6.1.3 共面向量定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.1　空间向量及其运算 6.1.3　共面向量定理 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解向量共面的含义,理解共面向量定理.　2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题. [素养目标]　水平一:1.共面向量定理.(数学抽象)　2.应用共面定理解决共面问题.(数学抽象) 水平二:运用共面向量定理解决空间中的共面问题.(数学建模) 学习引语 在平面向量中,向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa.那么,空间中任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时,它们之间存在怎样的关系呢? 探究活动1　共面向量 内容索引 探究活动2　共面向量定理 课时作业 巩固提升 探究活动3　空间四点共面的条件 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　共面向量 问题　如图,在长方体中,向量a,b,p与平面ABCD有怎样的位置关系? 提示　向量a,b与平面ABCD平行,向量p在平面ABCD内. 一般地,能平移到　　　　　内的向量叫作共面向量.显然,任意两个空间向量都是　　　　　　.  知识生成 同一平面 共面向量 [例1]　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是(　　) A.有相同起点的向量　　　 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 知识应用 C [解析]　如图所示.向量,,不是有相同起点的向量,故A错误;三个向量的模不一定相等,故B错误;又在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,而线段D1A,D1C,AC构成△D1AC的三个边,故向量,,是共面向量,故C正确,D错误. 若a,b不共线且同在平面α内,则p与a,b共面的意义是p在平面α内或p∥平面α.　 反思感悟 1.(多选)下列说法错误的是(　 　) A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面,即它们所在的直线共面 D.若三个向量两两共面,则这三个向量一定也共面 跟踪训练 ACD 探究活动2　共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示. 知识生成 [例2]　已知A, B, C三点不共线,平面ABC外一点M满足=++. (1)判断, , 三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 知识应用 [解]　(1) 因为++=3, 所以-=(-)+(-), 所以=+=--, 所以向量, , 共面. (2)由(1)知向量, , 共面,而它们有共同的起点M,且A, B, C三点不共线,所以点M, A, B, C共面,即点M在平面ABC内. [例3]　如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,设=a,=b,=c,在面对角线AC1和棱BC上分别取点M,N,使=k,=k(0≤k≤1).求证:MN∥平面ABB1A1. [证明]　=k=k(+)=kb+kc, 又=+=a+k=a+k(b-a) =(1-k)a+kb, ∴=-=(1-k)a+kb-kb-kc =(1-k)a-kc, 又与不共线,根据共面向量定理可知,,,共面, ∵MN⊄平面ABB1A1, ∴MN∥平面ABB1A1. 如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb.在判断空间的三个向量共面时,注意“两个向量a,b不共线”的要求.　 反思感悟 2.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,E是PD的中点,求证:PB∥平面AEC. 证明:因为底面ABCD是菱形,所以=. 又因为E是PD的中点,所以=2,所以=++=2++=(+)+(+)=+. 又因为与不共线,所以, , 共面. 而PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC. 跟踪训练 探究活动3　空间四点共面的条件 问题　对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式=x+y+z,则点P在平面ABC内的充要条件是什么? 提示　x+y+z=1. 若空间任意无三点共线的四点,对于空间任一点O,存在实数x,y,z使得=x+y+z,且x,y,z满足　　　　　　　,则A,B,C,D四点共面.  知识生成 x+y+z=1 [例4]　(多选)对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是(　　) A.=++ B.=++ C.=++ D.=2-- 知识应用 BC [解析]　法一:A选项,=++,不能转化成=x+y的形式,∴A不正确; B选项,∵=++,∴3=++,∴-=(-)+(-),∴=+,∴=--,∴P,A,B,C四点共面,故B正确; C选项,=++=+(+) +(+)=++. ∴-=+, ∴=+, 由共面的充要条件知P,A,B,C四点共面,故C正确; D选项,=2--,不能转化成=x+y的形式,∴D项不正确. 法二:当点P与A,B,C共面时,对空间任意一点O,都有=x+y+z,且x+y+z=1,可判断出只有选项B,C符合要求. [例5]　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面. [证明]　设=a,=b,=c, 则=b-a, ∵M为线段DD1的中点,∴=c-a, 又AN∶NC=2∶1,∴==(b+c), ∴=-=(b+c)-a =(b-a)+=+, 由向量共面的充要条件知,,为共面向量.又三向量有相同的起点A1, ∴A1,B,N,M四点共面. 解决向量共面问题的策略 1.若已知点P在平面ABC内,则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数. 2.证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示.　 反思感悟 3.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证: (1)E,F,G,H四点共面. (2)BD∥平面EFGH. 跟踪训练 证明:如图,连接EG,BG. (1)因为=+=+(+)=++=+,由向量共面的充要条件知向量,,共面,又,,有公共起点E,所以E,F,G,H四点共面. (2)因为=-=-=, 所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH. 课堂小结 1.一个定理 共面向量定理. 2.两种方法：证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量 p，a，b共面. (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，及不共线的三点A，B，C，有，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在下列命题中: ①若a,b共线,则a,b所在的直线平行; ②若a,b所在的直线是异面直线,则a,b一定不共面; ③若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面. 其中正确命题的个数为(　　) A.0　　　　　　　　　　　 B.1 C.2 D.3 A 解析:对于①,若a,b中有零向量,因为零向量与任意向量共线,则a,b所在的直线不一定平行,命题①错误; 对于②,因为空间任意两向量共面,命题②错误; 对于③,如图所示,a,b,c三向量两两共面, 但a,b,c三向量不共面,命题③错误. 2.已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若=m+n,则m+n=　　　　.  1 解析:由于A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即-=λ(-), 所以=(1-λ)+λ, 所以m=1-λ,n=λ, 所以m+n=1. 3.设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值为　　　　.  -8 解析:∵=e1+3e2,=2e1-e2, ∴=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2. ∵A,B,D三点共线, ∴可设=λ,λ∈R, ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2. ∵e1,e2是空间中两个不共线的向量, ∴ ∴k=-8. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知空间任意两个向量a,b,则这两个向量一定是(　　) A.共线向量　　　　　　　 B.共面向量 C.不共线向量 D.共面但一定不共线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 2.若a,b是平面α内的两个向量,则(　　) A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R) B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0 C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R) D.若a,b不共线,则平面α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 3.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,M,N分别是BC,CD的中点,如图所示,则+(+)=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 4.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,则用向量,,表示向量正确的是(　　) A.=++ B.=++ C.=++ D.=++ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 5.(多选)下列命题中是真命题的为(　　) A.若向量p=xa+yb,则p与a,b共面 B.若p与a,b共面,则p=xa+yb C.若=x+y,则P,M,A,B四点共面 D.若P,M,A,B四点共面,则=x+y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 解析:对于选项A,由共面向量定理得p与a,b共面,A是真命题; 对于选项B,若a,b共线,则p不一定能用a,b表示出来,B是假命题; 对于选项C,若=x+y,则,,三个向量在同一个平面内,P,M,A,B四点共面,C是真命题; 对于选项D,若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不成立,D是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知O是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 7.设▱ABCD的对角线AC和BD交于点E,P为空间任意一点,如图所示,若+++=x,则x=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 8.已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求下列各式中x,y的值: (1)=+x+y; (2)=x+y+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)如图所示,=+,由向量加法的平行四边形法则可得=(+),故=--. ∴=+=--, ∴x=-,y=-. (2)∵=+=+2 =+2(-)=+2-2, ∴x=2,y=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.(多选)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　　) A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 解析:A选项中,3-1-1=1,∴M,A,B,C四点共面; C选项中,=--,∴点M,A,B,C共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个 向量共面,则实数λ=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:∵a,b,c三向量共面, ∴存在实数m,n,使得c=ma+nb, 即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k), 即7i+5j+λk=(2m-n)i+(-m+4n)j+(3m-2n)k, ∴∴λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'. (1)化简++,并标出化简结果的向量; (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上一点,且BN=BC',设=x+y+z,试求x,y,z的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)取AA'的中点E,则=. 取F为D'C'的一个三等分点,使=,连接EF, ∵=,∴=.又=, ∴++=++=. 向量如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)=+=+ =(+)+(+) =(-+)+(+) =++, ∴x=,y=,z=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外的任意一点O,判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面. (1)+=3-; (2)=4--. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)原式可变形为=3--. ∵3+(-1)+(-1)=1, ∴点B与点P,A,M共面. 即点P与点A,B,M共面. (2)由=4--,得 4+(-1)+(-1)=2≠1, ∴点P与点A,B,M不共面. $$