吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年下学期高三年级期中考试数学试卷

“少年何妨梦摘星，敢挽桑弓射玉衡” 2025—2026学年下学期高三年级 期中考试数学学科 时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（    ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】B 3．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 5．已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 6．已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由图知的最小正周期，所以. 又，所以.因为，所以，所以. 7．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C【解析】设，则复数在复平面内对应点的坐标为， 由，得，其表示点到两点的距离之和为，所以点的轨迹是以两点为焦点的椭圆， 其中，所以，所以点的轨迹方程为， 表示点与之间的距离，而， 8．已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C【解析】因为是偶函数，， 所以，即①， 因为是奇函数，所以， 所以，即②， ①+②，并整理得． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【答案】AD 【解析】因为数列为等差数列，则，即， 且，即，可得，所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误；所以，，故C错误，D正确． 10．加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若为正方形，则的边长为 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积的最大值为14 【答案】ACD【解析】对于A，由椭圆的方程知，则， 椭圆的离心率，A正确；对于C，由A知，椭圆对应的蒙日圆方程为，C正确；对于B，由C可知，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，正方形的边长为，B错误； 对于D，设长方形的长和宽分别为长方形的对角线长为椭圆对应蒙日圆的直径，长方形的面积（当且仅当时取等号）， 即长方形的面积的最大值为14，D正确． 11．如图所示，在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线的中点，点M为底面上异于O，A的动点，且，点O在直线上的射影为H，当点M运动时，则有（    ） A．三棱锥体积的最大值为 B．直线与直线不可能垂直 C．点H的轨迹长度为 D．的最大值为 【答案】AC 【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l．由题可知，所以，因为，所以，因为，所以， 对于A，因为平面，平面，则， 又，，平面，故平面， 则三棱锥的体积， 当且仅当时，等号成立．故三棱锥体积的最大值为，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为点O在直线上的射影为，所以， 由，且平面，得平面， 因为平面，则，又，连接，又C为的中点，故， 又，平面，所以平面， 因平面，故，即B不正确；   对于C，由选项B可知平面． 因为平面，平面，所以， 因过点C且与垂直的平面仅有一个， 则H点的轨迹为以为直径的圆(除去两点)． 因为，所以H点的轨迹周长为，故C正确； 对于D，由选项B可知，因，则点M必在圆内， 设，则，，， ，当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，所以，故D错误．故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 13．在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 【答案】15【解析】由题意可知，所以， 又由余弦定理可知， 即，则的周长为. 14．设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 【答案】 【解析】根据题意，，设集合，对于任意，，，现计算此时的最大值. 要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小，所以，则应该是满足的最小整数，故，，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，即，又且， 的最大值为，例如，则k的最小值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【解析】（1）在数列中，，可得，即数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以，即. （2）由（1）得， 所以 16．（15分）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 （1）从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． （2）定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【解析】（1）由表知， 的概率为：, 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以；的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 17．（15分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得，若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为，且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． （3）由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增，∴有在内恒成立， ∴恒成立，即.由（2）可知最大值为，所以. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若F为BC中点． （ⅰ）求异面直线AF与PC的距离； （ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积． 【解析】（1）平面平面，平面平面，， 且平面，则平面，因为平面，则，又，，则，因，平面，则平面， 又平面，故平面平面． （2）（ⅰ）由平面，平面平面，平面，则， 故为的中点，取的中点O，连接，，则平面，因平面，则，，平面，所以平面， 故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x，z轴，过O作的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，，，，，，， ，，设与，向量都垂直，则 令得，， 则异面直线AF，PC的距离． （ⅱ）由底面为正方形，设外接球球心为， 由得，得，则球半径， 由（ⅰ）知平面的法向量为，则球O到平面距离为， 则球O截平面所得圆的半径，则截面圆面积为． 19．（17分）如图，过点的直线与抛物线（）交于，两点，，直线，分别与抛物线的准线交于点，. （1）求抛物线的标准方程； （2）过抛物线的焦点作直线，的垂线，垂足分别为，，证明：直线过定点； （3）是否存在经过点，的圆，与轴的两个交点的横坐标均为整数？若存在，求出这两个交点坐标，若不存在，说明理由. 【解析】（1）设直线的方程为：，联立方程：，得：， 设，，则有：，， ，解得：，所以抛物线的标准方程为：； （2）焦点，直线的方程：， 则直线的方程为：，联立方程：， 解得，同理得：， 当直线斜率不存在时，即点与点重合，不符合题意， 设直线的斜率为，， 则直线的方程为 ， 所以直线过定点； （3）易知，，假设满足条件的圆存在，设其方程为： （）， 将，代入得：，并化简得：， 设圆与轴的两个交点分别为，则有，， 显然s，t为一元二次方程的两根， 则有，，即，， 由于s，t均为整数，解得两交点坐标分别为和，或和. 高三下学期数学学科期中考试 第10页，共10页 高三下学期数学学科期中考试 第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $甜史 “少年何坊芳捕星，散挽暴专射玉街” 2025一2026学年下学期高三年级 2010 期中考试数学学科 长春吉大附中实強学板 时间：120分钟满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形 码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知集合M={x|1<2<8},N={-2,1,2,3},则M∩N=() A.{-2,1,2,3}B.{1,2,3} C.-2,1} D.{1,2} 2.样本数据8,6,8,7,9,9,10,11的中位数是() A.8 B.8.5 C.9 D.9.5 3.已知a,b为实数，则“a<b<0”是“ab<a2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知二项式(2x-1)”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为() A.4 B.5 C.6 D.7 高三年级期中考试数学 5.已知心，B,”是三个不同的平面，，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是() A.若a⊥y,B⊥y,则a∥B B.若a⊥a,b⊥，则a∥b C.若a∥a,bca,则a∥b D.若a∥a,a∥B,则a∥B 6.己知函数f(w)=an(ox+p(w>0,1pk)的部分图象如图所示，则op=() VA πO 3 3 A. B君 π C.- 3 D. 6 7.已知复数z满足z-+3+=4,则z|的最小值为() A.1 B.√2 C.5 D.2 8.已知定义域为R的函数f)满足f)+sm为偶函数，f)-1og,(乐+)为奇函数，则f兮= () 1 A.2-l0g;2 B.1 C.-log;2 2 D.log,2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，d为公差，且S<0,S,>0,则下列说法正确的是() A.d>0 B.当n=8时，Sn取最小值 C.a<0 D.a,>0 学科试卷第1页共3页 10.加斯帕尔·蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条 互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所 示，当椭圆方程为。+广☑>b>0)时，蒙日圆方程为x+y口+，已如矩形G的四边 贿圆M:,+3=1相切，则下列说法正确的是( A.椭圆M的离心率为。 B.若G为正方形，则G的边长为2√5 C.椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2=7 D.矩形G的面积的最大值为14 11,如图所示，在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰 直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上异于O,A的动点，且OM⊥AM,点O在直线PM 上的射影为H,当点M运动时，则有() A -:3B 三棱锥O-APM体积的最大值为 B.直线PA与直线CH不可能垂直 C.点H的轨迹长度为√2π D.AH+HO的最大值为2W2 高三年级期中考试数学 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若a,b都是单位向量，a.b=0,则向量b与a-b的夹角大小为 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=2,a=7,BC边上的高 3 AD5,则△ABC的周长为 14.设集合M={x1≤x≤100，x∈N},若对于满足A∈M的任意k个元素的集合 A=a,4,,a},都存在4，a,∈A≠》使得g∈日，3引，则k的最小值是」 a. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(《I3分)已知数列a}的首项4分且满足a3aeN. 3an+1 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列{b}满足b.=aan+1,求{b}的前n项和Sn. 16.(15分)某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示. 学习强度指数Q Q≤20 20<2<80 Q≥80 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数Q<80的人数为X,求P(X=)及X 的数学期望： (2)定 PM为在事件M发生的条件下事件N发生的优势.记事件A=“该学生学习有 P(NM) 压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件B=“该 学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势. 学科试卷第2页共3页 17.(15分)已知函数f(x)=nx-ax(a∈R). 19.(17分)如图，过点P(-2,0)的直线1与抛物线y2=2x(p>0)交于A,B两点，OA.OB=12, (1)求函数f(x)的单调区间： 直线OA,OB分别与抛物线的准线交于点M,N. (2)若函数f(x)在1，e2]上有且仅有2个零点，求a的取值范围： (1)求抛物线的标准方程； (3)对任意x∈(0，+o),f(x)<e“-x恒成立，求a的取值范围. (2)过抛物线的焦点F作直线OA,OB的垂线，垂足分别为C,D,证明：直线CD过定点： (3)是否存在经过点M,N的圆，与x轴的两个交点的横坐标均为整数？若存在，求出这两 个交点坐标，若不存在，说明理由 B D N OF M 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB 是边长为2√5的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点. (1)证明：平面AEF⊥平面PBC: (2)若F为BC中点 (i)求异面直线AF与PC的距离： (i)求四棱锥P-ABCD的外接球被△AEF所在的平面截得的圆的面积。 高三年级期中考试数学学科试卷第3页共3页