6.1.2 空间向量的数量积课件- 2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.1 空间向量及其运算 6.1.2 空间向量的数量积 1 【课标要求】 1.掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律. 2.了解向量在向量 上的投影向量的含义,了解空间向量数量积的几何意义. 3.了解向量在平面 上的投影向量的含义,会确定一个向量在一个平面上的投影向量. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.空间向量的夹角 定义 ,是空间两个非零向量,过空间任意一点,作,, 叫作向量与向量的夹角,记作, 范围 , 特殊 夹角 （1）如果,,那么与 同向； （2）如果, ,那么与 反向； （3）如果,,那么与互相垂直,记作 4 知识点2.空间向量的数量积 1.定义 设,是空间两个非零向量,我们把数量,叫作向量, 的数量积,记作 .规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.数量积的运算律 交换律 分配律 结合律 5 3.数量积的性质 两个 向量 数量 积的 性质 ①若,是非零向量,则 ②若与同向,则 ； 若反向,则 . 特别地,或 ③若 为,的夹角,则 名师点睛 1.向量,的数量积记为,而不能表示为或 . 2.两个向量的数量积为实数,而不是向量,其符号由夹角 的余弦值的符号决定. 3.数量积运算不满足消去律与结合律. 6 知识点3.空间向量的投影向量 1.向量在向量 上的投影向量 （1）定义：对于空间任意两个非零向量,,设向量, （如图）,过 点作,垂足为,上述由向量得到向量的变换称为向量向向量 投影, 向量称为向量在向量 上的投影向量. （2）意义：,即向量,的数量积就是向量在向量 上的投影向量 与向量 的数量积. 7 2.向量<m></m>在平面<m></m> 上的投影向量 （1）定义：如图,设向量,过,分别作平面 的垂 线,垂足分别为,,得向量.上述由向量得到向量 的变 换称为向量向平面 投影,向量称为向量在平面 上的 投影向量. （2）意义：对于平面 内的任一向量,有,即空间向量, 的数 量积就是向量在平面 上的投影向量与向量 的数量积. 8 题型分析·能力素养提升 9 【题型一】空间向量数量积的运算 例1 如图，已知三棱锥 的各个侧面都是等边三角形,且边 长为2,,,分别为,, 的中点.试求: （1） ; 解 , . （2） ; 解 , . 10 （3） ; 解 . （4） . 解 . 11 规律方法 空间向量运算的方法与步骤 方法:（1）利用定义,直接利用, 并结合运算律进行计算; （2）利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻 找夹角,再代入数量积公式进行运算; （3）利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性 质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. 步骤:（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式; （2）利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积; （3）代入, 求解. 12 跟踪训练1 如图,已知四面体的所有棱长都等于,,, 分 别是棱,, 的中点.求： 解 四面体的所有棱长都等于 , 任意两条棱所在直线的夹角都为 . ,,分别是棱,, 的中点, ,, . 13 （1） ； 解 ； （2） ； 解 ； （3） ； 解 ； 14 （4） ； 解 , 直线与直线所成角就是直线与直线 所成角, 又, ； （5） ； 解 ,则直线与直线所成角就是直线与直线 所成角, ； 15 解 如图,取的中点,连接, , 则, . , 平面 , 又 平面, . , , 又,,即 , . （6） . 16 【题型二】利用数量积求夹角、距离问题 例2 如图,在正方体中,求向量与 的夹角的大小. 17 解 （方法一）因为,所以即为向量与 的夹角. 因为为等边三角形,所以,即,.所以向量与 的夹角 为 . （方法二）设正方体的棱长为1, 则 . 又, , 18 所以, . 因为, , 所以, , 所以向量与的夹角为 . 题后反思 根据数量积,可得 ,结合图形计算相关量,进 而求得两向量的夹角. 跟踪训练2 (2024江苏南京月考) 如图,在平行六面体 中,,, , , ,则与 所成角的余 弦值为( ) B A. B. C. D. 20 [解析] 设,, , 又,,, , , 所以,, .因为 , , 可得 , 因为 , 21 , 所以, , 又因为异面直线所成角的范围是,所以与所成角的余弦值为 .故选B. 例3 如图所示,在平行四边形中,, ,沿着它的对角线 将折起,使与成 角,求此时, 间的距离. 23 解 , , 同理可得 . 与成 角, , 或, . 又 , , , 当, 时,,此时, 间的距离为2; 当, 时,,此时,间的距离为 . 题后反思 求解向量模（或线段长度）问题时,将待求问题的向量表示为几个向量和的形 式,求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模,利用公式 求解即可. 跟踪训练3 在平行六面体中,,,, , ,求 的长. 解 因为 , 所以 . 因为 , , 所以 . 因为 , 所以 , 则,即 . 25 【题型三】利用数量积证明垂直问题 例4 如图,在正方体中,是的中点,是底面 的中心.求证: 平面 . 26 证明 设 ,,, , 则,, . , , , 27 ,即 . , , ,即 . 又,, 平面 , 平面 . 规律方法 利用数量积证明垂直问题的一般方法 将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示 未知向量,再通过向量的线性运算以及数量积运算,证明两直线所在向量的数量积等于 零,即可证明线线垂直. 跟踪训练4 如图,在棱长为的正方体中,,分别为棱和 的中 点,为棱 的中点.求证： 30 （1） 平面 ； 证明 在正方体中,四边形是正方形,所以 . 又 平面, 平面,所以 . 又因为,, 平面,所以 平面 . 在中,,分别为, 中点, 所以,所以 平面 . 31 （2）平面 平面 . 证明 在正方体中,四边形是正方形,又,分别为, 中点, 所以, , 所以,即 . 在正方体中, 平面, 平面 ,所以 . 又,且, 平面,所以 平面 , 又 平面,所以平面 平面 . 32 【题型四】空间向量的投影向量 例5 如图,在长方体中,设, , 是 的中点. （1）确定向量在平面上的投影向量,并求 ; 解 因为 平面, 平面 , 所以向量在平面上的投影向量为 . 所以 . 33 （2）确定向量在直线上的投影向量,并求 . 解 因为, , 所以向量在直线上的投影向量为 , 故 . 规律方法 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时,准确探寻某一向 量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键. 34 跟踪训练5 如图,在直三棱柱中,, ,求 . 35 解 （方法一） 平面,, 平面,, , , . , , , . 又,为 的中点, . ,, , , . （方法二） 平面 , 36 在平面上的投影向量为 . 又, , . $