6.1.3 共面向量定理课件- 2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.1 空间向量及其运算 6.1.3 共面向量定理 1 【课标要求】 1.了解向量共面的含义. 2.理解共面向量定理. 3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.共面向量 一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 名师点睛 （1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量,还包括平行于同一平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面了. 4 知识点2.共面向量定理 如果两个向量,不共线,那么向量与向量, 共面的充要条件是存在有序实数组 ,使得 . 这就是说,向量可以由两个不共线的向量, 线性表示. 名师点睛 （1）向量与向量,共面的充要条件是在与不共线的前提下才能成立的,若 与 共线,则不成立. （2）三个向量共面,又称这三个向量线性相关；若三个向量不共面,则称这三个向 量线性无关. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】共面向量的概念 例1 在平行六面体中,向量,, 是( ) C A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量 7 [解析] 如图所示， 向量,, 显然不是有相同起点的向量,A不正确； 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是模相等的向量,B不正确; 又因为,所以,, 共面,C正确,D不正确.故选C. 题后反思 若,不共线且同在平面 内,则与,共面的意义是在 内或 . 8 跟踪训练1 （多选题）下列说法错误的有( ) ACD A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面,即它们所在的直线共面 D.若与,共面,则存在实数,,使 9 【题型二】共面向量定理 例2（1） 已知,是空间两个不共线的向量, ,那么必有( ) C A.,共线 B., 共线 C.,,共面 D.,, 不共面 [解析] 由共面向量定理知,,, 共面. 10 （2）如图所示,已知斜三棱柱,设, , ,在和上分别取点,,使 , .求证:平面 . 证明 , , . 又与不共线,根据共面向量定理,知,, 共面. 不在平面 内, 平面 . 题后反思 如果两个向量,不共线,则向量与向量, 共面的充要条件是存在有序实数 组,使.在判定空间的三个向量共面时,注意“两个向量, 不共线”的要求. 11 跟踪训练2 已知为矩形所在平面外一点,且, , ,,求证:平面 . 证明 如图, 设,,,则 . 12 由题意知 , , 因此 . 又与不共线,所以,, 共面. 又不在平面内,所以平面 . 【题型三】空间四点共面的条件 例3（1） （多选题）对空间任一点和不共线的三点,,,一定能得到,,, 四点 共面的有( ) BC A. B. C. D. 14 [解析] A选项,,当不在平面 内时,不能转化成 的形式,故A不符合题意; B选项,, , ,,, ,A,B, C共面,故B符合题意; C选项, , , , 15 ,A,B,C四点共面,故C符合题意; D选项,,当不在平面内时,无法转化成 的 形式,故D不符合题意. （2）如图,在长方体中,为 的中点,点 在上,且,求证:,,, 四点共面. 证明 设,,,则 . 为线段的中点, . 又 , , , ,, 为共面向量. 又三个向量有相同的起点 , ,,, 四点共面. 17 规律方法 解决向量共面问题的策略 （1）若已知点在平面内,则有 或 ,然后利用指定向量表示出已知向 量,用待定系数法求出参数. （2）证明三个向量共面（或四点共面）,需利用共面向量定理,证明过程中要灵活 进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个不共线的向量表示. 18 跟踪训练3 已知,,,分别是空间四边形的边,,, 的中点,求证: 证明 如图,连接, . （1）,,, 四点共面; 因为 ,由向量共面的 充要条件知向量,,共面,即,,, 四点共面. 19 （2）平面 . 证明 因为 , 所以.又 平面, 平面 , 所以平面 . 20 $