精品解析：安徽六安市舒城县2025-2026学年八年级下学期阶段评估(六) 数学(沪科版)A

数学（沪科版）A 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别是的三个内角所对的边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知点是平面直角坐标系内的一点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 2020 B. 2030 C. 2034 D. 2045 8. 当时，化简的结果为（ ） A. 4 B. C. －4 D. 9. 六个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则小长方形的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 12. 比较大小：_____3.5（填“”或“”或“”）． 13. 已知是一元二次方程的两个根，则_____． 14. （1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 用配方法解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． （1）利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； （2）在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 18. 小明在测量风筝离地面的垂直高度时，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②风筝线的长为15米；③小明牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.6米． （1）求风筝到地面的距离的长； （2）如果小明想要风筝沿方向再上升7米，且和的长度不变，求他应该再放出多少米线． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知． （1）求和的值； （2）利用（1）的结论求的值． 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 六、（本题满分12分） 21. 阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫做分母有理化． 问题： （1）的一个有理化因式是_____，的一个有理化因式是_____； （2）计算：； （3）已知，，试比较，的大小，并说理． 七、（本题满分12分） 22. 项目学习：商场如何定价，才能获得预期的日销售利润． 素材1：某商场以每件元的价格新进一批商品，当每件商品售价元时，每天可销售件； 素材2：当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件； 素材3：物价部门规定，该商场销售这种商品每件的利润率不得超过． 任务1： （1）当每件商品售价定为元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ 任务2： （2）设每件商品售价定为元时，则该商场每天可销售_____件商品（用含的式子表示）； 任务3： （3）在上述条件不变的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到元？ 八、（本题满分14分） 23. 综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】 （1）勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理：； 【定理应用】 （2）如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点到边的距离； （3）如图3，在中，，点是高上一点，．若,，求的长； 【拓展延伸】 （4）已知和均是等腰直角三角形，，如图4，连接，，若，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（沪科版）A 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意； B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； C、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，故符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、化简、加减、除法运算法则，逐一计算判断各选项即可． 【详解】解：A、； B、； C、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，； D、； 故选：A． 4. 已知分别是的三个内角所对的边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，可利用三角形内角和定理，直角三角形定义以及勾股定理的逆定理判断，验证三角形是否存在直角或满足勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：对于A选项，∵三角形内角和为，， ∴，解得， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； 对于B选项，设，，， ∵，解得， ∴，是直角三角形，本选项不符合题意； 对于C选项，∵，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； 对于D选项，设，，（）， ∵，， ∴，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形，本选项符合题意； 5. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的性质，对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可求解． 【详解】解：选项A：方程，， ， ∴方程无实数根，不符合题意； 选项B：方程，， ， ∴方程有两个相等实数根，符合题意； 选项C：方程， ， ， ∴方程有两个不相等实数根，不符合题意； 选项D：方程， ， ， ∴方程有两个不相等实数根，不符合题意． 6. 已知点是平面直角坐标系内的一点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵原点的坐标为，点的坐标为， ∴由勾股定理可得： ． 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 2020 B. 2030 C. 2034 D. 2045 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到b和c的关系式，再用整体代入法计算所求代数式的值. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 则． 8. 当时，化简的结果为（ ） A. 4 B. C. －4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，，运用完全平方公式将写成，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：A． 9. 六个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则小长方形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出式子． 设小长方形的宽为，由题意可得小长方形的长为，则大长方形的长和宽分别为，，再根据题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设小长方形的宽为，由题意可得小长方形的长为， 根据图形可得，大长方形的长和宽分别为，， 再根据大长方形的面积是，可得， 解得（负值舍去）， 则小长方形的周长为：， 故选：B 10. 我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 12. 比较大小：_____3.5（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】对两个正数分别平方，通过比较平方结果的大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：对两个正数同时平方得，， ∵， ∴． 13. 已知是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及其转化等知识点．根据一元二次方程根与系数的关系，代入对应系数得出根的和与积，根据完全平方公式转化得到，继而得到． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， 在一元二次方程中，，，， ∴，， ∴， ∴. 14. （1）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数，，称为勾股数．若5，13，是一组勾股数，则_____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】 ①. 12 ②. 200 【解析】 【分析】（1）根据勾股数的概念，分两种情况，列出方程，求解即可； （2）根据表中的数据可得，再根据勾股数的概念可得，，求得，即可． 【详解】解：（1）当最大时，由勾股数的概念可得，， 解得（负值舍去），不是正整数，舍去； 当13为最大边时，由勾股数的概念可得， 解得或（舍去），符合题意； （2）由表格得规律：， 根据勾股数的概念可得：，即， 将代入得， 解得， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运算乘法，以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 16. 用配方法解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式； 【详解】解：配方，得：x2﹣4x+4﹣4﹣1＝0 即（x﹣2）2＝5 ∴x﹣2＝ ∴ 【点睛】本题考查解一元二次方程．关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． （1）利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； （2）在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【小问1详解】 解：如图： ∴． 【小问2详解】 证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 18. 小明在测量风筝离地面的垂直高度时，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②风筝线的长为15米；③小明牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.6米． （1）求风筝到地面的距离的长； （2）如果小明想要风筝沿方向再上升7米，且和的长度不变，求他应该再放出多少米线． 【答案】（1）风筝到地面的距离的长为10.6米 （2）需要再放出的线长为5米 【解析】 【分析】（1）得出米，再由勾股定理可得米，即可得出结果； （2）风筝上升7米后，新的垂直高度米，米不变，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，，，米， 根据勾股定理得（米）， （米）， 答：风筝到地面的距离的长为10.6米； 【小问2详解】 解：风筝上升7米后，新的垂直高度米，米不变． 在中，根据勾股定理得（米）， 需要再放出的线长为（米）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知． （1）求和的值； （2）利用（1）的结论求的值． 【答案】（1）4，1 （2）98 【解析】 【分析】（1）直接把分别代入和计算， （2）由（1）得，再代入计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意， ． 则 ． 【小问2详解】 解：由（1）得， 20. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长为16或14 【解析】 【分析】（）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式大于0； （）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况． 【小问1详解】 证明：对于方程， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ，解得， 该等腰三角形的两条边长分别为和， 已知等腰的一边长为5，分两种情况讨论： ①当时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为； ②当时，，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为； 综上，的周长为16或14． 【点睛】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等腰三角形在没告诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论． 六、（本题满分12分） 21. 阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫做分母有理化． 问题： （1）的一个有理化因式是_____，的一个有理化因式是_____； （2）计算：； （3）已知，，试比较，的大小，并说理． 【答案】（1）； （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【小问1详解】 解：的一个有理化因式是，的一个有理化因式是； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 项目学习：商场如何定价，才能获得预期的日销售利润． 素材1：某商场以每件元的价格新进一批商品，当每件商品售价元时，每天可销售件； 素材2：当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件； 素材3：物价部门规定，该商场销售这种商品每件的利润率不得超过． 任务1： （1）当每件商品售价定为元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ 任务2： （2）设每件商品售价定为元时，则该商场每天可销售_____件商品（用含的式子表示）； 任务3： （3）在上述条件不变的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到元？ 【答案】（1）每天可销售件商品，商场获得的日盈利是元 （2） （3）每件商品售价为元时，商场日盈利可达到元 【解析】 【分析】（1）根据每涨价元，日销售量就减少件，先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）根据每涨价元，日销售量就减少件列代数式即可； （3）设每件商品售价定为元，根据每涨价元，日销售量就减少件，盈利达到元，列方程求出的值，根据利润率不得超过性质符合题意的值即可； 【小问1详解】 解：∵每件商品售价元时，每天可销售件，高于元时，每涨价元，日销售量就减少件， ∴售价定为元时，每天可销售（件）， ∴日盈利为（元）． 答：每天可销售件商品，商场获得的日盈利是元． 【小问2详解】 解：设每件商品售价定为元， ∴商场每天可销售件． 【小问3详解】 解：设每件商品售价定为元， ∵商场日盈利达到元， ∴， 整理得，， 解得：，， ∵这种商品的利润率不得超过， ∴， ∴． ∴每件商品售价为元时，商场日盈利可达到元． 八、（本题满分14分） 23. 综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】 （1）勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理：； 【定理应用】 （2）如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点到边的距离； （3）如图3，在中，，点是高上一点，．若,，求的长； 【拓展延伸】 （4）已知和均是等腰直角三角形，，如图4，连接，，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用两种不同的形式表示大正方形的面积，即可验证勾股定理：； （2）借助网格求出的面积和的长度，根据三角形的面积公式可得，即可求出点到边的距离； （3）由可知，根据等角对等边可得，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理即可求出的长度； （4）过点作于，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，所以可得，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 解：外面大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ， 整理得：； 【小问2详解】 解：， 如下图所示，过点作于， 由勾股定理得， ， 解得：， 点到边的距离为； 【小问3详解】 解：，， ， ， 在中，由勾股定理得， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 即； 【小问4详解】 解：如下图所示，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $