精品解析：2026年河南太康县张集中学等校中招考试模拟数学试卷

名校之约—2026河南省中招考试模拟试卷数学（六） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 从左面观察如图所示的几何体，看到的几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 光速约为，太阳光照射到地球上大约需，地球与太阳的距离大约是（　　） A. B. C. D. 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 38，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 6. 已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　） A. b=﹣3 B. b=﹣2 C. b=﹣1 D. b=2 7. 图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的顶点，，按以下步骤作图：①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点 E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点H，则点H的坐标为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在正方形与等边三角形中，A，D，F三点在一条直线上，且，.若有一动点P沿着由E往D移动，则当的长度最小时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是_______． 12. 若一次函数的图象过点，且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：______． 13. 如图，一只松鼠先经过第一道门（，或），再经过第二道门（或）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是_____． 14. 如图，在扇形纸片中，，，点C是半径上的点，沿直线折叠得到，点O的对应点D落在上，图中阴影部分的面积为____． 15. 把一副直角三角板（含角的直角三角板及含角的直角三角板且）如图摆放在直线l上、点C与点E重合，边与边都在直线l上，将沿着直线l向右平移得到，当的边经过点D时，的平移距离为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：50米跑试测成绩（单位：分）依次是85 80 95 85 95 90 95 95 95 100 信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50米跑成绩（分） 91.5 95 a 35.25 立定跳远成绩（分） 91.5 b 90 35.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由． 18. 如图，一次函数、为常数，的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数且的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请观察图象，直接写出不等式的解集． （3）轴上是否存在点，使面积等于，若存在请求出点的坐标，不存在请说明理由． 19. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 20. 因“课后延时服务”的实施，多地中小学开设体育兴趣班，乒乓球拍的需求激增．某厂家紧急生产A，B两种型号乒乓球拍，若生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元；若生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元． （1）求每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别是多少元？ （2）经测算，A型乒乓球拍每个可获利元，B型乒乓球拍每个可获利元，该厂家准备用万元资金全部生产这两种乒乓球拍，总获利w元．设生产了A型乒乓球拍a个，且要求生产A型乒乓球拍的数量不少于B型乒乓球拍数量的3倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利． 21. 辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 22. 如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数，如图2，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： ．．． 0 ．．． ．．． 3 2.92 ．．． （1）①___________，___________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标； ②排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（友情提示：到轴的距离大于9米） 23. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校之约—2026河南省中招考试模拟试卷数学（六） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求一个分数的倒数，只须把个分数的分子和分母交换位置即可． 【详解】解：的倒数是； 故选B． 【点睛】本题考查倒数的概念，理解“求一个分数的倒数，只须把个分数的分子和分母交换位置”即可得出答案． 2. 从左面观察如图所示的几何体，看到的几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题中的几何体是柱体，从左面观察，看到的是它的侧面，是长方形，进而可得答案． 【详解】解：题中几何体为柱体，从左面观察，看到的是几何体的侧面，所以为长方形， 故选C 【点睛】本题考查从不同的方向观察几何体，较容易． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用合并同类项；单项式乘法运算法则；以及幂的乘方运算法则和同底数幂除法运算法则分别计算得出答案. 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C. 【点睛】此题考查了合并同类项，单项式乘法，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 4. 光速约为，太阳光照射到地球上大约需，地球与太阳的距离大约是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据速度乘以时间求出路程，然后根据科学记数法表示即可求解． 【详解】解：地球与太阳的距离大约为， 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握幂的运算是解题关键． 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 38，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】解：已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43， 42出现了2次，出现的次数最多， 众数为42． 已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43， 处在最中间的两位数为40，42， 中位数为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．解题的关键在于熟练掌握众数和中位数定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　） A. b=﹣3 B. b=﹣2 C. b=﹣1 D. b=2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据根的判别式可得：－40，则根据题意可得：C为假命题. 考点：根的判别式 7. 图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行得到，进而求出的度数，求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【详解】解：，都与地面l平行， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，已知的顶点，，按以下步骤作图：①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点 E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点H，则点H的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后由平行四边形的性质结合作图得到，然后利用等边对等角得到，进而求解看． 【详解】∵，， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 由作图可得， ∴ ∴ ∵点H在第二象限 ∴点H的坐标为． 故选：A． 【点睛】此题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，等边对等角，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 如图所示，在正方形与等边三角形中，A，D，F三点在一条直线上，且，.若有一动点P沿着由E往D移动，则当的长度最小时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作于点P，则此时的长度为最小值，可得，根据直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，即可求出结果． 【详解】解：过点C作于点P，则此时的长度为最小值， ∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，理解时，的长度为最小值是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于，求出的长，进而求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2025次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， ∴逆时针旋转后，得，以此类推，6次一个循环， ， ∴第2025次旋转后，点的坐标为， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到和，然后利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 12. 若一次函数的图象过点，且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数的解析式为，将点代入可得，再根据增减性可得，据此解答即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， ∵函数随自变量的增大而增大， ∴， 取，则写出一个符合要求的一次函数表达式为． 13. 如图，一只松鼠先经过第一道门（，或），再经过第二道门（或）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的只有种结果， ∴松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率为． 14. 如图，在扇形纸片中，，，点C是半径上的点，沿直线折叠得到，点O的对应点D落在上，图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据折叠性质可知等边三角形，然后再求出，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可得，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】主要是扇形面积的综合练习题，考查了折叠的性质，以及扇形面积的公式，灵活运用即可． 15. 把一副直角三角板（含角的直角三角板及含角的直角三角板且）如图摆放在直线l上、点C与点E重合，边与边都在直线l上，将沿着直线l向右平移得到，当的边经过点D时，的平移距离为____． 【答案】或 【解析】 【分析】当的边经过点D时，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出和的长，根据平移的性质得到，在Rt中利用锐角三角函数求出的长，最后根据计算平移距离，当经过点D时，求得即可求解． 【详解】解：当的边经过点D时，过点作于点  是含角的直角三角板，  是等腰直角三角形     由平移的性质可知，  在Rt中，     点与点重合   平移距离为 如图，当经过点D时， ∴ ， 即平移距离为， 综上所述，平移距离为或 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，依次化简各项后合并即可得到结果； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，分解因式后约分得到结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式 17. 小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：50米跑试测成绩（单位：分）依次是85 80 95 85 95 90 95 95 95 100 信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50米跑成绩（分） 91.5 95 a 35.25 立定跳远成绩（分） 91.5 b 90 35.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由． 【答案】（1）10；95；90 （2）小明应该选择50米跑，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了统计图，众数、中位数等知识，解题的关键是正确读懂统计图： （1）根据众数、中位数的定义求解即可；根据个得分所占百分比和为1得出关于m的方程，解方程即可； （2）对比各个统计量的大小，结合各个统计量所反映数据的变化特点，做出判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，立定跳远试测成绩中，得分为80分与85分的次数均为， ∴， ∴； ∵50米跑试测成绩中，得分为95分的次数最多， ∴50米跑试测成绩的众数为95分，即； 把立定跳远试测成绩按照从低到高排列为80 85 90 90 90 90 95 95 100 100， ∴立定跳远试测成绩的中位数为，即； 【小问2详解】 解：小明应该选择50米跑，理由如下： 解：从平均数和方差看，立定跳远和50米跑的成绩都一样，从中位数和众数看，50米跑的成绩高于立定跳远的成绩，故小明应该选择50米跑． 18. 如图，一次函数、为常数，的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数且的图象在第二象限交于点，轴，垂足为，若． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请观察图象，直接写出不等式的解集． （3）轴上是否存在点，使面积等于，若存在请求出点的坐标，不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，证明，求出点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个解析式，求出交点坐标，图象法解不等式即可； （3）设，利用，列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ，，， ∴ ， ， ∴， ， ， ， ∴点， ， ，解得， ∴一次函数为． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 联立，解得：或， ∴直线和双曲线的两个交点坐标为：； 由图象可知的解集是：或． 【小问3详解】 存在，设点，则：， ∴， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合应用，同时考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是是正确的求出函数关系式，利用数形结合的思想进行求解． 19. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 20. 因“课后延时服务”的实施，多地中小学开设体育兴趣班，乒乓球拍的需求激增．某厂家紧急生产A，B两种型号乒乓球拍，若生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元；若生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元． （1）求每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别是多少元？ （2）经测算，A型乒乓球拍每个可获利元，B型乒乓球拍每个可获利元，该厂家准备用万元资金全部生产这两种乒乓球拍，总获利w元．设生产了A型乒乓球拍a个，且要求生产A型乒乓球拍的数量不少于B型乒乓球拍数量的3倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利． 【答案】（1）每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别60元，80元， （2）当生产A型乒乓球拍个，生产B型乒乓球拍个时，总获利最大，最大为元 【解析】 【分析】（1）设每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别x元，y元，然后根据生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元；生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元列出方程组求解即可； （2）设生产了A型乒乓球拍a个，则生产了B型乒乓球拍个，根据生产A型乒乓球拍的数量不少于B型乒乓球拍数量的3倍求出，再根据利润单个利润数量列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别60元，80元， 答：每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别60元，80元； 【小问2详解】 解：设生产了A型乒乓球拍a个，则生产了B型乒乓球拍个， ∵要求生产A型乒乓球拍的数量不少于B型乒乓球拍数量的3倍， ∴， 解得； ∵A型乒乓球拍每个可获利元，B型乒乓球拍每个可获利元， ∴ ， ∵， ∴当时，w最大，最大为， ∴ ∴当生产A型乒乓球拍个，生产B型乒乓球拍个时，总获利最大，最大为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键． 21. 辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为3 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得，根据得，再证可得到即可的结论； （2）设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，，， ，， 设的半径为r，在中， ， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定及勾股定理的应用，添加辅助线和利用方程完成图形计算是解决问题关键． 22. 如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数，如图2，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）： ．．． 0 ．．． ．．． 3 2.92 ．．． （1）①___________，___________； ②求函数的解析式； （2）①排球的落点是，求点的坐标； ②排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（友情提示：到轴的距离大于9米） 【答案】（1）①2.82， 2.92；②； （2）①；②该运动员发球时没有踩线犯规． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）①根据对称性可求出n的值，求出函数解析式，代入可求出m的值； ②由①可得函数解析式； （2）①令求解即可； ②令求出x的值，与9比较大小即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∴． ， ． 把代入． ． ． 函数解析式：， 当时，． 故答案为： 2.82，2.92， ②由①知，； 【小问2详解】 解：①点在横轴上， ， ． （舍） 点的坐标． ② 当时， （舍）， 点到轴的距离为米 排球场地长为18米，左半场为9米， 说明该运动员发球时没有踩线犯规． 23. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【解析】 【分析】（一）由全等三角形的性质可得结论； （二）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （三）证明，得，由，得，进而可得结论： （四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（一）解：， ， 故答案为： （二）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （三）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $