14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 [课时跟踪检测] 1.某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位:分)为90，90，93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为 (　　) A.92，2.8 B.92，2 C.93，2 D.93，2.8 解析:选A　该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为=×(90+90+93+94+93)=92， 方差为s2=×[(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=2.8.故选A. 2.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表: 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是 (　　) A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀) D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 解析:选ABC　甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确;=191>110=，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，所以B正确;甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确;由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误. 3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 (　　) A.57.2，3.6 B.57.2，56.4 C.62.8，63.6 D.62.8，3.6 解析:选D　每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变. 4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表: 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中=，则两个班数学成绩的方差为 (　　) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 解析:选C　由题意可知两个班的数学成绩平均数为==，则两个班数学成绩的方差为s2=×[2+(-)2]+×[3+(-)2]=×2+×3=2.6. 5.(多选)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为= 3小时，方差为s2= 2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为=2.6，=3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为=1，=2，=3，则高三学生每天读书时间的平均数可能是 (　　) A.3.2 B.3.3 C.2.7 D.4.5 解析:选BC　由题意可得2.003=[1+(3-2.6)2]+[2+(3-3.2)2]+[3+(3-)2]，解得=3.3或2.7. 6.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则 (　　) A.>，sA>sB B.<，sA>sB C.>，sA<sB D.<，sA<sB 解析:选B　由题图知，A组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10;B组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10，所以=×(2.5+10+5+7.5+2.5+10)==×(15+10+12.5+10+12.5+10)=.显然<. sA=≈3.15， sB=≈1.86，显然sA>sB. 7.(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 (　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差　 解析:选BD　取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A、C均不正确;根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确;根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.故选BD. 8.(5分)国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表: 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派　　　　参赛最为合适.  解析:由题表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适. 答案:丙 9.(5分)已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab=　　　　.  解析:由题意得a+b=10×2=20，要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a-10)2+(b-10)2最小，故a=b=10，ab=100. 答案:100 10.(5分)高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位:分)为x，y，105，109，110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x-y|的值为　　　　.  解析:由题意得，(x+y+105+109+110)=108，　 ① [(x-108)2+(y-108)2+9+1+4]=35.2，　 ② 由①②解得或 所以|x-y|=18. 答案:18 11.(10分)某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低).去年测评的结果(单位:分)如下 甲校:96，112，97，108，100，103，86，98; 乙校:108，101，94，105，96，93，97，106. (1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;(5分) (2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差.(5分) 解:(1)甲学校人民满意度的平均数为 =(96+112+97+108+100+103+86+98)=100， 甲校:86，96，97，98，100，103，108，112， 甲学校人民满意度的中位数为 =99; 乙学校人民满意度的平均数为 =(108+101+94+105+96+93+97+106)=100， 乙校:93，94，96，97，101，105，106，108， 乙学校人民满意度的中位数为 =99. (2)甲学校人民满意度的方差为 =(42+122+32+82+02+32+142+22) =55.25， 乙学校人民满意度的方差为 =(82+12+62+52+42+72+32+62) =29.5. 12.(15分)某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值;(6分) (2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前4组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差.(9分) 解:(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2a×0.5，解得a=0.30. (2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是=0.25，=0.75，=1.25，=1.75，=2.25，=2.75，=3.25，=3.75，=4.25， 这100户居民的月均用水量为=0.04×0.25+0.08×0.75+0.15×1.25+0.21×1.75+0.25×2.25+0.15×2.75+0.06×3.25+0.04×3.75+0.02×4.25=2.03， 则这100户居民月均用水量的方差为 s2=0.04×[0.3+(0.25-2.03)2]+0.08×[0.3+(0.75-2.03)2]+0.15×[0.3+(1.25-2.03)2]+0.21×[0.3+(1.75-2.03)2]+0.25×[0.4+(2.25-2.03)2]+0.15×[0.4+(2.75-2.03)2]+0.06×[0.4+(3.25-2.03)2]+0.04×[0.4+(3.75-2.03)2]+0.02×[0.4+(4.25-2.03)2]=1.113 6. 学科网（北京）股份有限公司 $