精品解析：吉林省友好学校2024-2025学年高三下学期4月期中l 联考数学试题

友好学校第七十九届期中联考 高三数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码贴在条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔记清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程解法求得集合，再根据交集的定义即可求解． 【详解】由题得，，所以， 故选：D． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可. 【详解】因，，则， 则，. 故选：D. 3. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 4. 已知向量满足，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由坐标计算向量的模结合数量积的定义计算即可. 【详解】由题意可得， 设向量，的夹角为， 因为，即， 解得，所以向量，的夹角为. 故选：C 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）（ ） A. 8点 B. 9点 C. 10点 D. 11点 【答案】C 【解析】 【分析】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则，由对数运算性质解不等式即可得出答案. 【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾， 则，即，， 则， ，次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾. 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法，结合两角和的余弦公式、二倍角公式求得正确答案. 【详解】由两边平方得①， 由两边平方得②， 由①②两式相加并化简得， 所以. 故选：C 7. 在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为： ， 故选：D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性进而可以即可求解. 【详解】设函数，定义域为，则， 因为当时，，所以当时，， ∴在上单调递增， ∵函数是定义在上的奇函数，， ∴， ∴函数是定义域为的偶函数， ∴的单调递减区间为， ∵，∴，， 当时，等价为，即，解得， 当时，等价为，即，解得， 当时，不符合题意， 综上不等式的解集是， 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分.） 9. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史､关键技术及其在科学研究､社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计准确率的分位数为 C. 估计准确率的平均数为 D. 估计准确率的中位数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积和为，可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图可得，解得，A对； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 所以估计准确率的分位数为，B对； 对于C选项，估计准确率的平均数为，C错； 对于D选项，设中位数为，前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为，D对. 故选：ABD. 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解. 【详解】依题意，由图象可知，，则，故A正确； 因为，所以，则，所以， 因为的图象过点，所以， 则，即， 又，则，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象， 纵坐标变为原来的2倍，得到的图象， 向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确； 因为，故C错误； 令，解得， 所以的单调递减区间是，，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. B. 以为直径的圆与x轴相切 C. F的坐标为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标即可判断C；由焦半径的公式求出即可判断A；求出点的坐标，即可判断B，D； 【详解】抛物线的焦点为，故C错误； 点在抛物线C上，若， 则，所以，故A正确； 代入，得，故或 所以，故D错误； 所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为， 所以圆心为：或到x轴的距离为：等于圆的半径， 故以为直径的圆与x轴相切，故B正确； 故选：AB 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得  ，即， 化简，得 ． 因为，所以，解得 所以 ， 故答案为：. 13. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出，再利用赋值法求出，根据二项式通项公式的展开式求出常数项，即可； 【详解】由于的展开式的二项式系数和为64， 即， 解得． 又由于的展开式系数和为729，令得，即， 解得或（舍去）， 的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 又，， 故答案为：240 14. 已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需与有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，利用数形结合即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 由，可得， 要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反， 由得，，所以， 由题意可知与有两个不同的交点， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，， 作出图形如图所示： 由图象可得实数a的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求边上的高. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角. （2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理，得，又，所以， 所以， 整理，得，即， 又，所以， 所以，故. 【小问2详解】 由的面积为，得，所以. 由余弦定理，得， 所以， 设边上的高， 由，解得. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是中点，所以， 因为平面，且， 所以平面. 【小问2详解】 因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以. ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. （1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； （2）求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； （3）已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，20 【解析】 【分析】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，根据条件即可求解； （2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题，根据条件求解即可； （3）由题的可能取值有，分别求出相应取值的概率，即可得出答案. 【小问1详解】 选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，其概率为： 【小问2详解】 选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题.故概率为： 【小问3详解】 的可能取值有， ， ， ， 所以分布列为： 0 20 40 60 80 所以. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 19. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)①以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点；②假设存在点，利用点在双曲线上，再结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． 小问2详解】 ①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 友好学校第七十九届期中联考 高三数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码贴在条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔记清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，，，则向量，的夹角为（ ） A B. C. D. 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）（ ） A. 8点 B. 9点 C. 10点 D. 11点 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分.） 9. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史､关键技术及其在科学研究､社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计准确率的分位数为 C. 估计准确率的平均数为 D. 估计准确率的中位数为 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 11. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. B. 以为直径的圆与x轴相切 C. F的坐标为 D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则_______. 13. 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为_______. 14. 已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求边上的高. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是. （1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率； （2）求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； （3）已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值. 18 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． 19. 已知双曲线离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$