精品解析：江西新余市第一中学2025-2026学年高一年级下学期第二次段考数学试题

新余一中高一年级下学期第二次段考 数学试题 命题人：欧阳志 审题人：周楠 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知某扇形的半径为3，弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 10. 如图，在边长为2的正方形中，为以为圆心、为半径的圆弧（包含，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为4 D. 过作交于，则的最大值为5 11. 已知在中，.设函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 在区间上有且仅有3个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确但填在答题卡中的横线上） 12. 已知向量，不共线，实数x，y满足，则_______． 13. 已知，，，，则________. 14. 已知对恒成立，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求与的夹角的值． 16. 如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. （1）当时，求的值； （2）当时，若为线段上的动点，求的最小值. 17. 设向量，（，）函数，. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调增，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求出的解析式. 条件①：； 条件②：在区间上单调减. （3）在（2）的条件下，若锐角满足，求的值. 18. 已知函数. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）已知函数的最小值为1，求的值； （3）若，且，，求，的值. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求； （2）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若，的根从小到大依次为，求； ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新余一中高一年级下学期第二次段考 数学试题 命题人：欧阳志 审题人：周楠 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知某扇形的半径为3，弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算即可求解. 【详解】由题可得. 故选：C. 2. 已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加法法则可判断A、B；由数量积的运算判断C、D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 3. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，再根据诱导公式将原式化简代入计算即得. 【详解】由三角函数定义知， 根据诱导公式可得. 故选： 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D；根据时，由的取值情况排除A，B. 【详解】，其定义域为. 对于任意. 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D选项； 当时，，所以，则； 当时，，所以，则，故排除B选项； 当时，，所以排除选项A. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， . 6. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系及降幂公式计算即可得解. 【详解】， 又，则， 即，整理得， 故，故A正确、C错误； 则，整理得， 故B、D错误. 8. 已知函数，，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件平面建系设出、、并判断所在象限，再用辅助角公式化简并结合所在象限求解即可. 【详解】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，由函数可知． 不妨设，，，， 所以，，所以 所以， 则有， 因为，所以， 所以，可得， 所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 下列说法中正确的说法为（ ） A. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线性运算法则，分析可判断A的正误；根据诱导公式及两角差的余弦公式，整理计算，可判断B的正误；根据向量运算法则及数量积公式，可判断C的正误；根据平移的原则，可判断D的正误. 【详解】选项A：对，移项得 ，即， 变形得，说明与共线且有公共点，故三点共线，A正确. 选项B：由诱导公式得 ， 原式可化为 ， 由余弦和角公式得，B正确. 选项C：对 ，两边平方得， 化简得 ，即夹角满足，，故与共线且反向，C正确. 选项D：将向左平移单位，将替换为，得 ，D错误. 10. 如图，在边长为2的正方形中，为以为圆心、为半径的圆弧（包含，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为4 D. 过作交于，则的最大值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】以A为原点建系，求得各点坐标，设，可得点P坐标，根据向量运算法则，可得x，y的表达式，根据三角函数的性质，判断AB；利用向量的坐标运算及正弦函数的性质判断C；利用向量的坐标运算及二次函数的性质判断D. 【详解】以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，设，则， 由，得， 所以，则， 选项A、B：， 由，得， 所以时，的最大值为，故A正确； 当或时，的最小值为1，故B错误； 选项C：， 当时，的最大值为4，故C正确； 选项D：由题意， 所以 令，， 所以当时，有最大值5，则的最大值为5，故D正确. 11. 已知在中，.设函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 在区间上有且仅有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据求出；B、D利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质判断；C计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 则在中，，故A正确； ， 若，则， 因为正弦函数在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 若，则， 因为正弦函数在上存在个零点， 所以在区间上有且仅有2个零点，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确但填在答题卡中的横线上） 12. 已知向量，不共线，实数x，y满足，则_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据向量在同一组的基底下的表示唯一，即可列方程求解. 【详解】由可得，解得 所以， 故答案为：9 13. 已知，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再结合角的范围及同角公式求解. 【详解】由及，得， 由，得，而，则， 由，，得. 故答案为： 14. 已知对恒成立，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为：6 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求与的夹角的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由，， 则，因为， 所以，解得，则， 所以， 因为，所以. 16. 如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. （1）当时，求的值； （2）当时，若为线段上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得，则为等边三角形，取BC中点O，连接AO，求出AO的长，根据向量线性运算法则，即可求得答案. （2）设，根据线性运算法则，可得，的表达式，根据数量积公式及运算律，整理化简，结合二次函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 解得，因为，所以，则为等边三角形， 取BC中点O，连接AO，则， 所以. 【小问2详解】 当时， ， 设，则， 又， 所以 ， 所以当时，有最小值. 17. 设向量，（，）函数，. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调增，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求出的解析式. 条件①：； 条件②：在区间上单调减. （3）在（2）的条件下，若锐角满足，求的值. 【答案】（1）； （2）选条件②，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变形化简得，再代值求即可； （2）由，则不存在，故选条件②，由单调性可知时取最小值，再代入结合求参数即可； （3）由题可知，再得到，根据，结合二倍角及正弦和角公式求解． 【小问1详解】 ， 若，则有，因为，则； 【小问2详解】 由（1）知，则不存在， 故选条件②，则可知时取最小值，故有， 即，即， 又由得，即， 解得，，所以； 【小问3详解】 由得，因为是锐角，所以， 因此，所以， 所以 . 18. 已知函数. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）已知函数的最小值为1，求的值； （3）若，且，，求，的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦，二倍角的余弦，辅助角公式结合正弦函数的对称轴方程可得； （2）结合二次函数和诱导公式讨论对称轴的范围可得； （3）由两角差的余弦和二倍角的余弦公式结合题意可得. 【小问1详解】 ， 令. 【小问2详解】 ， 令，则 ， 对称轴，开口向上， 当时，最小值为 ，舍去； 当时，最小值 ，负值舍去； 综上. 【小问3详解】 ， ， 令， 则，即， 即，① 因为，所以 ，即得 ， 又因 ，所以，即，因，故， 代入①可得 ，解得， 又，所以，即，故. 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求； （2）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若，的根从小到大依次为，求； ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，结合向量的运算公式，即可求解； （2）①求得，得到，转化为的根，画出两个函数的图象，得到一个周期内方程根的个数为3，进而得到答案；②令，得到，根据，得到，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：因为向量，所以， 又因为，为单位向量，且夹角为，可得，， 所以，所以. 【小问2详解】 解：①因为向量，，所以，， 所以， 化简得， 又因为的斜坐标分别为和， 可得 所以， 则方程的根等价于的根， 如图所示，在和的一个周期内，方程根的个数为3， 因为，则当，根的个数； ②，理由如下： 令，，则， 又因为，，所以， 又因为，所以，由零点存在定理可得， 由①可知在上单调递减， 所以，即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $