6.1.2 空间向量的数量积-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.1　空间向量及其运算 6.1.2　空间向量的数量积 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.了解空间向量的夹角及有关概念.　2.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.　3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.　4.会用投影向量计算空间两个向量的数量积. [素养目标]　水平一:空间向量的数量积运算.(数学运算) 水平二:利用空间向量解决夹角、距离等问题.(数学运算、数学建模) 学习引语 我们中国有很多优美的现代建筑,一些别致的建筑和设计令人印象深刻.建造这些建筑时,会碰到很多立体几何的问题,比如:建筑和地面的垂直问题,建筑的一些部件实际长度,彼此之间的角度问题等.如何解决这些问题?那就需要我们今天进一步的研究学习. 探究活动1　空间向量的夹角 内容索引 探究活动2　空间向量的数量积 课时作业 巩固提升 探究活动3　空间向量的投影向量 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　空间向量的夹角 问题1　两直线夹角的范围是什么?两向量夹角的范围是什么? 提示　两直线夹角的范围是.两向量夹角的范围是[0,π]. 问题2　平面中两个非零向量的夹角是如何定义的? 提示　在平面中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB就是两向量的夹角. 定义 a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b, _______=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角,记作<a,b> 范围 0≤<a,b>≤π 特殊 夹角 如果<a,b>=0,a与b ; 如果<a,b>=π,a与b ; 如果<a,b>=,a与b互相垂直,记作a b. 知识生成 ∠AOB 同向 反向 ⊥ [例1]　如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求下列各对向量的夹角: (1)<,>;(2)<,>; (3)<,>. 知识应用 [解]　(1)∵=, ∴<,>=<,>. 又∵∠CAB=45°,∴<,>=45°. (2)<,>=180°-<,> =180°-45°=135°. (3)<,>=<,>=90°. 1.空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角. 2.对空间任意两个非零向量a,b有:(1)<a,b>=<b,a>;(2)<-a,b>=<a,-b>;(3)<-a,-b>=<a,b>.　 反思感悟 1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a∥b”是“<a,b>=0”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 跟踪训练 B 解析:显然<a,b>=0⇒a∥b,但a∥b包括向量a,b同向共线和反向共线两种情况,即当a∥b时,<a,b>=0或π,因此a∥b⇒/ <a,b>=0.故“a∥b”是“<a,b>=0”的必要且不充分条件. 2.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求向量分别与向量,,,,的夹角. 解:连接BD(图略), 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AC⊥BD,∠BAC=45°,AC=AD'=CD', 所以<,>=<,>=45°,<,>=180°-<,>=135°,<,>=∠D'AC=60°,<,>=180°-<,>=180°-60°=120°,<,>=<,>=90°. 探究活动2　空间向量的数量积 问题　根据物理学中功的计算,我们引入了平面向量的数量积运算,而且深刻体会到它在解决长度和角度问题中的应用.那么在空间向量中,什么样的运算能解决这样的问题呢? 提示　数量积运算.空间向量的数量积同样也能解决长度和角度问题. 1.定义:设a,b是空间两个非零向量,把数量|a||b|cos<a,b>叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=　　　　　　 　.  2.性质:(1)规定:零向量与任一向量的数量积为　　.  (2)空间两个非零向量a,b的夹角<a,b>可以由cos<a,b>=　　　　　　求得.  (3)a⊥b⇔a·b=　　(a,b是两个非零向量),|a|2=a·a=　　.  知识生成 |a||b|cos<a,b> 0 0 a2 3.运算律:与平面向量一样,空间向量的数量积也满足下列运算律: (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=　　　　　(λ∈R);  (3)(a+b)·c=　　　　　　　.  λ(a·b) a·c+b·c 温馨提醒　1.向量a,b的数量积记为a·b,而不能表示为a×b或ab. 2.(1)当θ为锐角时,a·b>0;但当a·b>0时,θ不一定为锐角,因为θ 也可能为0. (2)当θ为钝角时,a·b<0;但当a·b<0时,θ不一定为钝角,因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律. [例2]　在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量的夹角为(　　) A.60°　　　　　　　　　 B.150° C.90° D.120° 知识应用 D [解析]　=+,||=a, =+,||=a. ∴·=·+·+·+·=-a2. ∴cos<,>==-. ∵<,>∈[0,180°], ∴<,>=120°. [例3]　如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1)·;(2)·;(3)·;(4)·. [解]　(1)·=· =||·||·cos<,> =×1×1×cos 60°=. (2)·=·=||·||·cos<,>=×1×1×cos 0°=. (3)·=·=||·||·cos<,>=×1×1×cos 120°=-. (4)·=(+)·(+) =[·(-)+·(-)+·+·] =[-·-·+(-)·+·] =×=-. 求空间向量数量积的步骤 1.将待求数量积的两向量的模及它们的夹角厘清. 2.利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积. 3.代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.　 反思感悟 3.已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示.求: (1)·; (2)(+)·(+). 跟踪训练 解:在正四面体OABC中,||=||=||=1. <,>=<,>=<,>=60°. (1)·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=. (2)(+)·(+) =(+)·(-+-) =(+)·(+-2) =+2·-2·+-2· =12+2×1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60° =1+1-1+1-1 =1. 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求与夹角的大小. 解:不妨设正方体的棱长为1, 则·=(+)·(+) =(+)·(+) =·++·+· =0++0+0==1, 又∵||=,||=, ∴cos<,>===. ∵<,>∈[0,π],∴<,>=, 即与夹角的大小为. 探究活动3　空间向量的投影向量 问题　平面向量中向量a在向量b上的投影向量是如何定义的? 提示　设a,b是两个非零向量,表示向量a,表示向量b,过点A作所在直线的垂线,垂足为点A1,向量称为向量a在向量b上的投影向量. 1.空间投影向量的定义 如图,设向量m=,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量.向量称为向量m在平面α上的投影向量. 知识生成 2.空间向量数量积的几何意义 空间向量m,n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的 　　　　　与向量n的数量积.  投影向量 温馨提醒　向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ=b,它是一个向量,其中θ=<a,b>. [例4]　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点. (1)确定向量在平面BCC1上的投影向量,并求·; (2)确定向量在直线B1C1上的投影向量,并求·. 知识应用 [解]　(1)因为A1B1⊥平面BCC1,PC1⊥平面BCC1, 所以向量在平面BCC1上的投影向量为. 所以·=·=×1×cos 45°=1. (2)因为A1B1⊥B1C1,PC1⊥B1C1, 所以向量在直线B1C1上的投影向量为,故·=·=1. 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时,准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在.　 反思感悟 5.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°, PA=AB=BC=6,则向量在向量上的投影向量为　　　　　(用向量来表示).  跟踪训练 解析:由题意,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC, =++, ∵BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC,∴·=0, 在△ABC中,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6, ∴·==36, ·=·cos=6×6cos=18, ∴向量在向量上的投影向量为:·=·= · =·=. 课堂小结 1.知识清单 (1)空间向量的夹角. (2)空间向量的数量积. (3)空间向量的投影向量. 2.方法归纳 数形结合、转化化归. 〈课堂达标·素养提升〉 1.在正四面体ABCD中,与的夹角等于(　　) A.30°　　　　　　　　　 B.60° C.150° D.120° 解析:由正四面体每个面都是正三角形可知, <,>=180°-<,>=180°-60°=120°. D 2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,·=(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 D 解析:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 易知=2,=2. 因为=,与的夹角为, 所以与的夹角为, ·=·cos=2×2×=4. 3.若非零向量a,b满足=,(2a-b)·b=0 ,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° B 解析:设a与b的夹角为θ, 因为(2a-b)·b=0,所以2a·b=b2, 所以2cos θ=. 因为非零向量a,b满足=, 所以cos θ=. 因为θ∈[0°,180°],所以θ=60°. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在正四面体ABCD中,E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为(　　) A.30°　　　　　　　　　 B.60° C.120° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 15 16 解析:由题意,可得=, 所以<,>=<,> =180°-<,>=180°-60° =120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于(　　) A.12 B.8+ C.4 D.13 解析:(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|·cos 120°=2×4-2×5×=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 15 16 3.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两个向量的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°,则两个向量的夹角为120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 14 15 16 4.已知空间向量=,=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为(　　) A.-b B.b C.b D.-b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 15 16 解析:∵=,=5,a与b夹角的余弦值为-, ∴a在b上的投影向量为 ·=·=-·=-b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设a,b为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有(　　) A.= B.a2= C.=a2·b2 D.=a2-2a·b+b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 14 15 16 解析:对于A选项,向量不能作除法,A错误; 对于B选项,a2=,B正确; 对于C选项, ==cos2<a,b>≤a2·b2,C错误; 对于D选项,=a2-2a·b+b2,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos<a,b>=　　　　.  解析:将|a-b|=两边平方,得(a-b)2=7. 因为|a|=2,|b|=2,所以a·b=. 又a·b=|a||b|cos<a,b>,故cos<a,b>=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则与所成夹角的大小为　　　　,·=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60° 1 14 15 16 解析:法一:连接A1D,则∠PA1D就是与所成夹角.连接PD,在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=,即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即与所成夹角的大小为60°.因此·=××cos 60°=1. 法二:根据向量的线性运算可得·=(+)·==1. 由题意可得PA1=B1C=,则××cos<,>=1,从而<,>=60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 15 16 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点,求下列向量的数量积: (1)·; (2)·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)·=·(+)=b·=|b|2=42=16. (2)·=(+)·(+)=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图,正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC; (2)求|+|的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)证明:∵=+, ∴·=(+)·=·+· =||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0,∴BD⊥PC. (2)解:∵+=++, ∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2, ∴|+|=a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [B组　关键能力练] 10.在四面体OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<,>=(　　) A. B. C.- D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 15 16 解析:·=·(-)=·-·=||||·cos<,>-||||·cos<,>.因为<,>=<,>=,||=||,所以·=0,所以,所以cos<,>=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,对角线AC1和BD1相交于点O,则有(　　) A.·=a2　　　 B.·=a2 C.·=a2 D.·=a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 14 15 16 解析:连接A1D(图略),则·=·=||·||·cos<,>=a×a×cos 60°=a2,A正确;·=·(++)=+·+·=a2,B错误;·=·=·(++) =(+·+·)==||2=a2,C正确;·=·(-)=·-·=-a2,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=AA1=1,AB⊥AD,∠A1AD=∠A1AB=60°,P为A1D与AD1的交点,设=a,=b,=c,则(　　) A.=a+b-c B.=-a+b+c C.= D.·= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:=++=a+b+c,故A错误;=+=-+=-a+b+c,故B正确;a·b=0,b·c=cos 60°=,a·c=cos 60°=,又=+=++=-++=--++=a+b-c,所以== =,故C错误;·=·=a2+b2-c2+a·b+a·c=,故D正确. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=　　　　.  13 12 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:如图所示,∵=++, ∴=+++2·=36+36+36+2×36×cos 60°=144. ∴||=12. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14.如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则线段CD的长为　　　　.  13 2 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:∵=++=-+, ∴=(-+)2=++-2·+2·-2· =16+36+64=116,∴||=2. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为. (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:=+,=+. ∵BB1⊥平面ABC, ∴·=0,·=0. 又△ABC为正三角形, ∴<,>=π-<,>=π-=π. ∵·=(+)·(+) =·+·++· =||||·cos<,>+ =-1+1=0, ∴AB1⊥BC1. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:由(1)知, ·=||||·cos<,>+=-1. 又||= = =||, ∴cos<,>==, ∴||=2,即侧棱长为2. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:CC1⊥BD. (2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:设=a,=b,=c.依题意有|a|=|b|,=-=a-b.设,,的两两夹角均为θ,于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cos θ-|c||b|cos θ=0,∴CC1⊥BD. 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:若A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥BD,A1C⊥DC1.由·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2=|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ=(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0,得当|c|=|a|时,A1C⊥DC1.同理可证,当|a|=|b|时,A1C⊥BD. ∴当=1时,A1C⊥平面C1BD. 13 14 15 16 $$