精品解析：广东江门市第一中学景贤学校2025-2026学年度第二学期期中考试试题 八年级 数学

景贤学校2025～2026学年度第二学期期中考试试题八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，，． B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 8，13，17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，掌握运用勾股定理逆定理判定直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则不能组成直角三角形，不符合题意； B．由则2，3，4不能组成直角三角形，不符合题意； C．由，则5，12，13能组成直角三角形，符合题意； D．由，则8，13，17不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，进而求出的度数即可． 【详解】解：根据正五边形的性质得，， ∵， ∴． 4. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减，二次根式的性质，二次根式的乘法，积的乘方，根据二次根式加减，二次根式的性质，二次根式的乘法，积的乘方法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 6. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 7. 如图，在中，平分交边于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，由四边形是平行四边形，则，，故有，然后通过角平分线定义可得，所以，从而求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了主要考查了菱形的性质和直角三角形的性质，由菱形的性质可得，由可得E是的中点，再用直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出吸管在罐内长度的最大值和最小值，然后求出在罐外部分的最大值和最小值即可． 【详解】解：当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高， 即； ∴此时， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， 此时， ∴此时， ∴． 10. 如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，下列结论中，正确的结论是（ ） ①；②；③四边形的面积总等于；④的最小值为；⑤． A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，由正方形的性质得到，，再证明，即可证明得到，，则可证明，据此可判断①②③；在中，由勾股定理得，则当时，最小，此时，，即，故④错误；由全等三角形的性质得到，则，在中，由勾股定理得，则，故⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，是对角线、的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， ∴此时， ∴，即，故④错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故⑤正确； 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x﹣8≥0， 解得：x≥8 故答案为x≥8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键. 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由n为正整数，也是正整数，知3n是一个完全平方数，从而得出结果． 【详解】解：n为正整数，也是正整数， 则3n是一个完全平方数， 所以n的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数． 13. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 15. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，，，证明，得出，同理得出，求出，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，数形结合． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，一块四边形的空地米，米，米，米． （1）连接，试判断的形状并说明理由； （2）为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，则此块空地的面积是多少平方米？ 【答案】（1）直角三角形 （2）234 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中，根据勾股定理得的长，在中，勾股定理逆定理可得是直角三角形； （2）根据求出四边形的面积即可 【小问1详解】 解：在中，，由勾股定理得：， ， ， （舍负）， ， ， ， 是直角三角形，即； 【小问2详解】 解： （平方米）． 答：此块空地的面积是234平方米． 18. 某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】（1）米 （2）3080元 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【小问1详解】 解：(米）， ∴长方形的周长为米． 【小问2详解】 解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 19. 如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米 （2）4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为米． 【小问2详解】 解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： （1）①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． （2）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】（1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【操作发现】如图，等腰三角形中，已知，，作的外角平分线，点E从点B沿着射线以每秒2个单位的速度运动，过点E作交于点F． （1）【问题证明】证明：四边形是平行四边形； （2）当点E是边的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）【深入探究】设点E运动时间为t秒，当_____时，以的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形.（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形；理由见解析 （3）或5或2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线定义得出，等量代换得出，根据平行线的判定得出，最后根据平行四边形的判定，得出答案即可； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再证明四边形为平行四边形，最后根据，得出四边形是矩形； （3）分三种情况：以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 证明：如图1，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由是： 如图2，∵E是的中点，， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：①以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3， ∴，即， 解得：； ②以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作于D， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 即， 解得：； ③以和两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5， 根据解析（1）可得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴此时E与A重合， ∴； 综上，t的值为秒或5秒或2秒． 23. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 【答案】（1）①；②见解析；（2）不变，；（3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质结合角平分线的定义求出，即可解答；②求出，由①知，易证，再证明，进而证明，推出四边形是平行四边形，，即可证明结论； （2）在上截取，连接．由（1）同理可得．证明出，得到，即可得解； （3）过D作交的延长线于点H，连接、．由（2）知，则点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，当与相等时，即A、D、P三点共线，即可求解． 【详解】解：（1）①∵正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴时，需先求得二者度数均为； ②∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）不变，， 如图，在上截取，连接， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3）如图，过D作交的延长线于点H，连接、． 由（2）知：， ∴点P在与成的直线上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称，， ∴， ∴， 当A、P、H三点共线时，即最短， 此时， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景贤学校2025～2026学年度第二学期期中考试试题八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，，． B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 8，13，17 3. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分交边于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，下列结论中，正确的结论是（ ） ①；②；③四边形的面积总等于；④的最小值为；⑤． A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 13. 如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 14. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 15. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，一块四边形的空地米，米，米，米． （1）连接，试判断的形状并说明理由； （2）为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，则此块空地的面积是多少平方米？ 18. 某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 19. 如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 20. 风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： （1）①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． （2）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【操作发现】如图，等腰三角形中，已知，，作的外角平分线，点E从点B沿着射线以每秒2个单位的速度运动，过点E作交于点F． （1）【问题证明】证明：四边形是平行四边形； （2）当点E是边的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）【深入探究】设点E运动时间为t秒，当_____时，以的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形.（直接写出答案）． 23. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $