精品解析：江西抚州市金金溪县第一中学2025-2026年度高一下学期期中阶段性数学作业

2025–2026学年下学期高一数学阶段性作业 命题：章建 审核：毛小勇 说明：1.试卷共4页，19小题，共150分； 2.本试卷为试题和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试卷上作答不得分． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各角的终边与的终边重合的是（ ） A. 190° B. C. 1490° D. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 3. 若 ，，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，若，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，下列叙述错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 6. 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，均为非零向量，则下列叙述错误的是（ ） A. B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，此三角形有两解，则； B. 已知力作用于一物体，使物体从点移动到点，则力对物体所做的功为J； C. 若向量，，则在的方向上的投影数量为； D. 在中，，，，则的面积． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上单调递增 C. 的值域是 D. 直线是的对称轴 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______； 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则取值范围是______； 14. 若内一点P，满足，称点P为的布洛卡点，β为的布洛卡角．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，β为的布洛卡角，P为的布洛卡点，若，，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，． （1）求； （2）求． 16. 如图，在等腰梯形中，，，与相交于点，过点作直线，分别交延长线上于点，交于点，，，，． （1）求，，，的值； （2）求的最小值． 17. 在中国的传统节目里，舞龙是具有一个代表性的，舞龙表演时龙身上下起伏可以近似看作由函数 的图象组成，其中，，．下面是该函数的部分图象． （1）求的解析式，并求其对称中心及单调增区间； （2）令，对，都存在，使得 ，求的取值范围． 18. 在锐角三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，的面积为． （1）求角的大小及边的最小值； （2）设点D是边BC上一点，且，求线段AD长的取值范围． 19. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． （1）若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； （2）当，求与的夹角β的余弦值； （3）设，对任意实数t， 恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年下学期高一数学阶段性作业 命题：章建 审核：毛小勇 说明：1.试卷共4页，19小题，共150分； 2.本试卷为试题和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试卷上作答不得分． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各角的终边与的终边重合的是（ ） A. 190° B. C. 1490° D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角的定义求解即可. 【详解】终边与的终边重合的角为 . 因为，又，故1490°与的终边相同，所以C正确. 对于其它选项，，均不符合. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算化简即可. 【详解】. 3. 若，，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式、诱导公式、和差的余弦公式进行计算即可. 【详解】若，，则. 所以，所以A错误； ，所以B错误； ，所以C错误； ，所以D正确. 4. 已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，若，，，则a，b，c大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数性质和单调性比较函数值大小. 【详解】是上的偶函数，故，又在单调递减， ，得. ，得. ，得. 由，在单调递减， 可得：， 即. 5. 已知向量，，下列叙述错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数乘及减法运算的坐标表示判断A；根据向量垂直的坐标表示判断B；根据向量平行的坐标表示判断C；根据投影向量的计算公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，A正确. 对于B：， 若，则 ，即 ， 整理得，解得，B正确. 对于C：若，则 ，即，解得，C正确. 对于D：若，则， 则在上的投影向量为，D错误. 6. 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，采用逆变换法求出的解析式，结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】根据逆变换法，将的图象向左平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到. . 7. 已知，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简 ，问题转化为方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围． 【详解】 . 函数在上有且只有两个零点，可以转化为方程在区间上有且仅有两个不相等的实根， 令，因为，则. 结合的图象可知，若在有且仅有两个不相等的实根， 则，解得. 故的取值范围是. 8. 在中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式化简等式得到，由二倍角公式及和差化积公式得到，结合三角形中角的范围得到，即，然后利用换元法结合辅助角公式和二次函数的性质以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】由，得， 则，即. 又，， 所以， 则， 在中，，，则，所以， 所以，故. 所以，且. . 令，则，所以. 又，则，所以. 所以. 令，则该函数在上单调递增， 当时，； 当时，； 所以，即. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，均为非零向量，则下列叙述错误的是（ ） A. B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助平面向量定义、数量积公式、模长与数量积关系逐项判断即可得. 【详解】对A：向量方向与相同，向量方向与相同，故A错误； 对B：若且，则或，故B错误； 对C：若，则 ， 则当与垂直时，也成立，故C错误； 对D：由，则， 即有， 则，故，故D正确. 10. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，此三角形有两解，则； B. 已知力作用于一物体，使物体从点移动到点，则力对物体所做的功为J； C. 若向量，，则在的方向上的投影数量为； D. 在中，，，，则的面积． 【答案】CD 【解析】 【分析】对A：由题意可得，解出即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助投影数量定义计算即可得；对D：计算出各边长后，利用勾股定理的逆定理可得，即可得其面积. 【详解】对A：由题意可得，即，故A错误； 对B： ，即力对物体所做的功为J，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，，， 则，，， 有，故，故，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上单调递增 C. 的值域是 D. 直线是的对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：计算可得，即可得解；对B：分别判断函数、以及在上的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算可得，即可得解. 【详解】对A： ， 故是的一个周期，故A正确； 对B：当时，， 由在上单调递减且小于， 则在上单调递增； 当时，， 由在上单调递增且大于， 则在上单调递增； 当时，， 由在上单调递减且小于， 故在上单调递增； 综上可得：在上单调递增，故B正确； 对C： ， 故的值域不为，故C错误； 对D： ， 故直线是的对称轴，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______； 【答案】## 【解析】 【分析】借助诱导公式与两角差的余弦公式计算即可得. 【详解】，， 故 . 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】与的夹角为锐角的充要条件是，与的数量积大于0且不共线，由此列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，，即，解得， 即且. 所以取值范围是. 14. 若内一点P，满足，称点P为的布洛卡点，β为的布洛卡角．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，β为的布洛卡角，P为的布洛卡点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由为等腰三角形，结合布洛卡角的等角条件，推导三个小三角形的内角关系，结合正弦定理和已知的线段比例，得到的关系，进而利用三角形内角和找到与内角的关系，利用三角恒等变换公式计算. 【详解】设，由，得，. 已知，即中，，且. 在中由正弦定理可得： . 在中，， 由正弦定理得：. 同理在中，，得：. 由，可得，整理得. 又，故， 代入得：，，故，即， 所以，. 由，可得：， 即， 代入： ， 由，为锐角， 可得：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得. 【小问1详解】 ∵，，∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，，∴， ∵，∴， ∴ ． 16. 如图，在等腰梯形中，，，与相交于点，过点作直线，分别交延长线上于点，交于点，，，，． （1）求，，，的值； （2）求的最小值． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据用基底表示向量及向量相等求解即可. （2）用，表示出，由，，三点共线，得到，结合基本不等式，求解即可. 【小问1详解】 因为，，与相交于点，所以， 所以，所以，， ，所以，． 【小问2详解】 因为，，， 所以，且，. 又，，三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，取，时，等号成立. 所以的最小值为． 17. 在中国的传统节目里，舞龙是具有一个代表性的，舞龙表演时龙身上下起伏可以近似看作由函数的图象组成，其中，，．下面是该函数的部分图象． （1）求的解析式，并求其对称中心及单调增区间； （2）令，对，都存在，使得 ，求的取值范围． 【答案】（1），对称中心为，，单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得与周期，从而可求得，，，利用待定系数法结合求出，进而求出，结合正弦型函数的性质可得对称中心及单调区间. （2）求出，分别求出和的范围，再根据题意可得的范围是的范围的子集，进而可得出答案. 【小问1详解】 由图像可知，，解得， 又，所以，又，，所以， 所以， 将代入得 ，即， 所以，，解得，， 又，所以，故. 令，，解得，，所以对称中心为，. 令，，解得，， 单调增区间为． 【小问2详解】 ， 又，则，所以. 又，则，所以. 由 ，得，即， 所以，即，解得. 故的取值范围为． 18. 在锐角三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，的面积为． （1）求角的大小及边的最小值； （2）设点D是边BC上一点，且，求线段AD长的取值范围． 【答案】（1），最小值． （2）． 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算可得，再利用余弦定理与基本不等式计算即可得的最小值； （2）利用锐角三角形三边关系结合余弦定理可得的范围，再借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得解. 【小问1详解】 由可得， 则， 又 ,故， 由，则， ，则， 由余弦定理得， 当且仅当时．取得最小值； 【小问2详解】 因为，则， 故， 在锐角三角形中，有，代入， 可得，故， 令，则函数在上单调递增， 所以，故， 即线段的长度取值范围． 19. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． （1）若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； （2）当，求与的夹角β的余弦值； （3）设，对任意实数t， 恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 【答案】（1）仿射坐标，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的三角形法则和坐标表示计算即可. （2）根据向量的数量积定义和向量的模的公式以及向量夹角的余弦公式计算即可. （3）根据向量的模的公式化简不等式，然后根据二次函数的性质和向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 ，仿射坐标， ， 即 或， 或， 所以或， 或，， 所以，为“完美向量”. 【小问2详解】 ，， ，， ， ， ． 【小问3详解】 ， 由得 ， ， 得到 ， 对任意恒成立．因为，所以， ，，所以， ， 令， 因为，所以，， 所以的最大值为，当且仅当时，取等号． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $