精品解析：2026年甘肃省陇南市西和县晒经乡九年制学校普通高中招生考试大卷(仿真试卷) 数学(一)

机密★启用前 普通高中招生考试大卷（仿真试卷） 数学（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算的结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 7. 甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（ ） A. 甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B. 乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C. 甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D. 甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 8. 在平面直角坐标系中，已知，则点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 10. 如图甲，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图乙所示．则，的值为（ ） A. 7，10 B. 7，12 C. 8，12 D. 9，10 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 分式方程的解为______． 13. 某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是______元． 14. 如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则______． 15. 如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为_________． 16. 观察以下等式： 第1个等式：　　　　第2个等式： 第3个等式：　　　　第4个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________________； （2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明． 三、解答题（本大题共6个小题，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 21. 某城市公共交通系统推出一种新型的智能公交卡：每次刷卡乘坐公交车时，系统会随机给予乘客一个“幸运积分”，分值为1，2，5分，每个积分值出现的可能性均相等．嘉嘉每天上下班都需要乘坐公交车，因此嘉嘉一天内会刷卡两次． （1）用列表或画树状图法、求嘉嘉在某一天两次刷卡后当天累计积分为6分的概率的值； （2）淇淇认为嘉嘉连续两天的每天刷卡的总积分都为6分的概率为，你同意淇淇的看法吗？若同意给予证明，若不同意直接写出正确的概率值． 22. 如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），求湖泊两端，的距离（结果保留根号）． 四、解答题（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 2025年全国两会期间、“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为： ，根据世界卫生组织的标准，分类如表1所示，调查结果如表2所示： 表1 范围 分类 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 表2 分类 人数 体重过轻 10 体重正常 50 超重 30 肥胖 10 （1）小明身高为，指数为20，则小明的体重为______； （2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分； （3）根据以上图表，请你给出一条合理的建议． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， （1）求和的值 （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）求的面积． 25. 如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，，，若，，求的半径． 26. 问题情境 如图1，四边形是菱形，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点． 猜想证明 （1）如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由； 深入探究 （2）当直线与直线垂直时，直线分别与直线交于点，直线与线段交于点．若，求四边形的面积． 27. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 普通高中招生考试大卷（仿真试卷） 数学（一） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解： 的相反数为． 故选：A． 2. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 下列运算的结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 4. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个不相等的实数根得到判别式大于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 解得：， 综上，的取值范围是且． 5. 如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，掌握平行线的性质是关键． 根据垂直的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 6. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 7. 甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（ ） A. 甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B. 乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C. 甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D. 甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、方差、平均数等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据折线统计图、方差、平均数逐项分析计算即可解答． 【详解】解：A．观察甲酒店折线统计图，从2月到7月，其盈利数值依次为1，2，3，3，4，5（单位：十万元） ，呈现不断增长的趋势，该选项正确，不符合题意； B．乙酒店在7月盈利为4（十万元），且之前盈利有波动变化，若后续经营策略调整得当，盈利持续增长，是有可能很快超过甲酒店的，该选项正确，不符合题意； C．甲酒店月盈利平均数为；乙酒店月盈利平均数为；由，则甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数，该选项正确，不符合题意； D．甲酒店月盈利方差为，乙酒店月盈利方差为；由，则甲酒店月盈利的方差大于乙酒店月盈利的方差，该选项错误，符合题意． 故选D． 8. 在平面直角坐标系中，已知，则点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，平面直角坐标系，根据，建立二元一次方程组，求解出的值，再根据各象限点坐标的特点，即可得出结果． 【详解】解：， ， 解得：， 位于第二象限， 故选：B． 9. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 10. 如图甲，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图乙所示．则，的值为（ ） A. 7，10 B. 7，12 C. 8，12 D. 9，10 【答案】C 【解析】 【分析】观察图像可知，当时，点P与点B重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值为8；当时，此时，，过P点作于D点，根据面积公式求得，证明，列出比例式求得，进而可得 ， 【详解】解：观察图像可知，当时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以的速度从点C同时出发， ∴， ∵， ∴， 当时，此时，， 过P点作于D点，如图，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴P点是的中点， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再利用完全平方公式继续分解，直至不能再分解为止． 【详解】解： ． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是方程的解， 故答案为：． 13. 某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是______元． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这件商品的原价是x元，利用售价原价，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的原价是x元， 根据题意得：，解得：， ∴这件商品的原价是150元． 故答案为：150． 14. 如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质．正确运用所学的性质是解题的关键．连接，由可得，则，根据条件可求出的度数，由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：40． 15. 如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过M点作，根据等腰直角三角形的性质求出长，再根据角平分线性质可得长，由此得到正方形的边长，求出和长，根据得到，得出，从而可求长． 【详解】解：过M点作， ∵四边形是正方形，是对角线, ∴， ∴，， ∴． ∵平分， ∴． ∴正方形边长， ∴正方形对角线， ． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度． 16. 观察以下等式： 第1个等式：　　　　第2个等式： 第3个等式：　　　　第4个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________________； （2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、整式混合运算的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得： 故答案为：； （2）∵第1个等式：　　　　 第2个等式： 第3个等式：　　　　 第4个等式： … ∴第n个等式： ∵， ∴等式成立； 故答案为：，证明见解析． 【点睛】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算,分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． 三、解答题（本大题共6个小题，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算二次根式，再化简，最后合并即可得到答案． 【详解】解： 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的化简是关键． 根据分式的性质化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∴ 当时，原式 ． 20. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 21. 某城市公共交通系统推出一种新型的智能公交卡：每次刷卡乘坐公交车时，系统会随机给予乘客一个“幸运积分”，分值为1，2，5分，每个积分值出现的可能性均相等．嘉嘉每天上下班都需要乘坐公交车，因此嘉嘉一天内会刷卡两次． （1）用列表或画树状图法、求嘉嘉在某一天两次刷卡后当天累计积分为6分的概率的值； （2）淇淇认为嘉嘉连续两天的每天刷卡的总积分都为6分的概率为，你同意淇淇的看法吗？若同意给予证明，若不同意直接写出正确的概率值． 【答案】（1） （2）不同意，正确概率为 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）根据列表法求概率即可求解． （2）连续两天的刷卡结果是独立事件，可得等可能结果有种，而连续两天的每天刷卡的总积分都为分的情形有种，即可求解． 【小问1详解】 解：列表如下， 1 2 5 1 2 3 6 2 3 4 7 5 6 7 10 共有种等可能结果，其中嘉嘉在某一天两次刷卡后当天累计积分为6分的情形有种， ∴ 【小问2详解】 解：不同意，正确概率为 ∵连续两天的刷卡结果是独立事件， 每天积分和为分的概率均为， 因此连续两天的每天刷卡的总积分都为分的概率为： 22. 如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），求湖泊两端，的距离（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 答：湖泊两端，的距离为． 四、解答题（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 2025年全国两会期间、“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为： ，根据世界卫生组织的标准，分类如表1所示，调查结果如表2所示： 表1 范围 分类 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 表2 分类 人数 体重过轻 10 体重正常 50 超重 30 肥胖 10 （1）小明身高为，指数为20，则小明的体重为______； （2）以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分； （3）根据以上图表，请你给出一条合理的建议． 【答案】（1）51.2 （2）见解析 （3）建议中学生加强体育锻炼，控制体重 【解析】 【分析】（1）根据计算公式求解即可； （2）先求出超重的人数占比，再补全统计图即可； （3）从控制体重的方面阐述即可． 【小问1详解】 解：， ∴小明的体重为； 【小问2详解】 解：超重的人数占比为， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：建议中学生加强体育锻炼，控制体重． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， （1）求和的值 （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）一次函数解析式为；反比例函数解析式为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，在由可求出m的值，则可求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，即可得到n的值； （2）根据（1）所求可得反比例函数解析式，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （3）求出点C坐标得到的长，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵轴，垂足为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 把代入中得，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得反比例函数解析式为，点的坐标为，点的坐标为， 把点A和点B坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，，，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为6 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定以及利用相似三角形和三角函数求解圆半径，解题关键是通过角的等量代换证明切线，利用圆周角定理、相似三角形性质和三角函数关系计算半径。 （1）连接，，利用得到角相等，结合圆的半径相等及点是半圆中点推出，通过角的等量代换得出，依据切线判定定理证明结论。 （2）利用同弧所对圆周角相等得，结合已知的值得到的值，由直径所对圆周角是直角构建直角三角形，通过角的等量关系证明，根据相似三角形对应边成比例及已知的值求出、，进而得出，得到圆的半径。 【小问1详解】 证明：连接，，如图， ， ， ， ， ， 点是半圆的中点， ， ． ，即， ． 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， 是的直径， ， 在中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为6． 26. 问题情境 如图1，四边形是菱形，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点． 猜想证明 （1）如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由； 深入探究 （2）当直线与直线垂直时，直线分别与直线交于点，直线与线段交于点．若，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）或 【解析】 【分析】（1），理由：先根据菱形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得； （2）先证出点在同一条直线上，根据可得点在的延长线上或在线段上，再分两种情况：①当在的延长线上时，②当点在线段上时，解直角三角形求出和的长，然后结合图形，根据四边形的面积与和的面积关系求解即可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵在中，， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴菱形的高为， 由旋转的性质得：， ∴，， ∵直线与直线垂直， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴，， ∴点在同一条直线上， ∵在中，， ∴， ∴点在的延长线上或在线段上． ①如图，当在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 解得， ∴， ∵直线与直线垂直，， ∴与菱形的高相等，即， ∴， 在中，， 解得， ∴四边形的面积为 ； ②如图，当点在线段上时， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得， ∴， ∵直线与直线垂直，， ∴与菱形的高相等，即， ∴， 在中，， 解得， ∴四边形的面积为 ； 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确得出点的位置，分两种情况讨论是解题关键． 27. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3． 【解析】 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1． （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ． ∵﹣＜0， ∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）． （3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $