精品解析：山东烟台市芝罘区（五四学制）2025-2026学年下学期期中阶段八年级数学试卷

初三数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数． 【详解】解：A、不符合上述条件②，即 =，故不是最简二次根式； B、不符合上述条件①，即=，故不是最简二次根式； C、符合上述条件，故是最简二次根式； D、不符合上述条件②，即= ，故不是最简二次根式． 故选C． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，8 C. 1，2，5，10 D. 2，3，5，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 4. 若，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 5. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，即， 故选：A． 6. 已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 将根代入方程求得或，但需满足一元二次方程的条件，即二次项系数不为零，排除． 【详解】解：∵方程有一个根为0， ∴代入得：， ∴， 解得或. 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故选：A． 7. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 由得，根据可得，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则，解得：． 故选：A． 8. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为， 种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， 矩形的面积为， 可列方程， 甲列的方程正确； 两条竖着的小路的长为，宽为， 两条竖着的小路的面积为， 横着的小路的长度为，宽为， 横着的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， 重叠部分的面积为， 小路的面积可表示为， 可列方程为， 乙列的方程错误； 综上所述，甲对、乙不对． 故选： A． 9. ，给出下面各式：①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简能力，运用二次根式的性质进行逐一化简、辨别． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴①式正确； ， ∴②式不正确； ， ∴③式正确； ， ∴④式不正确， 故选：D． 10. 关于的方程的两个根满足，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求解出两个根，再代入求解． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 代入得，， 解得． 11. 如图，菱形周长为6，对角线，的长度分别是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，，变形后代入求出m的值即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵对角线的长度分别是一元二次方程的两实数根， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，，不符合题意，舍去， 即． 12. 等腰中，，分别是、上的点，且，连接、交于点P，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作交于D，得到，进而得到，设，证明，得到，推出，进而得到，即可． 【详解】解：作交于D，如图， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形． 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 已知，则的值是_____． 【答案】##2.5 【解析】 【详解】解： ，即 ∴． 15. 一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 整理得， ∴或 解得，． 16. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 17. 一个三角形的三边长满足，周长是，则这个三角形的最长边的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据设，，，然后根据周长求出，进而求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长满足， ∴设，，， ∵周长是， ∴ ∴ ∴ ∴这个三角形的最长边的长度是． 18. 若方程两根为，则代数式的值等于_____． 【答案】 2027 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到的表达式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式化简后整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ，整理得， ， 的两根为，由根与系数的关系可得， ． 19. 已知为的三边，且，则的形状是_____． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】设比值为，利用比例的性质求出的值，再推导得到三边相等，即可判断三角形形状． 【详解】解：设， ∴， ∴， 为的三边， ， ， ∴， ，， ∴①，②， 得：，即， ， 同理可得， ， 是等边三角形． 20. 如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，根据平行线分线段成比例可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得：，即的长为． 三．解答题（共7题，满分60分） 21. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 23. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握完全平方公式、二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法、乘除法法则求出、，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 24. 设是实数，关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式判断即可； （2）首先求出方程的两根，然后根据两根都大于求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程 ∴ ∴方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴或 解得， ∵方程的两根都大于， ∴， 解得． 25. 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： （1）利用换元法解方程：； （2）若实数、满足，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【小问1详解】 解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； 【小问2详解】 解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 26. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 27. 认知基础：如图：，直线与平行线交于、、、、、，则，，……，即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： （1）如图1，，直线，交于点，与，分别交于、、、，若，，则的长度为_____； （2）如图2，中，，，，，，求的长； （3）如图3，中，，点在上，且，，，求的长度； （4）如图4，矩形中，，，点是对角线上一点，且，延长交于点，求的长． 【答案】（1）4 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先由得到，然后根据平行线分线段成比例求解； （2）根据平行线分线段成比例求解； （3）首先得到，然后证明出，然后利用相似三角形的性质求解； （4）由矩形得到，，，证明出，求出，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，即 ∴ ∵ ∴，即 ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴； 【小问4详解】 解：∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，8 C. 1，2，5，10 D. 2，3，5，8 4. 若，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 7. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 8. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 9. ，给出下面各式：①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 10. 关于的方程的两个根满足，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 1 11. 如图，菱形周长为6，对角线，的长度分别是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 等腰中，，分别是、上的点，且，连接、交于点P，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 14. 已知，则的值是_____． 15. 一元二次方程的解是_____． 16. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是__________． 17. 一个三角形的三边长满足，周长是，则这个三角形的最长边的长度是_____． 18. 若方程两根为，则代数式的值等于_____． 19. 已知为的三边，且，则的形状是_____． 20. 如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 三．解答题（共7题，满分60分） 21. 计算： （1）； （2） 22. 解方程： （1） （2） 23. 已知，，求的值． 24. 设是实数，关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有实数根； （2）若方程的两根都大于，求的取值范围． 25. 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： （1）利用换元法解方程：； （2）若实数、满足，求的值． 26. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 27. 认知基础：如图：，直线与平行线交于、、、、、，则，，……，即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： （1）如图1，，直线，交于点，与，分别交于、、、，若，，则的长度为_____； （2）如图2，中，，，，，，求的长； （3）如图3，中，，点在上，且，，，求的长度； （4）如图4，矩形中，，，点是对角线上一点，且，延长交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $