4 (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应， ∴第4次数据是不准确的； （2）解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 【变式题7-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图 是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，为了探究叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量（个）的变化规律．设纸杯底部到纸杯沿底边高为，杯沿高为． (1)纸杯底部到纸杯沿底边高为是 （填“常量”或“变量”）； (2)写出纸杯的总高度与纸杯数量（个）的函数关系式： （用含的式子表示）． (3)嘉琪同学经过实践探究，列出下列表格： 纸杯数量（单位∶ 个） 纸杯总高度（单位∶） ①根据表格中数据求出和的值； ②该型号纸杯有个装、个装、 个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是 ，则该储藏柜能放得下 （杯口向上）这三种包装中哪些包装的纸杯 （直接写结果）． 【答案】(1)常量； (2)； (3)①，；②能放得下个装和个装的纸杯． 【分析】（）根据常量和变量的定义即可求解； （）根据题意即可求解； （）①利用待定系数法即可求出和的值；分别把代入函数解析式，求出对应的总高度，再与储藏柜的高度比较即可判断求解； 本题考查了常量和变量的定义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，根据题意正确求出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：纸杯底部到纸杯沿底边高为是常量， 故答案为：常量； （2）解：由题意可得，， 故答案为：； （3）解：①把、代入得， ， 解得， 即，； ②∵，， ∴， 当时，； 当时，； 当时，， ∵，， ∴该储藏柜能放得下个装和个装的纸杯． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 440 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． (3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 【答案】(1) (2) (3)将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，h的值，再计算需要的水的体积即可； （3）分别求出，和这三个音阶对应的水的高度，进而求出对应的水的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， 由题意得，，解得， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴想发出的音阶为，则玻璃杯中的水的高度为， ， 答：小明应该在玻璃杯中装的水； （3）解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， ，，， 设计方案如下：将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为）． 【变式题7-3】.（2025·陕西西安·二模）如图，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 27 【建立模型】小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 【答案】(1) (2)当甲容器中的水面高度为时是 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的计算是关键． （1）设h与t的函数解析式为（为常数，且），运用待定系数法即可求解； （2）当时，得，由此解出自变量的值即可． 【详解】（1）解：设h与t的函数解析式为（为常数，且）， 将，和，分别代入，得 ， 解得， ∴与t的函数解析式为； （2）解：当时，得， 解得， ， 答：当甲容器中的水面高度为时是． 【题型8】调运优化问题（物资/货物调配） 1.核心知识点 双向调配建模；总运费一次函数；整数解方案。 2.解题方法技巧 表格梳理流向→列总运费式→求范围→定最少运费。 【例题8】.（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【答案】(1)，自变量的取值范围是． (2)当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元． (3) 【分析】本题主要考查了列一次函数，一元一次不等式组的应用，一次函数图象的性质， 对于（1），先分别表示出甲，乙仓库运往A，B两地物资的吨数，再分别根据运费的单价得出总费用的关系式，列不等式组得出自变量取值范围； 对于（2），根据一次函数图象的性质，并结合自变量取值范围，当时，的值最小，进而求出最小值即可； 对于（3），先根据题意得出含有a的一次函数关系式，再分三种情况根据总费用最低等于23100得出方程，并求出符合题意的答案． 【详解】（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资， ∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资． ． 由题意，得 解得． ∴自变量的取值范围是； （2）解：对于， ， 随的减小而减小． ∴当时，的值最小，． ∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元； （3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费． ①当时，， 随的减小而减小． ∴当时，最小，即， 解得（舍去）； ②当时，（舍去）； ③当时，随的增大而减小． ∴当时，最小，即， 解得． 综上，． 【变式题8-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知甲、乙两果园预计今年水蜜桃的产量分别为和，打算成熟后运到，两个仓库存放．仓库可储存，仓库可储存．甲、乙两果园运往两仓库的运费价格如下表： 甲 乙 仓库 150元/ 140元/ 仓库 200元/ 180元/ 设从甲果园运往仓库的水蜜桃为，甲、乙两果园运往两仓库的水蜜桃的运输费用分别为（单位：元）和（单位：元）． (1)求，关于的函数解析式． (2)甲果园预计今年拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园预计今年拿出不超过50000元的费用作为运费．在这种情况下，甲果园运往仓库的水蜜桃为多少吨时，能使两果园的运费之和最小？最小是多少？ 【答案】(1)； (2)甲果园运往仓库的水蜜桃为时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元 【分析】（1）由运费=数量×单价就可以得出、与之间的函数关系式； （2）根据甲果园今年预计拿出不超过元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过元的费用作为运费，求出的范围，设两地运费之和为元，表示出与的关系式，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：由从甲果园运往仓库的水蜜桃为可得， 从甲果园运往仓库的水蜜桃为， 从乙果园运往仓库的水蜜桃为， 从乙果园运往仓库的水蜜桃为． 根据题意，得， ． （2）解：由题意，得解得． 设两果园的运费之和为元． 由题意，得． ，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为83000， 甲果园运往仓库的水蜜桃为时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【变式题8-2】.（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元 【分析】本题主要考查了列代数式，一次函数的应用，正确理解题意和熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目所给信息列式求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设红十字会A运往甲地物资吨，则红十字会A运往乙地物资吨， ∴红十字会B运往甲地物资吨， ∴红十字会B运往乙地物资吨， 列表如下： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 乙地 （2）解：由题意得， （3）解：∵，， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时， 答：A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元． 易错点 1.忽略自变量实际范围：人数、重量、时间为负；未取整数。 2.分段函数列式错误：分界点重复/遗漏；区间交叉或空白。 3.符号与增减性混淆：误判最值点，导致方案选反。 4.双方案比较不全面：只算特殊值，未分区间讨论。 5.单位与数量关系搞错：速度、单价、利润等量代换出错。 重点 1.实际问题→一次函数模型的完整建模过程。 2.分段函数的解析式书写与图象识别。 3.双方案比较：求交点→分区间→定优劣。 4.一次函数增减性求最值（费用最少/利润最大）。 5.数形结合、数学建模核心素养。 难点 1.复杂情境中准确提取变量与关系。 2.多约束条件下列不等式组求自变量范围。 3.分段函数与方案选择综合分类讨论。 4.将陌生情境（实验、跨学科）转化为一次函数。 【对应练习题】 1．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，求所挂物体的质量． 【答案】所挂物体的质量为千克 【分析】先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 2．宇树科技机器人从去年的《秧》到今年的《武》，在舞台上“舞”出了新高度，是前沿科技和中国功夫的完美融合．某公司计划购买A，B两种型号的机器人用于分拣货物．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣的货物，且A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少货物． (2)该公司计划购买A，B两种型号的机器人共10台，且购进一台A型机器人花费25万元，购进一台B型机器人花费20万元．若要求这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于，则该公司如何购进这两种型号的机器人才能使花费最低？最低花费是多少？ 【答案】(1)A型机器人每小时分拣货物，B型机器人每小时分拣货物． (2)该公司购进3台A型机器人，7台B型机器人才能使花费最低，最低花费为215万元 【分析】（1）设A型机器人每小时分拣货物，则B型机器人每小时分拣货物．根据A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同列出分式方程求解即可得出答案． （2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人台．由这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于得出a的取值范围，设总花费为W万元，则．然后根据一次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型机器人每小时分拣货物，则B型机器人每小时分拣货物． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴． 答：A型机器人每小时分拣货物，B型机器人每小时分拣货物． （2）解：设购进A型机器人a台，则购进B型机器人台． 由题意，得， 解得． 设总花费为W万元，则． ∵， ∴W随a的增大而增大． ∴当a取最小值，即时，W最小，最小值为（万元）． （台）． 答：该公司购进3台A型机器人，7台B型机器人才能使花费最低，最低花费为215万元． 3．渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【答案】(1)甲队每天修路200米，乙队每天修路160米 (2) (3)两队至少需要合作5天 【分析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用； （1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可； （2）根据题意求解即可； （3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米）， 答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米； （2）解：由题意得：； （3）解：设两队需要合作t天，由题意得 解得， 答：两队至少需要合作5天． 4．甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】(1)； (2)乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 【分析】（）根据图象即可求解； （）由图象可知甲园林队完成的绿化面积为，所以乙园林队完成的绿化面积为，设乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为，然后把点，代入即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知：甲园林队完成的绿化面积为，甲工作完成的绿化面积为， ∴甲工作后还剩下， 又∵甲园林队每小时绿化的面积保持不变， ∴甲还需完成剩下的绿化面积， 由图象可知：甲园林队休息了， 故答案为：； （2）解：∵由图象可知甲园林队完成的绿化面积为， ∴乙园林队完成的绿化面积为：， 设乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为， ∵图象经过点，， ∴， 解得：， ∴乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 5．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 【答案】(1) (2)外卖小哥5月份工资总额为6500元． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据工资底薪加上不超过500单的部分的补贴和超过500单的部分的补贴表示即可； （2）判断送单量超过500单，代入第一问得到的函数关系式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 即函数关系式为（）； （2）解：当时，（元） 答：外卖小哥5月份工资总额为6500元． 6．已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②；③当时，； 当时，；当时， (2) 【分析】（1）①根据函数图象得出对应时间点的距离值，或者求得对应一次函数的表达式，代入时间值，得到对应的距离值． ②根据小明从超市返回家的路程和时间，根据速度路程时间，得到答案． ③根据不同时段的运动状态（匀速、静止），利用待定系数法求解一次函数表达式． （2）根据两人的行进路线和运动时间，判断两人相遇时所在的时间段，进而根据两人运动的时间相同建立一元一次方程得到答案． 【详解】（1）解：①由图可知，离开家，距家的距离为， 由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数为一次函数， 设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：， 解得：， ∴函数表达式为：， ∴离开家即为当时，， ∴离开家时，距家的距离为， 由图可知，离开家，距家的距离为； ②小明从超市返回家的路程为：，匀速步行返回家， 小明从超市到家的速度为：； ③由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数分三段组成： 当时，设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：，解得：， ∴当时，函数表达式为：， 由图可知，当时，， 由①可知，当时，函数表达式为：， ∴小明离家的距离关于时间的函数解析式为： 当时，；当时，；当时，； （2）解：∵小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，小亮的速度为， 此时小明从体育馆到超市，小明的骑行时间为：，骑行距离为：， ∴小亮在内的步行距离为：， 又∵， ∴内两人已经相遇，此时小明在从体育馆到超市的途中， 设小亮步行了两人相遇， 则小明骑行的速度为：， ∴根据题意可列方程为：， 解得， ∴小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是． 7．某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共100个，已知A品牌保温杯的进价为50元/个，售价为70元/个；B品牌保温杯的进价为30元/个，售价为45元/个． (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值． 【答案】(1)购进品牌保温杯个，品牌保温杯个 (2)的最大值为元 【分析】（1）设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，根据购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，列出一元一次方程计算即可求解； （2）设购进A品牌保温杯个，则购进B品牌保温杯个，根据B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，列出一元一次不等式求出的范围，由题意得，总利润，结合为整数，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个， 由题意得：， 解得， 则（个）， 答：购进品牌保温杯个，品牌保温杯个； （2）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴，且为整数， 总利润， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元． 8．活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【答案】当时，选方案一费用较少；当时，选方案一和方案二费用一样多；当时，选方案二费用较少 【分析】设方案一的费用为元，方案二的费用为元，根据方案一和方案二分别列出所需的费用，然后求出，和时对应x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元， ， ， 若，则解得：， 若，则解得：， 若，则解得：， 所以， 当时，选方案一费用较少； 当时，选方案一和方案二费用一样多； 当时，选方案二费用较少． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.4 实际问题与一次函数 知识点1：一次函数实际应用建模四步法 1.定变量：确定自变量（主动变化量）与因变量（被动变化量），明确实际意义。 2.找关系：分析随均匀变化，确定单位变化量与初始值。 3.建模型：设解析式，用待定系数法求k、b。 4.验范围：结合实际确定取值范围（非负、整数、限制条件等）。 知识点2：分段函数 1.定义：自变量在不同区间，对应不同一次函数解析式的函数。 2.写法：分段写清解析式与对应范围，用大括号联立。 3.图象：由多条线段组成，分界点必须包含在一段中。 知识点3：一次函数方案选择与最值 类型 核心思路 解题步骤 方案选择 比较两个一次函数大小 1.列两个函数；2.联立求交点；3.分区间判断优劣 最值问题 利用增减性求最值 1.列函数；2.求范围；3.由定增减；4.端点取最值 【基础必考题型】 【题型1】简单一次函数建模（行程/计费） 1.核心知识点 均匀变化→；待定系数法求解析式；实际意义下自变量范围。 2.解题方法技巧 找两组代入求k、b；为单位变化量，为初始量。 【例题1】.（2025·湖北武汉·三模）甲、乙两人同时从地出发，以各自的速度匀速骑车到地，甲先到地后原地休息．甲、乙两人的距离与乙骑车的时间之间的函数关系图象如图，则甲的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山西运城·期中）9月27日，龙城好运·2025小店区乡村田园健康跑活动如期举行，2000余名“大小朋友”快乐开跑，挑战自我，充实生活．杜老师从起点出发，向终点匀速跑去，她离终点的距离（单位：）与跑步时间（单位：）之间的部分对应值如下表所示，则与之间的函数关系式为_____．（不要求写出自变量的取值范围） 0 5 10 15 20 … 10 9 8 7 6 … 【变式题1-3】.（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 【题型2】分段函数读图与列式（阶梯水/电费） 1.核心知识点 分段函数解析式；分界点取值；图象与解析式对应。 2.解题方法技巧 一段一求式；分界点坐标代入验证；不重复不遗漏区间。 【例题2】.（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【变式题2-1】.（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 【变式题2-2】.（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江西萍乡·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【题型3】双方案基础选择（两种收费对比） 1.核心知识点 联立求交点；为临界；分判断优劣。 2.解题方法技巧 列两函数→求交点→画草图→定范围选方案。 【例题3】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·宁夏银川·月考）某校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自制，除租用刻录机需120元外，每张还需成本费4元（包括空白光盘费）． (1)分别写出电脑公司刻录费用、学校自刻费用与刻录的光盘张数的关系式； (2)什么情况下到电脑公司刻录费用省？ (3)什么情况下学校自己刻录费用省？什么情况下两种费用相同？ 【变式题3-3】.（25-26九年级下·河南鹤壁·月考）在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 【培优高频题型】 【题型4】含不等式约束的最优方案（进货/调配） 1.核心知识点 一次函数+不等式组；利用增减性求费用/利润最值。 2.解题方法技巧 设量→列函数→列不等式组求范围→由定最值点。 【例题4】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【变式题4-1】.（2026·河南商丘·一模）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【变式题4-2】.（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 【变式题4-3】.（2026·河南周口·二模）新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 【题型5】最大利润问题（商品销售） 1.核心知识点 利润=单件利润×销量；构建利润一次函数；约束条件求范围。 2.解题方法技巧 统一变量→写利润式→求定义域→右大，左大。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【变式题5-1】.（2026·宁夏银川·一模）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 【变式题5-2】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买3台A型机器人，2台B型机器人，共需90万元；买1台A型机器人，6台B型机器人，共需110万元． 素材二：A型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；B型机器人每台每天可分拣快递1万件．公司用不超过180万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．快递公司每天要完成至少11.5万件快递分拣． 问题解决： (1)任务1：求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用w万元与购买A型号智能机器人a（，且a为整数）台之间的函数关系，并帮助快递公司选择一种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，并求出最小费用． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河南·月考）2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元． (1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？ (2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元． ①求总费用W关于a的函数关系式； ②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 【压轴素养题型】 【题型6】行程类一次函数综合（往返/相遇） 1.核心知识点 路程=速度×时间；多段运动对应分段函数；相遇即相等。 2.解题方法技巧 一段一析式；注意时间差与方向；联立求相遇时刻。 【例题6】.（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）小莉陪父母出去散步，从家走了一段时间后到达公园，小莉陪父母看了一会风景后，用了返回家．下图是关于小莉离家的路程和离家时间的函数图像． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)公园离家的路程为__________m；小莉在公园停留的时间为__________； (2)求小莉从家出发到公园的速度？ (3)当小莉距离公园时，求的值． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，反映的是甲、乙两人离A地的距离（千米）随甲出发的时间（小时）变化的函数图象．已知、两地相距45千米．请根据图象填空： (1)甲出发_____小时后乙才出发，乙比甲早_____小时到达B地； (2)甲的速度为_____千米/小时，乙的速度为_____千米/小时； (3)甲出发_____小时后被乙追上； (4)求乙离地的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的函数关系式． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京西城·期中）王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程与所经过的时间（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： (1)学校与图书馆的距离是_____；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟； (2)相遇前，二人之间的距离的最大值是_____； (3)当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ 【变式题6-3】.（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发，以的速度匀速步行直接回宿舍．在李明返回宿舍的图中，设张强距宿舍的距离为，李明距宿舍的距离为，直接写出当时的取值范围． 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 【题型7】跨学科实践探究（漏刻/叠杯/音乐音高） 1.核心知识点 实验数据→一次函数；实际意义解释k、b；预测与估算。 2.解题方法技巧 描点看直线→求式→用式解决实际问题。 【例题7】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次的数据是不准确的． (2)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应的时间是多少？ 【变式题7-1】.（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图 是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，为了探究叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量（个）的变化规律．设纸杯底部到纸杯沿底边高为，杯沿高为． (1)纸杯底部到纸杯沿底边高为是 （填“常量”或“变量”）； (2)写出纸杯的总高度与纸杯数量（个）的函数关系式： （用含的式子表示）． (3)嘉琪同学经过实践探究，列出下列表格： 纸杯数量（单位∶ 个） 纸杯总高度（单位∶） ①根据表格中数据求出和的值； ②该型号纸杯有个装、个装、 个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是 ，则该储藏柜能放得下 （杯口向上）这三种包装中哪些包装的纸杯 （直接写结果）． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 440 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． (3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 【变式题7-3】.（2025·陕西西安·二模）如图，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 27 【建立模型】小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 【题型8】调运优化问题（物资/货物调配） 1.核心知识点 双向调配建模；总运费一次函数；整数解方案。 2.解题方法技巧 表格梳理流向→列总运费式→求范围→定最少运费。 【例题8】.（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 (1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ (3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【变式题8-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知甲、乙两果园预计今年水蜜桃的产量分别为和，打算成熟后运到，两个仓库存放．仓库可储存，仓库可储存．甲、乙两果园运往两仓库的运费价格如下表： 甲 乙 仓库 150元/ 140元/ 仓库 200元/ 180元/ 设从甲果园运往仓库的水蜜桃为，甲、乙两果园运往两仓库的水蜜桃的运输费用分别为（单位：元）和（单位：元）． (1)求，关于的函数解析式． (2)甲果园预计今年拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园预计今年拿出不超过50000元的费用作为运费．在这种情况下，甲果园运往仓库的水蜜桃为多少吨时，能使两果园的运费之和最小？最小是多少？ 【变式题8-2】.（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【变式题8-3】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 乙地 易错点 1.忽略自变量实际范围：人数、重量、时间为负；未取整数。 2.分段函数列式错误：分界点重复/遗漏；区间交叉或空白。 3.符号与增减性混淆：误判最值点，导致方案选反。 4.双方案比较不全面：只算特殊值，未分区间讨论。 5.单位与数量关系搞错：速度、单价、利润等量代换出错。 重点 1.实际问题→一次函数模型的完整建模过程。 2.分段函数的解析式书写与图象识别。 3.双方案比较：求交点→分区间→定优劣。 4.一次函数增减性求最值（费用最少/利润最大）。 5.数形结合、数学建模核心素养。 难点 1.复杂情境中准确提取变量与关系。 2.多约束条件下列不等式组求自变量范围。 3.分段函数与方案选择综合分类讨论。 4.将陌生情境（实验、跨学科）转化为一次函数。 【对应练习题】 1．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，求所挂物体的质量． 2．宇树科技机器人从去年的《秧》到今年的《武》，在舞台上“舞”出了新高度，是前沿科技和中国功夫的完美融合．某公司计划购买A，B两种型号的机器人用于分拣货物．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣的货物，且A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少货物． (2)该公司计划购买A，B两种型号的机器人共10台，且购进一台A型机器人花费25万元，购进一台B型机器人花费20万元．若要求这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于，则该公司如何购进这两种型号的机器人才能使花费最低？最低花费是多少？ 3．渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 4．甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 5．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 6．已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 7．某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共100个，已知A品牌保温杯的进价为50元/个，售价为70元/个；B品牌保温杯的进价为30元/个，售价为45元/个． (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值． 8．活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $