14.4 第2课时 用样本估计总体的离散程度参数-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2课时用样本估 第1关练速度 10min为准，你的时间： 1.(2024·湖南岳阳高一期末)下列统计量中可 用于度量样本x1,x2,…,x。离散程度的有 A.x1,x2,…,xn的标准差 B.x1,x2,…,xn的中位数 C.七1，x2,…,xn的众数 D.x1,x2,…,xn的平均数 2.（多选)(2024·安徽阜阳高一期末)小胡同学 参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如 下：9,8,6,10,9,7,6,9（单位：环），则下列说 法正确的是 A.这组数据的众数为9 B.这组数据的平均数是8.5 C.这组数据的极差是4 D.这组数据的标准差是2 3.(2024·江苏南京金陵中学高一期末)已知数 据3,7，a,6的平均数是4，则这组数据的标准 差为 9 B. 4 丹 D.②9 2 4.(2024·湖南衡阳高一期未)某商品3一5月 份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如图所示， 则在这四个地区中该商品3一5月份销量方 差最小的为 ( +销量/千个 +销量/千个 50H 5046 40 37 40 30 9 30 3 20 20 10 0 5月份 5月份 甲地区 乙地区 第14章 十总体的离散程度参数 销量/千个 销量/千个 50 50 40 40 40 40 30 30 20 20 10 10 0 3 4 5月份 3 4 月份 丙地区 丁地区 A.甲地区 B.乙地区 C.丙地区 D.丁地区 5.(2024·湖南长沙高一期末)某校举行演讲比 赛，10位评委对某选手评分数据如下：7.5， 7.5,7.8,7.8,8.0,8.0,8.2,8.3,8.4,9.9,若去掉 一个最高分和一个最低分，则新数据与原数 据相比，一定不变的数字特征是 A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差 6.(2024·河南驻马店高一期末)由6个实数组 成的一组数据方差为s,将其中一个数5改 为2，另一个数4改为7，其余的数不变得到一 组数据的方差为s3.则s子-s子= ( A.2 B.3 C.4 D.5 7.（多选)(2024·四川雅安高一期末)为普及居 民的消防安全知识，某社区开展了消防安全 专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社 区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一 份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲 座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下 列说法正确的是 分数 100 95 --水-------- 8 5 ====●。============-====-=============-== 6 0 0 1234567891011121314居民编号 ·讲座前 *讲座后 A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70 B.讲座后问卷答题得分的众数小于90 学霸147 C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得 分的方差 D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得 分的极差 8.已知一组样本数据5,6，a,6,8的极差为5，若 a>3,则其方差为 9.（2023·陕西西安高一期末)在某次测试中得 到样本A的数据如下：68,83,81,81,86,90， 88.若样本B的数据恰好是样本A的数据每 个都减5后得到的数据，则样本A,B的下列 数字特征对应相同的是 .(填序号) ①平均数；②标准差；③众数；④中位数； ⑤极差 10.(2024·广东深圳高一月考)已知样本数据 为1，a,b,7,9,且a,b是方程x2-8x+15=0 的两根，则这组样本数据的方差 是 11.甲、乙两组数据如下表所示，其中a,b∈N*， 若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组 数据的方差小于乙组数据的方差，则(a,b) 为 .(只需填一组) 匆 1 2 b 10 乙 2 4 11 第2关练准确率 8题为准，你做对题 12.(2024·河北衡水高一期末)已知某7个数 的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据 4,此时这8个数的平均数为x,标准差为s,则 ( A.x=4,S<√2 B.x=4,5>√2 C.x>4,s<√2 D.x>4,5>√2 13.（多选)(2024·四川成都高一期末)在一次 活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行知 识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录 每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同 必修第二册·SJ号 学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”， 已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息 如下，则一定为“优秀小组”的是 () A.甲组中位数为2，极差为5 B.乙组平均数为2，众数为2 C.丙组平均数为1，方差大于0 D.丁组平均数为2，方差为3 4.（2024·浙江宁波高一期末)慢走是一种简 单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减 肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力 量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里 程（单位：公里）：11,12，m,n,20,27,其中这 6周的慢走里程的中位数为16，若要使这 6周的慢走里程的标准差最小，则m= A.14B.15C.16 D.17 5.（2024·江苏扬州中学高三月考)在一次数 学模考中，从甲、乙两个班各自抽出10个人 的成绩，甲班的十个人成绩分别为x1, x2,…,x10,乙班的十个人成绩分别为y1, y2,…,yo假设这两组数据中位数相同、方差 也相同，则把这20个数据合并后（) A.中位数一定不变，方差可能变大 B.中位数可能改变，方差可能变大 C.中位数一定不变，方差可能变小 D.中位数可能改变，方差可能变小 6.(2024·浙江台州高一期中)根据气象学上 的标准，连续5天的日平均气温低于10℃ 即为入冬，将连续5天的日平均气温的记录 数据（记录数据都是自然数）作为一组样本， 现有4组样本①②③④，依次计算得到结果 如下： ①平均数x<4; ②平均数x<4且极差小于或等于3； ③平均数x<4且标准差s≤4； 霸148 ④众数等于5且极差小于或等于4： 则4组样本中一定符合入冬标准的共有 A.1组B.2组C.3组 D.4组 17.（2024·福建龙岩高一月考)某工厂年前加 紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套 数依次为x1,x2,x3,x4,x(单位：万只).若这 组数据飞1，，3,4,43的方差为6，且= 50,则该工厂这5天平均每天生产手套 万只 18.(2024·河北邢台高一月考)为促进学生德 智、体、美、劳全面发展，某校开发出文化艺 术课程、科技课程、体育课程等多类课程.为 了解该校各班参加科技课程的人数，从全校 随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技 课程的人数分别为x,y,z,m,n(x<y<z<m<n, x,y,z,m,n∈N).已知这5个班级参加科技 课程的人数的平均数为9，方差为4，则z 9= 19.（2024·安徽阜阳高一期末)某果园试种 了A,B两个品种的桃树各10棵，并在桃树 成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下 表，记A,B两个品种各10棵产量的平均数 分别为x和y,方差分别为s和s2 A(单位： 60504560708080808590 kg) B(单位： 40606080805580807095 kg) (1)求x,y,s7,s (2)果园要大面积种植这两种桃树中的 种，依据以上计算结果分析选种哪个品 种更合适？并说明理由， 第14章学 0.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度 是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎， 将每个轮胎的宽度（单位：mm)记录下来并 绘制出如下的折线图： 甲厂轮胎宽度 198 197 196 195 194 193 192 191 2345678910 乙厂轮胎宽度 197 196 195 194 193 192 191 19012345678910 (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽 度的平均值； (2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这 个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分 别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽 度的平均数及方差的大小，根据两厂的 标准轮胎宽度的平均水平及其波动情 况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对 更好 霸149 第3关练思维宽度 ）难度级别：女女☆☆☆ 21.（2024·河南南阳高一期末)因学校政治老 师比较紧缺，高一年级为了了解学生选科中 包含“政治”这一科目的学生人数便于安排 教学，从高一年级中随机抽取了五个班，把 每个班选科中包含“政治”的人数作为样本 数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且 样本数据各不相同，则样本数据中的最大 值为 ( A.8 B.9 C.10 D.11 22.（2024·安徽黄山高一期末)为进一步推动 防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网 络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣 传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所 有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本 的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分 的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…， [90,100]得到如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0.025 0.020 0.010---- 0.005 0405060708090100分数 (1)求图中a的值，根据频率分布直方图计 算样本成绩的平均数； (2)已知若总体划分为2层，通过分层抽样， 各层抽取的样本量、样本平均数和样本 方差分别为m,x,s;n,y,s3,记总的样本 平均数为o,样本方差为s2.证明：s2= 1m[s子+(x-m)2]+n[s号+(-o)]: m+ 必修第二册·SJ学霸 (3)已知落在[50,60)的平均成绩是59，方 差是7，落在[60,70)的平均成绩为65， 方差是4，求两组样本成绩的总平均数z 和总方差s2 视频讲解 150(2)从扇形图中估计第二种生产方式的平均数为 65×0.25+75×0.5+85×0.2+95×0.05=75.5(min). (3)从频率分布直方图中估计第一种生产方式的平均数为65× 0.1+75×0.2+85×0.45+95×0.25=83.5(min),从平均数的角度发 现：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需要的时间高于 80mim;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需要的时间低 于80min,因此第二种生产方式的效率更高. 第3关（练思维宽度） 1 12 1 .2 21.B解折：3<a<2子<2a<1,2<1-a<31-a>a,2> 1-a:样本x1,x2,…,xn的平均数为x,样本y1y2,…,ym的平均 数为了，且x≠了，.样本1，x2,…,元为1，y2,…,ym的平均数2= min,l-a=m ao）5 m+n .m >,且2n mtn mtn'min mtn.m>n.2n>m:.2n>m>n. m > 故选B. 2,解：(1)由第二组的颜数得级率为，10-Q12,从而第二组矩形的 高为012 5 0.024,由第四组的频数得须率为180 91000=0.18,从而第 四组矩形的高为“)8=0.036，补全该市100名跑步爱好者周跑 量的频率分布直方图如下： ,频率 组距 0.048 0.040 0.036 0.032 0.028 0.020 0.004- 010152025303540455055周跑量/千米 (2)由5×0.02+5×0.024+5×0.026=0.35<0.5,0.35+5×0.036= 0.53>0.5,可知中位数位于区间[25,30)内，设中位数为x,则 0.35+(x-25)×0.036=0.5,解得x≈29.2，即样本数据的中位数约 为29.2 (3)依题意可知，被调查的1000人中，休闲跑者共有100+120= 220(人)，核心跑者共有130+180+220+150=680（人），精英跑者 共有60+30+10=100（人），这1000名跑步爱好者购买装备的平 均价格为20x2500+680x400+100x4500=3720(元)，所以估 1000 计该市跑步爱好者购买装备的平均价格为3720元. 第2课时用样本估计总体的离散程度参数 第1关（练速度） 1.A解析：平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，一 般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数和中位数，对 分类型数据集中趋势的描述，可以用众数.方差、标准差和极差均 是度量样本数据离散程度的数字特征故选A. 2.AC解析：对于A,由题意知这组数据的众数为9，故A正确；对于 B,这组数据的平均数是×(9+8+6+10+9+7+6+9)=8，故B错 误；对于C,这组数据的极差是10-6=4，故C正确；对于D,这组数 据的方差是2=号×[(9-8)2+(8-8)2+(6-8)2+（10-8)2+ (9-8)2+(7-8)2+(6-8)2+(9-8)2]=2,所以这组数据的标准差 是√2，故D错误.故选AC. 3.C解析：由题意，3+7+a+6 =4,即a=0,则s2= (3-4)2+(7-4)2+(0-4)2+(6-4)215 4 臣故 ,所以s=√ 选C. 必修第二册·SJ 4.D解析：由题图可得，丁地区销量最稳定，所以丁地区销量的方差 最小故选D. 5.B解析：根据平均数、中位数、方差和极差的定义可知，新数据与 原数据相比平均数、方差和极差都有可能发生变化，而中位数一定 不变.故选B. 6.A解析：将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不 变，可得这6个实数组成的一组数据的平均数不变，并设为x,设没 有变化的4个数为西，则好=石[（名）2+（名到2+ （6-到+2+(5-司2+(4-列21，号=石[（到2 (x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2+(2-x)2+(7-x)2],所以s号-5= 6[-(5-)2-(4-)2+(2-)2+(7-)21=2.故选A 7.ACD解析：对于A,由题图可知，讲座前问卷答题得分的中位数大 约为5470二67.5，故A正确；对于B,由题图可知，讲座后问卷答题 得分的众数为95，故B错误：对于C,讲座前问卷答题得分比讲座 后的较分散，即讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方 差，故C正确；对于D,讲座前问卷答题得分的极差大约为95-60= 35,讲座后问卷答题得分的极差大约为19，故D正确.故选ACD. 8.3.2解析：因为该组数据的极差为5，a>3,所以a-5=5,解得a= 10,因为=+6+6+10+8=7，所以该组数据的方差为 5 (5-7)2+(6-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2-3.2故答案为3.2 9.②⑤解析：由题意知样本B的数据为63,78,76,76,81,85,83， 所以样本A数据的极差为90-68=22，样本B数据的极差为85- 63=22,故⑤正确； 样本A数据的众数为81，样本B数据的众数为76，故③不正确； 样本A数据的平均数为68+83+81+81+86+90+8-57，样本B数 7 7 据的平均数为63+78+76+76+81+85+8354 7 ,故①不正确； 设样本A数据为x1,x2,3,x4,x5,x6,x7,标准差为5，则样本B数据 为x1-5,x2-5,x3-5,x4-5,x5-5,x6-5,x7-5,由数据的标准差性质 可得标准差为s,故②正确；对样本A数据从小到大排序：68,81， 81,83,86,88,90,故中位数为83，对样本B数据从小到大排序：63， 76,76,78,81,83,85,故中位数为78，所以④不正确，故答案为 ②⑤. 重难点拨 一组数同时加上或减去同一个数，平均数、中位数、众数也要加上或 减去这个数，极差、方差、标准差不变； 一组数同时扩大或缩小同样的倍数，平均数、中位数、众数、极差、标 准差也要扩大或缩小这个倍数，方差扩大或缩小这个倍数的平方. 10.8解析：因为a,b是方程x2-8x+15=0的两根，所以a+b=8,ab= 15,所以样本平均数为1+a+6+7+9_1+8+7+9=5,故样本方差为 5 5[(1-5)2+(a-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(9-5)2]=5×(16+ a2-10a+25+63-106+25+416)-=写×灯86+(a+6)2-2a-10(a+ 6)]=，×(86+64-30-80)=8.故答案为8 11.(4,8)(答案不唯一)解析：由题意1+2+a+b+10=1+2+4+7+ 11,所以a+b=12,平均数为5，甲组数据的方差小于乙组数据的 方差，所以(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(b-5)2+(10-5)2<(1 5)2+(2-5)2+(4-5)2+(7-5)2+(11-5)2,即(a-5)2+(b-5)2< 16.所以(a,b)的一组值可以为(4,8). 第2关（练准确率） 12.A解折：设7个数为a,bcd,e小，g,则平均数为(a+be+ d+e+f+g)=4,a+b+c+d+e+f+g=28, 方差为号[(a-4)2+(6-4)2+(c-4)2+(d-4)2+(e-4)2+ 学霸094 f4)2+(g-4)2]=2,即(a-4)2+(b-4)2+(c-4)2+(d-4)2+ (e-4)2+(f4)2+(g-4)2=14, 加入新数据4之后，则这8个数的平均数为x= a+b+c+d+e+ftg+4_28+4 8 8 4,方差为2=日[(a-4)2+(6-42+ (e-424(d-42+(e-42+U42+(g-42+(4-421-台 4<2,所以标准差5<√2.故选A 13.AD解析：对A,因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7， 故A正确；对B,如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满 足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分， 故B错误：对C,如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满 足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分， 故C错误；对D,利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方 差大于0×(8-2)2=36>3，与题设矛盾，放每名同学失分都不超 过7分.故D正确.故选AD. 14.C解析：由题意，数据的中位数为16，可得m”=16,所以m+n= 2 32,所以这6周的慢走里程的平均数为11+12+m+20+27=17, 6 要使这6周的慢走里程的标准差最小，需要(m-17)2+(n-17)2 最小，又由(m-17)2+(n-17)2=(m-17)2+(32-m-17)2=2m2- -64=16.故选C 64m+172+152,故当标准差最小时，m=2x2 15.A解析：不妨设x1≤x2≤…≤x10,y1≤y2≤…≤y10,则x1, ,…0的中位数为 2少12，…，少10的中位数为56 2 因为6-6，所以，≤≤%≤6或%≤，≤6≤%，则合 并后的数器中位数是”或者5，所以中位数不变 设第一组数据的方差为s2,平均数为元，第二组数据的方差为s2， 平均数为y,合并后总数为20，平均数为0，方差为s2,s2= 10+1010[+(-0)]+10[2+(-oy2]=7[2+(-@2]+ 之24(-21=+(-@2+宁(6-@)2≥子如果均值相同 则方差不变，如果均值不同，则方差变大故选A 16.B解析：①举反例：0,0,0,4,11，其平均数x=3<4,但不符合入冬 标准； ②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，此组数 据中的最小值为10-3=7，此时数据的平均数必然大于7，与x<4 矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合人冬标准； ③举反例：1,1,1,1,11，平均数x=3<4,且标准差s=4,但不符合 入冬标准； ④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入 冬标准故选B. 72解折：子写国5（三好-5）了（0 5x2)=6,.x=2.故答案为2. 18.0解析：依题意得y+2+m+n=9, 5 (9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2 =4,化简得x+y+ 5 z+m+n=45,(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2=20. 易知n≥m+1≥z+2≥y+3≥x+4,x+y+z+m+n≤5n-10,得n≥11. 又因为(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-m)2=20,所以9 x,9-y,9-z,9-m,9-n这5个数的绝对值不超过4，所以9-n≥-4， 即11≤n≤13，当n=13时，可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+ (9-m)2=4,无解：当n=12时，可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+ (9-m)2=1l,由x<y<<m<n,x,y,z,m,neN*,得这四个平方数 只能为9,1,0,1，则x=6,y=8,z=9,m=10,符合题意，此时z-9= 参考答案 0;当n=11时，(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=16,无解.综 上，z-9=0.故答案为0. .解：(1)x=0x(45+50+60+60+70+80+80+80+85+90)=70,s7于 0×(252+202+2x102+0+3×10+152+202)=215,y=10×(40+ 5+60+60+70+80+80+80+80+95)=70,号=10×(302+152+2× 102+02+4×102+252)=235. (2)由x=y=70可得A,B两个品种平均产量相等，又s<s号，则A 品种产量较稳定，故选择A品种 20.解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值单=0×(195+194+196+ 193+194+197+196+195+193+197)=195(mm), 乙厂10个轮胎宽度的平均值2=10×(195+196+193+192+195+ 194+195+192+195+193)=194(mm). (2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]（单位：mm)内的数据为 195,194,196,194,196,195, 平均数=名×(195+194+196+194+196+195)=195(m),方 76×[(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(19 195j)2+(196-195)24(195-195)2]=号 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]（单位：mm)内的数据为195， 196,195,194,195,195, 平均数=石×(195+196+195+194+195+195)=195(m）, 方差号6X[(195-195)24(16-195)24(195-195)24(194 195)2+(195-195)2+(195-195)2]-=号：两厂标准轮胎宽度的 平均数相等，但乙厂的方差更小，.乙厂的轮胎相对更好. 第3关（练思维宽度） 21.C解析：设五个班级抽取的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,由题意 得，，+45=7，（-7)2+(5-7)2+（属3-7）2+(4-7)2+ 5 (x5-7)2=20,分析得必定为0+1+1+9+9=20，故(x3-7)2=9,解 得x5=4或x5=10,(3-7)2=1,解得x3=6或3=8，显然人数从 低到高为4,6,7,8,10，故最大值为10.故选C. 22.(1)解：由题意可知，(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10= 1,解得a=0.030,平均数为(45×0.005+55×0.01+65×0.02+75× 0.03+85×0.025+95×0.01)×10=74. （a医期：-+”5=含%到店 m i= 片含x列1，总体方老宫-回2+含：可21又 8(-o)2-8[(x-)+(-o)]2=8[(-)2+2(-@)( 到+(-四)2]-含(%-2+2（玉-四）8(x-)+含(-四2.因为 含(4习=含含五=mm=0,所以营（名-2-宫（气）2+ 2(x-@)含(-)+含(x-o)2=ms+m(-o)2=m[好+(x-o)2], 同理宫(-四2=[号+(5-可2]，放2=三（x@2+ 含可)2]=nm+(-w21+n好(5-o2]. mtn (3)解：[50,60)的频率是0.010×10=0.1，频数是0.1×100=10， [60,70)的频率是0.020×10=0.2，频数是0.2×100=20，所以总体 平均数10 1090×591020x65=68,总体方老r=102010[7+ 20 (59-63)2]+20[4+(65-63)2]}=13. 学霸095