精品解析：山东省烟台市芝罘区2024-2025学年八年级下学期数学期中试题

初三数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则下列式子中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. cm，，， 6. 将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 8. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根的值为（ ） A. B. C. D. 10. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 11. 如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 12. 已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是( ) A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 无法计算 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 14. 如图，，，则的长度是________．     15. 若，则的值为_____． 16. 已知，则______． 17. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 18. 若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 19. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 20. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 三．解答题（共7题，满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 解方程： （1）； （2） 23. 如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长． 24. 已知， （1）分别求，的值 （2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①；② 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求的值． 26. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 27. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当t=_______时，四边形是矩形； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决问题的关键． 【详解】解：A、中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义逐项判断即可，即含有一个未知数，并且未知数的最高次幂是1的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：将方程整理，得，符合定义，所以A正确； 因为中未知数的最高次数是1次，不符合定义，所以B不正确； 因为不是整式方程，不符合定义，所以C不正确； 因为含有两个未知数，不符合定义，所以D不正确． 故选：A． 3. 已知，则下列式子中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据题意可设，（），代入各选项逐一验证是否恒成立即可． 【详解】解：∵， ∴可设，（）， A、，恒成立，故本选项不符合题意； B、．当时，分子，分母，此时分式无意义，等式不成立，故不一定成立，故本选项不符合题意； C、，恒成立，故本选项不符合题意； D、，，两边恒相等，恒成立，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及减法，乘法和除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. cm，，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 将方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握配方法的计算方法是解题的关键．根据配方法，先移项，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可得到的值． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 8. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 9. 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．根据方程的一个根为，代入求出参数的值，再解方程确定另一个根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴且， 解得：， ∴原方程变为， 解得或， ∴另一根为， 故选：D． 10. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 11. 如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 12. 已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是( ) A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的定义分为腰长以及底边长两种情况．①等为腰长时，将代入原方程可求出值，将值代入原方程解方程可得出底边长，再利用三角形的三边关系验证后可得出结论；②当为底边长时，根据根的判别式即可求出值，将值代入原方程解方程可得出腰长，再利用三角形的三边关系验证后即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】解：①若为腰，则、中必有一个与之相等，不妨设 为方程的一根 将代入，解得 ， 原方程为 ， 周长为 ②若为底，则、为腰，即 方程有两相等实根，即： ，解得： 原方程为： 即 ， ，，不能构成三角形． 综上，三角形的周长为． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：且． 14. 如图，，，则的长度是________．     【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 15. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 16. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得，再把的值代入计算即可求解，熟练运用完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵菱形面积为12， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为 故答案为：． 18. 若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数关系，利用根与系数关系得到，将方程的根m代入方程中得到，再利用整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵m和n是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，则， ∴， 故答案为：1． 19. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 20. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 三．解答题（共7题，满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握因式分解法，求根公式解一元二次方程是解题的关键． （1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：整理得， ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 因式分解得， ∴． 23. 如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，则可证明，由平行线分线段成比例性质可得，求出即可得到答案． 【详解】解：是边上的高线， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ． 24. 已知， （1）分别求，的值 （2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①；② 【答案】（1），； （2）①，②9． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减法和平方差公式计算即可； （2）①提公因式进行因式分解，然后代入求值； ②对分式进行通分，然后对分子进行变形，再代入求值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ① ； ② ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解，分式的化简，熟练掌握运算法则和乘法公式，对所求式子灵活变形是解题的关键． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求的值． 【答案】（1） 证明：， ，，， ； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根；； （2）4． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据根的判别式判断即可； （2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质讨论即可； 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：， ∴， ，， ， 为对角线， 由勾股定理得， 解得：． 26. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为10% （2）每千克甜瓜应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 27. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当t=_______时，四边形是矩形； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）t的值为2，，1，3 （3） 解：不存在，理由如下： 设，则， 即， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不成立， 即，不存在某一时刻t使得． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质；（1）由题意得，当时，四边形是矩形，据此建立方程组求解即可； （2）分三种情况讨论：①当，②当，③当，再根据等腰三角形的边相等列方程求解即可； （3）假设存在，利用勾股定理列方程，再利用根的判别式判断方程是否有解，有解假设成立，无解假设不成立． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：作于点M， 由题意，，，，， ①当时，， 即，解得，， ②当时， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ③当时， 由勾股定理得，， 即， 解得或3， 综上所述，t的值为2，，1，3； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $