精品解析：广东江门第二中学2025—2026学年下学期期中考试 八年级数学试题（

江门二中2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学试题（120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 4. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A. 75° B. 60° C. 54° D. 67.5° 5. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 的三条边分别为、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 7. 设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（ ） A. B. C. k D. 8. 如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 9. 如图，将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长为，则的值不可能是（ ） A. 5 B. C. D. 10. 如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，化简______． 12. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 13. 直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是________． 14. 已知|a﹣2007|+=a，则a﹣20072的值是_____． 15. 如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算． 17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 18. 已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点在该函数图象上，直接写出与的大小关系． 三、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在轴上，直线AC的解析式为． （1）求出n的值； （2）求直线AC的解析式； （3）根据图象，写出的解集． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 21. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图，在数轴上分别找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点（点在点的右侧）表示的数是_______； （2）应用场景——解决实际问题． 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． 求秋千的长度； 如果将秋千往前推送米，求此时踏板离地的垂直高度为多少米？ 三、解答题三（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如：，则．进一步化简双重二次根式，如． 材料二：在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 根据材料解决下列问题： （1）点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； （2）化简：； （3）已知a为常数（），点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 23. 综合与探究 在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足． （1）矩形的顶点的坐标是_________； （2）若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学试题（120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟记其定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式”，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：∵A、==，被开方数含分母，不满足最简二次根式定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、==，被开方数含能开得尽方的因数，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、=，被开方数含分母，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用二次根式的运算方法进行逐一计算、辨别． 【详解】A选项：，故A选项计算正确； B选项：，故B选项计算正确； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的运算能力，关键是能准确运用计算法则进行计算． 3. 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 4. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　） A. 75° B. 60° C. 54° D. 67.5° 【答案】B 【解析】 【详解】如图，连接BD， 由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC， ∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°， ∵∠BCM=∠BCD=45°， ∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°， ∴∠AMB=180°-∠BMC=60°， ∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上， ∴BM=DM， ∴∠AMD=∠AMB=60°， 故选B． 5. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 作于点D，作于点E，作于点F，证明得，同理可证，从而，进而可求出点B 的坐标为． 【详解】解：如图，作于点D，作于点E，作于点F， ∴， ∴． ∵点C的坐标为， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可证，， ∴， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B 的坐标为． 故选B． 6. 的三条边分别为、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】依据勾股定理逆定理（若三角形三边满足 ，则以、、为边的三角形是直角三角形 ）和三角形内角和定理（三角形内角和为 ），对每个选项逐一分析，判断是否能得出三角形为直角三角形．本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理的内容及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】选项A：由 ，整理得 ，符合勾股定理逆定理，说明边 对应的角为直角，△ABC 是直角三角形． 选项B：由 ，结合三角形内角和 ，可得 ，因此△ABC 是直角三角形． 选项C：设三个角分别为 、、，则 ，解得 ．最大角为 ，非直角，故△ABC 不是直角三角形． 选项D：验证 ，满足勾股定理逆定理，说明△ABC 是直角三角形． 综上，选项C不能判断△ABC为直角三角形． 故选：C 7. 设，关于x的一次函数，当时y的最大值是（ ） A. B. C. k D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性，解题关键是根据图像情况比较得到的两个值的大小．根据题意得出，则一次函数中随的增大而减小，将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵ 又，则， ∴y随着x增大而减小， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 故选：C． 8. 如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图：连接， 是的中点，， ， 是的中点， ，， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键． 9. 如图，将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设牙刷露在杯子外面的长为，则的值不可能是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短时等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短时等于杯子的高时，， 当杯子中牙刷最长时，， ∴h的取值范围是：， ∵， ∴，即， ∴的值不可能是， 故选：D． 10. 如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．可根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质判定①，再根据直角三角形斜边的中线性质可判断④，连接，交于，利用①中证明方法可证明，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可判断②，可证得，再证明得，再利用三角形的外角性质可证明，可判断③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点、、分别是、、的中点， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在中，是边的中点， ，故④不正确； 连接，交于， 同理可得：， ， ， 垂直平分， ，故②正确； ， 同理：， ， ， ， ， ．故③正确． 正确的结论有：①②③． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 由二次根式的性质化简，再去绝对值即可． 【详解】解：，∵， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1） ∴关于x，y的方程组的解是 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 13. 直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是6，8， ∴第三边长是， 故答案为：． 14. 已知|a﹣2007|+=a，则a﹣20072的值是_____． 【答案】2008 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 【详解】解：∵|a﹣2007|+=a， ∴a≥2008， ∴a﹣2007+=a， ∴=2007，两边同平方，得：a﹣2008=20072， ∴a﹣20072=2008． 故答案为2008． 15. 如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，得出点P的位置是解答本题的关键． 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘除法以及完全平方公式，再去括号计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该婴儿车符合安全标准，见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直．先在中，根据勾股定理求出，再计算与的值，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角． 【详解】解：∵ ∴在中，由勾股定理，得， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴该婴儿车符合安全标准． 18. 已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点在该函数图象上，直接写出与的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法． （1）用待定系数法即可求出答案； （2）由一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴， 当时，， 即， 解得， ∴ 即， ∴y与x之间的函数解析式是； 【小问2详解】 解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又， ∴． 三、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A（6，n）为直线上一点，以OA为边作菱形OABC，点C在轴上，直线AC的解析式为． （1）求出n的值； （2）求直线AC的解析式； （3）根据图象，写出的解集． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）直接把点A坐标代入直线解析式即可求出n的值； （2）求出点C的坐标，再运用待定系数法求解即可； （3）观察图象，可直接得出x的取值范围． 【详解】解：(1)把代入得y=8 ∴n的值为8． （2）过点A作AD⊥OC于点D，由（1）得A（6，8） ∴OD＝6，AD＝8 在Rt△OAD中， OA＝＝＝10 ∵四边形OABC为菱形 ∴OC＝OA＝10 ∴C（10，0） 把A（6，8）、C（10，0）代入函数解析式，得 解得 ∴直线AC的函数解析式为 （3）由图象可得，当x>6时，， 所以，的解集为：x>6 【点睛】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式 ，要熟练掌握相关知识． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 【答案】（1）见解析； （2）18． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形； （2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠BAE=∠FDE， ∵E为线段AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠AEB=∠DEF， ∴≌（ASA）， ∴AB=DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF=90°， ∴四边形ABDF是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形ABDF是矩形， ∴AB=DF=3，∠AFD=90°， ∴在中，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3， ∴CF=CD+DF=3+3=6， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键． 21. 勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图，在数轴上分别找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则该弧与数轴的交点（点在点的右侧）表示的数是_______； （2）应用场景——解决实际问题． 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． 求秋千的长度； 如果将秋千往前推送米，求此时踏板离地的垂直高度为多少米？ 【答案】（1）； （2）秋千的长度是；踏板离地的垂直高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与无理数，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可. （）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论； 由勾股定理得 求得，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是； 在中，，， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即此时踏板离地的垂直高度为． 三、解答题三（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如：，则．进一步化简双重二次根式，如． 材料二：在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 根据材料解决下列问题： （1）点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； （2）化简：； （3）已知a为常数（），点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义填空即可； （2）将原式转化为，结合完全平方公式，以及二次根式的性质即可解答； （3）将转化为，结合的范围求出，然后再根据“横负纵变点”的定义即可知道答案． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴点的“横负纵变点”为； ∵中，， ∴点的“横负纵变点”为； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，点是点M的“横负纵变点”， ∴． 23. 综合与探究 在平面直角坐标系中，矩形的顶点、、的坐标分别为，，，且、满足． （1）矩形的顶点的坐标是_________； （2）若是中点，沿折叠矩形，使点落在点处，折痕为，连接并延长交轴于点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点在轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点，使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）点的坐标为，，，． 【解析】 【分析】（1）由题意可求得和的值，再将其代入的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得，，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点的坐标． 【小问1详解】 解：且， ， ， 点，点， 点， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：是中点， ， 折叠， ，， ， ， ， ， ，且 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：、、、为顶点的四边形是菱形， 分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ，， ， ， ∴，，， 设， ∴， ∵，即 解得：， ∴， ∴， ∴综上可得：点的坐标为，，，． 【点睛】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $