2026年高考数学考前冲刺四套卷之二：精准提分卷

卷首导言 目的：本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考，专攻会但不熟、有思路但卡壳的中档题.通过关键步骤重复训练，将其转化为稳定得分点. 选题范围： · 解析几何：联立、判别式、韦达定理 · 导数：求导、因式分解、讨论分界点 · 立体几何：建系、标坐标、求法向量 · 选填中档题：耗时过长或看过答案才做对的题 · 大题步骤：会做但过程分总拿不全的题 方法： 1. 只练卡点.每道题不做完整过程，只反复练卡住的那一步. 2. 做完即对.练完一步立刻对照答案，确认是否正确. 3. 一句话总结.每道题旁标注卡壳原因，如“判别式忘检验”“因式分解漏项”. 自查标准： · 同一卡点连续3次不出错，视为攻克. · 仍出错的，保留至下一轮继续训练. 注意：本卷不追求限时完成，不练压轴难题.目标是把“差一点就对了”变成“想都不用想”. 一、建系与坐标确定 1. （训练范围：寻找直角转化向量数量积） 已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 2. （训练范围：完整建系并写出所有特征点坐标） 如图，在正方体中，分别是和的中点，则（　　） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积是正方体体积的 D. 异面直线与所成角的余弦值为 二、弦长与面积计算 3. （训练范围：圆台轴截面及体积计算） 已知圆台的上、下底面面积分别为，，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（　　） A. B. C. D. 4. （训练范围：焦点三角形周长与面积关系） 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（ 　　） A. B. C. D. 三、法向量与二面角计算 5 . （训练范围：只练求平面的法向量与线面角式子） 在四棱锥中，平面，，，． （2）若为棱上一点（不含端点），直线与平面所成角的正弦值为，求． 四、数列递推构造 6. （训练范围：构建差分数列或判断单调性） 在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7 . （训练范围：只练由Sn与an关系构造等比数列） 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； 五、极值与最值计算 8. （训练范围：韦达定理及导数判别式分析最值） 已知函数，则下列说法正确的是 A. 若是奇函数，则 B. 若是增函数，则 C. 所有零点的平方和等于 D. 当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 六、解三角形边角互化 9 . （训练范围：只练正弦定理边角互化及中线定理） 记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为． （2）若，求边上的中线长． 七、期望与方差计算 10 . （训练范围：只练列出分布列及算期望） 近年，国家不断加大反诈宣传力度．“摸球中奖”就是街头常见的诈骗小游戏，其规则为在不透明袋中装有若干个不同颜色的小球，以摸中特定组合即可获得大额奖金为诱饵，吸引路人参与．已知袋中装有2个红球，3个黄球，4个蓝球，这9个球除了颜色不同以外其他特征均相同，摸球者从袋中随机摸出5个球，若其中三种颜色球的个数比为0:1:4（所述比例不固定对应具体颜色，下同），则获得100元奖金；若其中三种颜色球的个数比为0:2:3，则获得5元奖金；若其中三种颜色球的个数比为1:1:3，则没有奖金也不需付钱；仅当其中三种颜色球的个数比为1:2:2时，需要支付10元． （2）试用所学的概率与统计知识揭穿此骗局． 八、三角恒等变换方向选择 11. （训练范围：两角和与差的逆向展开） 已知，则 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 九、定义域限制隐含 12. （训练范围：对数真数大于零的隐含条件排查） 若集合，，则 A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第一部分：卡点验证表 题号 训练范围 关键中间结果 1 寻找直角转化向量数量积 发现 为圆的直径得 ， 2 完整建系并写出所有特征点坐标 以及 3 圆台轴截面及体积计算 截面面积 ，且 ，解得 4 焦点三角形周长与面积关系 斜率乘积为 得 ，由距离关系得 5 只练求平面的法向量与线面角式子 法向量 ，(\frac{ 6 构建差分数列或判断单调性 隐含条件 ，由单调性得 系数 7 只练由Sn与an关系构造等比数列 ，凑项得 8 韦达定理及导数判别式分析最值 增函数要求 则 ；零点满足 ， 9 只练正弦定理边角互化及中线定理 ，中线定理 10 只练列出分布列及算期望 11 两角和与差的逆向展开 与 联立 12 对数真数大于零的隐含条件排查 必须先满足定义域 ，从而解得 第二部分：逐题详解 1. 【题目简述】求解过A,B,C三点的动圆圆心的轨迹方程. 卡点步骤： 圆心在轴上的圆经过与，由于这两点均在轴上，所以线段必然是该动圆的直径.由圆的几何性质可知，直径所对的圆周角为直角，故必有.（常见错误：未发现A、C点共线且在y轴上的特殊位置关系，直接设圆的一般方程导致计算繁琐）.于是向量数量积，即，展开可得.（易错：向量坐标相乘时正负号计算错误）. 后续步骤： 考虑到点B,C不重合，所以原点除外，故选D. 2. 【题目简述】在正方体中判断线面平行、异面直线垂直及线面角等综合关系. 卡点步骤： 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.设棱长为1，必须准确写出所有特征点的坐标：，，，，，，，，根据中点坐标公式得，.（常见错误：建系后写点坐标时x,y,z方向弄混，或者写平面内点的坐标时将z轴坐标误写为0）. 后续步骤： 利用坐标计算相关向量的数量积或夹角公式，逐项验证得出结论，故选ABC. 3. 【题目简述】根据圆台底面面积关系及轴截面面积求体积. 卡点步骤： 设上下底面圆的半径分别为，由已知面积关系，得.圆台的轴截面为等腰梯形，其面积为，将高代入得，解得，所以.（常见错误：忘记圆台轴截面面积的梯形计算公式，或将底面面积比误当作半径比直接使用）. 后续步骤： 代入圆台体积公式，算出，故选B. 4. 【题目简述】利用焦点三角形内两条焦半径所在直线斜率求椭圆的离心率. 卡点步骤： 已知直线，的斜率之积为，可得隐含条件，即.（常见错误：忽略斜率乘积为-1即垂直的关键几何意义）.由直线的斜率为3及直角三角形关系，可推知，即.由椭圆定义，所以，. 后续步骤： 运用勾股定理，求得，故选D. 5 . 【题目简述】在四棱锥中根据线面角的正弦值反求线段上的动点比例. 卡点步骤： 建立空间直角坐标系后，可得，.设，可得（11分）.设平面的法向量为，由且，取，则，得到法向量（13分）.设直线与平面所成角为，代入公式，即.（常见错误：法向量叉乘运算错漏，或将线面角的正弦与向量夹角的余弦等量关系混淆忘记带绝对值）. 后续步骤： 列出含的方程，解得，即（15分）. 6. 【题目简述】判断对数型差分数列为递增数列时的参数取值范围. 卡点步骤： 数列通项化简为.真数必须大于零，由题知恒成立，当时即，得.（常见错误：忘记真数大于零的隐含定义域条件限制，导致下界缺失）.若是递增数列，则内层函数需随增大而增大.因为随增大而减小，故其系数必须满足，即.（常见错误：判断复合函数单调性时增减性倒置）. 后续步骤： 结合定义域限制条件，得出实数的取值范围是，故选C. 7 . 【题目简述】由前n项和与第n项的混合递推关系式求数列通项公式. 卡点步骤： ∵，利用将式子转化为，整理得.（常见错误：利用前n项和作差时下标对齐搞错，或者待定系数法配凑常数项时符号计算失误导致无法凑成标准等比数列）.又，故是首项为3，公比是3的等比数列. 后续步骤： 从而，解得通项公式为. 8. 【题目简述】利用三次函数的导数判别式及韦达定理分析零点特征及函数性质. 卡点步骤： 求导得.若是增函数，必有恒成立，此时二次函数判别式，即，这与选项B中的矛盾.（常见错误：单调递增条件转化为判别式时，误写为或漏掉等号）.对于零点问题，当时，一根为，另外两根满足韦达定理，，计算平方和用到. 后续步骤： 分析极值点并求切线斜率等，最终得出AD选项正确. 9 . 【题目简述】综合应用正弦定理互化以及中线定理求解三角形边长. 卡点步骤： 由（1）已知，则（7分）.根据正弦定理，可转化为.将条件代入，得到，解得（9分）.（常见错误：正弦定理边角交叉互化时对应错位，或三角函数值代错）.已知，可得（10分）. 后续步骤： 设BC中点为M，在中利用余弦定理，代入求得（13分）. 10 . 【题目简述】梳理摸球中奖规则的组合数，列出分布列并计算期望值. 卡点步骤： 分析摸出5球的所有组合情况并分别求概率：符合0:1:4的；符合0:2:3的共有种，故（9分）；符合1:1:3的共32种，故（11分）；符合1:2:2的共66种，故（13分）.（常见错误：超几何分布组合数乘法原理中，遗漏某一种颜色的选取组合，或者最后没有把所有情况概率加起来检验和是否为1）. 后续步骤： 根据分布列计算数学期望（14分），得出游戏不公平的结论. 11. 【题目简述】利用两角和与差的余弦公式逆向展开求解正余弦乘积. 卡点步骤： 当时，利用差角余弦公式展开为.结合已知条件.两式相加减得到方程组，解得，.（常见错误：两角和差的余弦公式中间符号记忆混淆，导致正负号反转解出错解）. 后续步骤： 利用同角除法得到结果，验证各选项后选BD. 12. 【题目简述】求解含对数函数的集合不等式并计算集合交集. 卡点步骤： 求解集合A的对数不等式时，由于对数函数的定义域限制，真数必须大于0，即必须加上的隐含条件.（常见错误：只解而忽略对数自带的定义域要求，直接得出导致错选）.结合底数大于1单调递增，正确解得. 后续步骤： 与集合取交集，得到，故选C. $