14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 A层 基础达标练 1.(多选题)下列说法中,正确的是(　　) A.极差与方差都反映了数据的离散程度 B.方差是没有单位的统计量 C.标准差比较小时,数据比较分散 D.只有两个数据时,极差是标准差的2倍 2.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为(　　) A. B. C.2 D. 3.如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为,方差分别为,则(　　) A. B. C. D. 4.如果已知一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差是2,那么另一组数据5x1+1,5x2+1,5x3+1,…,5xn+1的方差为(　　) A.11 B.20 C.50 D.51 5.某中学从甲、乙、丙3人中选1人参加全市中学男子1 500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩(单位:秒)的平均数与方差制成如下的表格: 学生 甲 乙 丙 平均数 250 240 240 方差 15 15 20 根据表中数据,该中学应选　　　　参加比赛.  6.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,21,且总体的中位数为10,若要使该总体的方差最小,则ab=　　　　.  7.样本容量为10的一组数据,它们的平均数是5,频率条形图如图,则其标准差为　　　. 8.把某校三年级一班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表: 组别 统计量 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班学生的平均成绩和标准差. B层 能力提升练 9.已知一组样本数据x1,x2,x3,…,x9满足x1<x2<x3<…<x9,则去掉x5后,下列数字特征中一定变化的是(　　) A.平均数 B.中位数 C.极差 D.方差 10.已知一组样本数据x1,x2,x3,…,x10,且+…+=185,平均数=4,则该组数据的方差s2=(　　) A.1 B. C.2 D. 11.从甲队60人、乙队40人中,按照分层抽样的方法从两队共抽取10人,进行一轮答题.相关统计情况如下:甲队答对题目的平均数为1,方差为1;乙队答对题目的平均数为1.5,方差为0.4,则这10人答对题目的方差为(　　) A.0.8 B.0.675 C.0.74 D.0.82 12.(多选题)在一次党建活动中,甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛,每个小组各派10名同学参赛,记录每名同学失分(均为整数)情况,若该组每名同学失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”.已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下,则一定为“优秀小组”的是(　　) A.甲组(中位数为2,极差为5) B.乙组(平均数为2,众数为2) C.丙组(平均数为1,方差大于0) D.丁组(平均数为2,方差为3) 13.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位职工,得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44.若用样本估计总体,则公司中年龄在(-s,+s)内的人数占总人数的百分比是(其中是平均数,s为标准差,结果精确到1%)(　　) A.14% B.25% C.56% D.67% 14.某市有15个旅游景点,经计算,黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万,标准差为s.后来经核实,发现甲、乙两处景点统计的人数有误,甲景点实际为20万,被误统计为15万,乙景点实际为18万,被误统计成23万.更正后重新计算,得到标准差为s1,则s与s1的大小关系为(　　) A.s=s1 B.s<s1 C.s>s1 D.不能确定 15.为了统计某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为　　　　.  16.高一年级有男生600人,女生400人,先把男生、女生进行分层,通过分层随机抽样的方法,得到男生、女生的平均身高分别为175 cm、160 cm,方差分别为35,25. (1)如果从男生、女生抽取的样本量分别为70,30,请合理估计高一年级全体学生的平均身高; (2)如果采用样本量比例分配的分层随机抽样,试由上面数据计算出总样本的方差,并据此对高一年级全体学生的身高方差做出估计. C层 拓展探究练 17.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为　　　　　　　.(从小到大排列)  参考答案 1.AD　对于A,根据极差、方差的定义可知,极差与方差都反映了数据的离散程度.一般来说,极差、方差越大,稳定性越差,故A正确;对于B,方差的单位是样本数据单位的平方,故B错误;对于C,标准差比较小时,数据比较集中,故C错误;对于D,设两个数据分别为x1,x2,则易得极差为|x2-x1|,平均数为,标准差为|x2-x1|,即极差是标准差的2倍,故D正确.故选AD. 2.D　因为样本a,0,1,2,3的平均数为1,所以(a+0+1+2+3)=1,解得a=-1,则样本的方差s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,故标准差为故选D. 3.C　由题图可知,实线中的数据都大于或等于虚线中的数据,所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数,,因为实线中的数据波动较大,所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差,即故选C. 4.C　因为一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差是2,所以另一组数据5x1+1,5x2+1,5x3+1,…,5xn+1的方差为52×2=50.故选C. 5.乙　乙的均值比甲小,与丙相同,乙的方差与甲相同,但比丙小,即乙成绩好,又稳定,应选乙.故答案为乙. 6.100　由题意得a+b=10×2=20,(2+3+3+…+21)=10,要使该总体的方差最小,方差化简后即满足(a-10)2+(b-10)2最小,故a=b=10,ab=100. 7　由条形图知这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8. =5,∴s2=[(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2]=72=,∴s=故答案为 8.解 设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20), 第二组20名学生的成绩为yi(i=1,2,…,20), 依题意得(x1+x2+…+x20)=90, (y1+y2+…+y20)=80, 故全班平均成绩为 (x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20) =(90×20+80×20)=85. 又第一组学生成绩的标准差s1=6,第二组学生成绩的标准差s2=4, 则全班40名学生的方差s2=[62+(90-85)2]+[42+(80-85)2]=51,即s= 所以全班学生的平均成绩为85分,标准差为 9.D　因为x1<x2<x3<…<x9,所以原数据的中位数为x5,新数据的中位数为,与x5没法比较,即中位数不一定变化,故B不符合题意;原数据的平均数为,新数据的平均数为'=,因为平均数受极端值影响较大,所以平均数不一定变化,故选项A不符合题意;去掉x5后,原数据和新数据的极差都是x9-x1,故极差一定不变化,故C不符合题意;因为x1<x2<x3<…<x9,所以去掉x5后剩余的8个数的波动变大了,故新数据的方差比原数据的方差要大.故选D. 10.D　由题意可知,x1+x2+x3+……+x10=4×10=40, ∵s2=故选D. 11.D　根据题意,按照分层抽样的方法从甲队中抽取10=6(人),从乙队中抽取10=4(人),这10人答对题目的平均数为(6×1+4×1.5)=1.2,所以这10人答对题目的方差为[6×1+6×(1-1.2)2+4×0.4+4×(1.5-1.2)2]=0.82.故选D. 12.AD　对于A,因为中位数为2,极差为5,故最大值小于等于7,故A正确;对于B,如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足平均数为2,众数为2,但不满足每名同学失分都不超过7分,故B错误;对于C,如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足平均数为1,方差大于0,但不满足每名同学失分都不超过7分,故C错误;对于D,利用反证法,假设有一同学失分超过7分,则方差大于(8-2)2=3.6>3,与题设矛盾,故每名同学失分都不超过7分,故D正确.故选AD. 13.C　因为=40, s2=(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=,即s=, 所以年龄在内的人数为5,所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为56%.故选C. 14.C　由已知,两次统计所得的旅游人数总数没有变,即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的,设为,则s= , s1=, 若比较s与s1的大小,则只需比较(15-)2+(23-)2与(20-)2+(18-)2的大小即可,而(15-)2+(23-)2=754-76+2,(20-)2+(18-)2=724-76+2, 所以(15-)2+(23-)2>(20-)2+(18-)2,从而s>s1.故选C. 15.10　设5个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则由题意知=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20, 由样本数据互不相同,五个整数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20, 由|x-7|=3可得x=10或x=4. 由|x-7|=1可得x=8或x=6. 由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10, 故最大值为10.故答案为10. 16.解 设男生样本平均数记为,方差记为,女生样本平均数记为,方差记为,总样本数据的平均数记为,方差记为s2,高一年级男生M=600人,女生N=400人, 则=175,=35,=160,=25, (1)由=175,=160,根据按比例分配分层随机抽样总体平均数与各层样本平均数的关系,可得总样本平均数为 175+160=175+160=169. (2)由已知的男生、女生样本平均数和方差的取值,可得 s2=+()2]++()2]=[35+(175-169)2]+[25+(160-169)2]=71+106=85, 所以总样本的方差为85,并据此估计高一年级全体学生的身高方差为85. 17.1,1,3,3　假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,则 又s= = ==1, ∴(x1-2)2+(x2-2)2=2. 同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2. 由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为方程(x-2)2+(y-2)2=2的解,分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.故答案为1,1,3,3. 7 学科网（北京）股份有限公司 $