四川省三台中学2025-2026学年高一数学5月周练4

**基本信息** 高一数学周测卷聚焦平面向量与解三角形，通过基础辨析、实际情境应用及多解法综合题，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|3|向量数量积、共线、投影|基础概念辨析，如投影向量与数量积关系| |多项选择题|2|三角形面积、向量垂直、等腰三角形判定|多维度概念辨析，如向量夹角为钝角的条件| |填空题|2|正弦定理应用（河两岸距离测量）、余弦定理推论|实际情境问题，体现应用意识| |解答题|2|向量线性表示与夹角、锐角三角形求角及取值范围|综合应用多解法（几何法、坐标法），培养逻辑推理|

三台中学2025级高一数学5月周练4 一、选择题 1．已知平面向量满足,,且,则(      ) A. B. C.2 D.1 2．已知向量,,,若与共线,则实数t的值为(      ) A.2 B. C.4 D. 3．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则(      ) A. B. C. D.1 二、多项选择题 4．下列说法中正确的是(      ) A.在中,,则的面积为 B.已知向量,则 C.在中,若,则是等腰三角形 D.已知向量,与的夹角为钝角,则x的取值范围是 5．已知向量,,则(      ) A.若,则 B.若,则 C.的最大值为 D.若,则 三、填空题 6．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为____________m. 7．在中，，则__________________. 四、解答题 8．如图,在中,点D是中点,点E、F分别在边、上,,.设,. (1)用向量、表示； (2)若,,,求向量、夹角的余弦值. 9．已知锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角C； (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $三台中学2025级高一数学5月周练4 一、选择题 1.已知平面向量a,b满足d=1,5=2,且(a-25)1a,则a-b=() A.6 B.5 C.2 D.1 2.已知向量a=(1,3),b=(-2,t),c=(2,1),若a+b与b-2c共线，则实数t的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.已知单位向量a在单位向量方上的投影向量为，则-2=() A.3 B.5 2 c D.1 二、多项选择题 4.下列说法中正确的是() A在△MsC中，AB1AC2A30则△M5C的面制为 B.已知向量a=(←2,3)，6=(1,2)，则a+=5 C,在△ABC中，若(AB+AC)BC=0,则△ABC是等腰三角形 D.已知向量a=(2,-1),b=（x,1),ā与的夹角为钝角，则x的取值范围是 :2 5.已知向量a=(cos6,sin6),b=(-3,4),则() A.若a6,则tam6=-4 3 3-5 B.若a⊥b,则sin6 c.a-b的最大值为20 D.若a:(a-b)=0,则a-b=26 三、填空题 6.如图，A,B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C,测得BC=10m, ∠ABC=75°，∠ACB=60°，则A,B两点间的距离为 m. B 7.在△ABC中，sinA:sinB:simC=7:8:l3,则C= 四、解答题 8.如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E、F分别在边AB、AC上，AF=2FC, BE=2EA.设AB=a,AC=b. (1)用向量a、b表示EF; (2)若d=3V2,=3,ab=9,求向量AD、EF夹角的余弦值. 9.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 acosB +bcosA=- csinC 3 (1)求角C: (2)求sinA+sinB+sinC的取值范围.三台中学2025级高一数学5月周练4 一、选择题 1.已知平面向量a.,6满足=1，=2，且(a-2b)1a,则a-=() A.√6 B.5 C.2 D.1 答案：C 解析：因为(a-2b)1a,所以(a-2b)a=0,即a2-2ab=0, 因为同=1，所以2a-6=1a-=Va-6=2+6-2a-b又=2，所以a-l=2. 2.已知向量a=(1,3),b=(-2,t),c=(2,1),若a+b与b-2c共线，则实数t的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案：D 解析：a+b=(-1,3+t),b-2c=(-6,t-2), 因为a+b与b-2c共线，所以-1x(t-2)-(3+t)×(-6)=0,解得t=-4. 3.己知单位向量a在单位向量6上的投影向量为)3，则a-2=() A.3 B.5 3 D.1 2 答案：B 解析：因为向量a在向量6上的投影向为，所以a与6的夹角为子，所以@6= 所以a-2=(ad+46-4a-b=3,所以a-26=5. 二、 多项选择题 4.下列说法中正确的是() A在△ABC中，AB=LAC=2∠A=30P,则△MBC的面积为对 B.已知向量a=(-2,3),b=(1,2),则a+=5 C.在△ABC中，若(AB+ACBC=0,则△ABC是等腰三角形 D.已知向量a=(2,-1),b=(x,1),a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 答案：AC 解析：AB=14C=2A=30Sc分AB-AC-故A正：确 a=(-2,3),b=(1,2)a+b=(-1,5)la+b=V26,故B错误： 记BC的中点为D,由于(AB+ACBC=2AD.BC=0, 因此中线AD垂直于BC,所以AB=AC,△ABC是等腰三角形，故C正确： a与b的夹角为钝角， a6-2-1k03x<x-2x(-0,2(2》故D错误 5.已知向量a=(cos6,sin6),b=(-3,4),则() A.若a仍，则tan6--4 B.若aL方，则sin6=3 Ca-的最大值为2√10 D.若a-(a-b)=0,则-b=26 答案：AD 解析：因为a=(cos8,sin0),b=(-3,4),所以=Vsim20+cos2g=1,bl=V-3+4=5, 对于A选项，若ab,则4cos8=-3sin8,所以tan9=一放A正确) 对于B选项，若a1方，则a-b=-3c0s9+4sin0=0,所以tan6=3 tane=sing 3 又 c00。手解得sn0-或n0-子放B错误 sin20+cos20=1 对于c选项，a--a-b=Va+6-2a-6 V26-2-3cos9+4sin0)=V26-10sin(0-9,其中anp 4 当sin(0-p)=-1时，a-b取得最大值6，故C错误； 对于D选项，若a-a-b)=0,则(a)}-ab-0,即1+3cos0-4sin0=0, 所以4sin0-3cos0=1, 所以a-=Va-b=Va+(6-2-a-6= √26-2(-3cos0+4sin0)=√26-2=2√6，故D正确. 三、填空题 6.如图，A,B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C,测得BC=10m,∠ABC=75°， ∠ACB=60°，则A,B两点间的距离为 m. C 答案：56 解析：由题意∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=45°， 由正弦定理得，AB BC sin∠ACB sin∠BAC' 故AB= BCsinACB10sin 0 =56, sin∠BAC sin45°= v2 2 故A,B两点间的距离为5√6m. 7.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=7:8:l3,则C= 答案：120° 解析：由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:b:c, .a:b:c=7:8:13, 设a=7k,b=8k,c=13k(k>0), 由余弦定理的推论得c0sC=Q+62-C2_492+642-169k2_1 2ab 112k2 ,0°<C<180°，.C=120°. 四、解答题 8.如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E、F分别在边AB、AC上，AF=2FC,BE=2EA.设AB=a, AC=b. (1)用向量a、b表示EF: (2)若=3W2,=3,a-b=9,求向量AD、EF夹角的余弦值 答案：()EF-26- 3 (2)0 10 解析：①州题意可得-正-正-五a, 3 包解法：1将e团36-可}后-4标6r女 3184x9+4x9=万， 因为D为BC的中点，所以AD=AC+AB=6+a, 从A0+可-分尽+a方-F29T- 2 3*94x9 6 6*18=3 3 所以cos(D,EF）) AD.EF FA丽2x35 101 故向量AD、 EF夹角的余弦值为 10 解法二：因为BC=a-=V2-2-b+b=18-2×9+9=3, 又因为AC=3,所以AC+AB=BC, 所以△ABC为等腰直角三角形， 如图，以C为原点，CA的方向为x轴的正方向，CB的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得a(3.0、B03)、00引Fo、E2). 所以os(aD.EF） AD·EF 3、3 2 10 EF AD 9 2×9+ 10 故向量AD、EF夹角的余弦值为 10 解法三：因为Bd=la-=V后2-2a-b+b=18-2x9+9=3, 又因为AC=3,所以Ad+A6=BC, 所以△ABC为等腰直角三角形， 如图，以A为原点，AB的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系. B 可40o叭、50小f9、0叭.小5a、 9) 3 所以cos(AD,EF)=T AD·EF 2 10 F丽2×，8+g10 V88 故向量AD、EF夹角的余弦值为 10 9.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,G,且满足acosB+bOsA=2 sinc. (1)求角C: (2)求sinA+sinB+sinC的取值范围. 答案：()C= 3+V335 22 解析：(1)由正弦定理，a=2 R sin A,b=2 Rsin B,c=2 RsinC可得： acos B+bcos A=2R(sin Acos B+sin Bcos A) sinc, 2 =2Rsin(A+B)=2Rsin(π-C),又acosB+bcosA= 2 所以2Rsin(π-C)=2 Rsin C= 2RsinC.sinc, 因为sinC≠0，化简可得：simC=5 因为△ABC是锐角角形Ce0受，故C-子 2)由C-号得A+8-受，副8 2-A, 0<B=2π-A< 3 因为△ABC是锐角三角形，所以 ,解得卫<A< sinA+sinB+sinC sinA+sin 2 =sinA+V3 2 22 由引4做+引9 代入得： 2 因此sinA+sinB+sinC的取值范围为 3+V53W3 2’2三台中学2025级高一数学5月周练4 一、选择题 1.已知平面向量a,6满足=1，=2，且(a-2b)1a,则a-=() A.6 B.5 C.2 D.1 答案：C 解析：因为a-2b)1a,所以(a-26)a=0,即a2-2a6=0, 因为同=1，所以2a-i=1la-=a-}=后2+62-2a6,又6=2，所以a-=2 2.已知向量a=(1,3),b=(-2,t),c=(2,1),若a+b与i-2c共线，则实数t的值为() A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案：D 解析：a+6=(-1,3+t),6-2c=(-6,t-2), 因为a+6与6-2c共线，所以-1×(t-2)-(3+t×(-6)=0,解得t=-4. 3。已知单位向量a在单位向量万上的投影向量为6，则-2网=() A B.5 3 D.1 2 C. 4 答案：B 解析：因为向量在向量5上的授影向量为5，所以。与i的夹角为受所以a5=, 所以a-2=(a)2+4-4ā.i=3,所以a-26=5 二、多项选择题 4.下列说法中正确的是() A在△1BC中，8=LC=2,L4=0,则△4BC的面积为 B.已知向量a=(-2,3),万=(1,2)，则a+=5 C.在△ABC中，若(AB+AC·BC=0,则△ABC是等腰三角形 D.已知向量a=(2,-1,6=(x,1),a与i的夹角为钝角，则x的取值范围是 P,2 答案：AC 解析：~8=L4C=2,∠4=05。c分4B4Csmd=放A止确： 21 a=(-2,3),b=(1,2),“a+6-(-1,5),la+bl=V26,故B错误； 记BC的中点为D,由于(AB+ACBC=2AD.BC=0, 因此中线AD垂直于BC,所以AB=AC,△ABC是等腰三角形，故C正确； .a与b的夹角为钝角， a-6=2x-1<0→x<且x≠-2xe-m,-20-2对，故D错误 5.已知向量a=(cos0,sin0),b=(-3,4),则() A若a5则m0-号 B若aL5则sn9-号 c.a-的最大值为21o D若a-(a-b)=0,则a-=26 答案：AD 解析：因为a=(cos0,sin0),6=(-3,4),所以d=sim0+cos20=1,5=-3+4=5, 对于A选项，若a5,则4cos0=-3sn0,所以an0=号故A正确： 对于B选项，若a1万，则a-万=-3cos0+4sin0=0,所以an0=3 Γ4 tan0=sin0 3 cog.解得sn0-或n0= 亏故B错误， sin20+cos20=1 对于c选项，a-利-a-=Va+-2a6 V26-2-3cos9+4sin0)=V26-10sin0-p,其中an9= 当sin(0-p)=-1时，a-取得最大值6，故C错误： 对于D选项，若a(a-b)=0,则(a2-a.万=0，即1+3cos0-4sin0=0, 所以4sin0-3cos0=1, 所以a-=a-=a2+(-2a.6= √26-2(-3cos0+4sin0)=V26-2=2√6，故D正确， 三、填空题 6.如图，A,B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C,测得BC=10m,∠ABC=75°， ∠ACB=60°，则A,B两点间的距离为 m B 答案：5V6 解析：由题意∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=45°， 由正弦定理得，AB BC sin ACB sin∠BAC' 故AB-8Csin∠4CB_10sn60:10x sin∠BAC sin45° =56, 故A,B两点间的距离为5V6m. 7.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=7:8:l3,则C= 答案：120° 解析：由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:b:c, .a:b:c=7:8:13, 设a=7k,b=8k,c=13k(k>0), 由余弦定理的推论得cosC=a+6-c2_49k2+64k2-169k21 三一 2ab 112k2 2 0°<C<180°，.C=120° 四、解答题 8.如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E、F分别在边AB、AC上，AF=2FC,BE=2EA.设AB=a, AC=6. (1)用向量a、6表示EF; (2)若=32，=3，a-万=9，求向量D、EF夹角的余弦值 (2)0 10 解析：（①）油题意可得EF=AF-AE=26-: 3 (2)解法一：由(1)得EF 2 s4x9r49=, 因为D为BC的中点所以4D=!AC+AB=6+a, 从0-5+可6+2a6+-s2x9r9- 2 而-+5后6-+6- 6 3x9+x9 6 618=3 所以cos(D,EF） AD.EF √10 丽2×35 109 故向量D、EF夹角的余弦值为v10 10 解法二：因为BC=i-=Va2-2ā-6+62=8-2x9+9=3, 又因为AC=3,所以AC+AB=Bc, 所以△ABC为等腰直角三角形， 如图，以C为原点，CA的方向为x轴的正方向，CB的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得4301、80，、D0引、F10、E2, B 所以cos(AD,EF） AD.EF 3、3 2 o EF AD 9 √2×9+ 10, 4 故向量D、EF夹角的余弦值为0 10 解法三：因为8C=la-=Va2-2a6+62=8-2x9+9=3, 又因为4C=3,所以Ad+AB=Bc 所以△ABC为等腰直角三角形， 如图，以A为原点，AB的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系. B末 可两400、45.o叭c.o、小、 9V232 4,4 从而AD= 92,35萨=02， 44 3 所以cos(AD,EF〉 AD·EF √10 EF AD /81.9 10 十 8 故向量D、EF夹角的余弦值为 10 9.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 acosB+bcosA=- csinc (1)求角C; (2)求sinA+sinB+sinC的取值范围， 答案：()C= 3+V53V5 3(2) 2,2 解析： (1)由正弦定理，a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C可得： a cos B+bcos A=2R(sin A cos B+sin B cos A) 2 =2Rsin(A+B)=2Rsin(π-C),又acosB+bcosA=- csinC, 2 所以2Rsin(π-C)=2 Rsin C=- x2Rsin C.sinc, 因为sinC≠0，化简可得：sinC= 2 因为△MBC是锐角三角形，Ce0,,放C=号 2)由C-号科4+月=经即8=任-4， 3 0<B= 2-A< 3 2 因为△ABC是锐角三角形，所 0<A<月 ,解得<A<, 6 sinA+sinB+sinC=sin+sin 小9 =sind+3 1 2 22 2c0s4+3 2 =v3sinA+）+5 62 由4（引4培得，做m4副 代入得： m+引5 因此sinA+sinB+sinC的取值范围为 3+V33W5 2,2