精品解析：吉林省松原市长岭县2024～2025学年下学期九年级第三次模拟测试 数学试卷

九年级第三次摸拟测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列两个数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 4和 2. 隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ） A. 过一点有无数条直线 B. 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 6. 图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：__________． 8. 一元二次方程根的情况是__________． 9. 如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度______米． 10. 如图，把平行四边形绕点A旋转得平行四边形，点落在边上，若，当，，三点共线时，度数为__________． 11. 如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为____________. 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 13. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球． （1）第一次取出的小球标号为3的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 14. 如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽． 15. 图①、图②、图③均是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成作图（保留必要的作图痕迹）． （1）如图①，作点A关于的对称点D； （2）如图②，作，垂足E； （3）如图③，M是上一点（点M不与点B、C重合），在上找一点N，使值最小． 16. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 17. 如图，直线与双曲线的一个分支交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求双曲线的解析式； （2）点在轴上，若，求点的坐标． 18. 某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分：84 90 90 91 91 91 91 92 94 96； b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； c．评委打分平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； （2）若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，求其余8名教师评委打分的平均数，并比较与原平均数的大小； （3）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数，平均数较大的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 91 92 92 92 92 乙 90 90 92 93 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是_____，表中k（k为整数）的值为 ． 19. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为______千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围． 20. 【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】小明根据所学知识，给出了如下不完整证明过程： 线段之间的数量关系为． 理由如下： ∵四边形是正方形， ，如图①，过点B作分别交于点G、F． ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 根据小明的解答思路，解答下列问题： （1）将过程补充完整； （2）上述证明过程中，证明四边形为平行四边形的理论依据为 ； 【结论应用】如图②，若图①的点M是的中点，且，其他条件不变，则的长为 ； 【问题拓展】如图③，将图①中的正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点A，交AD于点F．若E为边的中点，且，直接写出的值． 21. 如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒） （1）当点N落在边上时，求x的值； （2）求y关于x的函数解析式； （3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当，且轴时，求点Q的坐标； （3）当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； （4）当四边形是轴对称图形时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第三次摸拟测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列两个数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 4和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数． 【详解】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意； B、，，故和是互为相反数，符合题意； C、和，不是互为相反数，不符合题意； D、4和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 2. 隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减，积的乘方，同底数幂的乘法计算即可． 本题考查了整式的加减，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意； B. ，不是同类项，无法计算，错误，不符合题意； C ，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 4. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：． 5. 如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（ ） A. 过一点有无数条直线 B. 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直线的性质，根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定． 故选：C． 6. 图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．先利用平行线的性质可得，，然后根据等边对等角求得，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性质是解答本题的关键．根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 8. 一元二次方程根的情况是__________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 【详解】解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 9. 如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，延长交于H，根据矩形的性质得到米，米，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：延长交于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 即旗杆的高度米． 故答案为：12． 10. 如图，把平行四边形绕点A旋转得平行四边形，点落在边上，若，当，，三点共线时，的度数为__________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键，由图形旋转的性质可知，由平行四边形的性质可知，再用等腰三角形的性质推得，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】平行四边形绕点A旋转得平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了求不规则图形的面积，用到了扇形面积公式、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，根据题意得到，即可得到答案. 【详解】解：如图，设半圆与的交点为点E， 取的中点为点O，连接，设以A为圆心，为半径画弧交于点F， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 详解】解： ， ， 只能取， 当时，原式． 13. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球． （1）第一次取出的小球标号为3的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可 【小问1详解】 解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3， ∴第一次取出的小球标号为3的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图． 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种， ∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是． 14. 如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长和宽分别为， 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，能够在图形中找到隐含等量关系式是解决问题的关键．设小长方形的长和宽分别为、，根据图形中隐含的等量关系列出方程组并解之即可得解． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为、，根据图形可得： ， 解得：， 答：小长方形的长和宽分别为，． 15. 图①、图②、图③均是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成作图（保留必要的作图痕迹）． （1）如图①，作点A关于的对称点D； （2）如图②，作，垂足为E； （3）如图③，M是上一点（点M不与点B、C重合），在上找一点N，使的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，轴对称的性质等知识点，解题的关键是取出特殊格点． （1）根据网格特征结合轴对称的性质即可作图； （2）取格点，连接与交点即为点，可得，则根据对应角相等以及网格的特征即可证明； （3）取格点，连接，延长与交于点，连接与交点即为点，由（2）得，显然，则，那么，那么，则，故点关于的对称点为点，那么，则，根据两点间线段最短即可说理． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 【小问3详解】 解：如图，点即为所求： 16. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【答案】处距离处有140海里． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 17. 如图，直线与双曲线的一个分支交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求双曲线的解析式； （2）点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把点代入直线解析式求出，确定出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，设点的坐标为，则，由可得，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 解得：， ， 设双曲线的解析式为：， 把代入双曲线解析式得：， ， 双曲线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， 解得：， ， 设点的坐标为，则， ， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 18. 某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分：84 90 90 91 91 91 91 92 94 96； b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； （2）若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，求其余8名教师评委打分的平均数，并比较与原平均数的大小； （3）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数，平均数较大的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 91 92 92 92 92 乙 90 90 92 93 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是_____，表中k（k为整数）的值为 ． 【答案】（1）91；4 （2）比原平均数大 （3）甲，90 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数，一元一次不等式的应用． （1）根据众数以及中位数的定义解答即可； （2）根据算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （3）根据平均数的意义求出甲、乙的平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中可得关于k的不等式，解不等式，再根据k为整数即可得k的值． 【小问1详解】 解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数， 45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组； 故答案为：91；4； 【小问2详解】 解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为： ， ∴， ∴比原平均数大； 【小问3详解】 解：甲选手的平均数为， 乙选手的平均数为， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， ∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴k的值为90． 故答案为：甲，90． 19. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为______千瓦时； （2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）观察图象可直接得出答案； （2）设所对应的函数关系式为，将代入，用待定系数法求解即可； （3）分别求出在段消耗了10千瓦时的电量时和在段消耗了10千瓦时的电量时对应的路程即可． 【小问1详解】 解：由图可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； 【小问2详解】 设所对应的函数关系式为，将代入得 解得 ； 【小问3详解】 当在段消耗了10千瓦时的电量时， (千米) 当在段消耗了10千瓦时的电量时， （千米） ． 20. 【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】小明根据所学知识，给出了如下不完整的证明过程： 线段之间的数量关系为． 理由如下： ∵四边形是正方形， ，如图①，过点B作分别交于点G、F． ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 根据小明的解答思路，解答下列问题： （1）将过程补充完整； （2）上述证明过程中，证明四边形为平行四边形的理论依据为 ； 【结论应用】如图②，若图①的点M是的中点，且，其他条件不变，则的长为 ； 【问题拓展】如图③，将图①中正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点A，交AD于点F．若E为边的中点，且，直接写出的值． 【答案】解决问题：（1）见解析；（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；结论应用：1；问题拓展： 【解析】 【分析】解决问题：（1）根据正方形性质可证明，得到，即可进一步得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证； 结论应用：根据中点性质，以及线段间的关系即可求出结果； 问题拓展：如图，连接，根据轴对称图形的性质得，再根据平行线分线段成比例求出，进而求出，设，由折叠性质可得：，根据勾股定理求出，证明，再结合勾股定理分别求出，，即可得出结果． 【详解】解：解决问题：（1）四边形是正方形， ， 已证， 又， ， ， ， ， ，即； （2），， ， 又， 四边形为平行四边形， 则证明四边形为平行四边形的理论依据为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 结论应用：， ，则， 点M是的中点， ， 由， ， 故答案：1； 问题拓展：如图，连接， 由轴对称图形的性质可得：， ， ， ， 为边的中点，， ， ， ， 设， 由折叠性质可得：，， 则， 在中，，则， 解得：， ， ， 又， ， ，， ， ，即， 设，则，则， 在中，， 解得：或（负数舍去） ，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一元二次方程的求解，轴对称图形的性质，折叠性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 21. 如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒） （1）当点N落在边上时，求x的值； （2）求y关于x的函数解析式； （3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值． 【答案】（1）； （2）； （3）x的值为或． 【解析】 【分析】（1）作于点，证明，求得，，证明，求得，，根据，据此列式求解即可； （2）分当、和时，三种情况讨论，根据题意列式计算即可求解； （3）连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，分和时，两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当点N落在边上时，如图，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由题意得， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，点Q是AP的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，即， 解得； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，如图， ， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； 当时，如图， 由题意得， 同理，是的中位线， ∴，，， ∴， 综上，； 【小问3详解】 解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分， 当时，如图， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点Q是AP的中点， ∴， ∴， 解得； 当时，如图，作于点，直线交于点， 由（2）得， ∴， 同理，是的中位线， 同理，求得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上，x的值为或． 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当，且轴时，求点Q的坐标； （3）当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； （4）当四边形是轴对称图形时，直接写出m的值． 【答案】（1）； （2）点Q的坐标为； （3）或； （4）m的值为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得点M和点P的纵坐标都为1，解方程，即可求解； （3）根据题意求得点N的纵坐标为，再根据平行四边形的性质得到，求得，，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （4）要两种情况讨论，当平行四边形是菱形或矩形时，同（3）求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， ∵轴，且点Q的坐标为， ∴点M和点P的纵坐标都为1， 解方程， 得或（舍去）， ∴点Q的坐标为； 【小问3详解】 解：对于抛物线，顶点A的坐标为． ∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1， ∴点N的纵坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或； 【小问4详解】 解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，对角线与对角线互相垂直平分， ∵点Q的坐标为， ∴点N的纵坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点M与点A关于直线对称， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，， ∴， 设， , , , ∴， ∴， ∴， 同理得的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 综上，m的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$