安徽六安市舒城县仁峰实验学校2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

安徽省六安市舒城县仁峰实验学校2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．6 3．（4分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 4．（4分）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）若，是一元二次方程的根，则（　　） A．7 B． C．10 D． 6．（4分）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 7．（4分）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（　　） A．， B．， C． D． 8．（4分）已知，化简二次根式的正确结果为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图，在△中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（　　） A． B． C．或 D．或 10．（4分）如图，在△中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．下列说法错误的是（　　） A．垂直平分 B．△的周长为8 C．的长是 D．△的面积为 二、填空题（本大题共4小题；每小题5分，满分20分） 11．（5分）一元二次方程的解是　　 ． 12．（5分）比较大小：　　 ． 13．（5分）若，是一元二次方程的两根，则的值为　　 ． 14．（5分）如图，在△中，，平分交于点． （1）若，则　　 ； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为　　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：． 16．（8分）解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 18．（8分）如图，在网格中，已知格点（网格线的交点）线段． （1）线段的长为　　 ； （2）画格点△，使△是等腰三角形，且是钝角； （3）画格点△，使． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）如图，已知线段的长度为1，以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；，照此方法一直作图下去． 【填空】　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； 【猜想】　　 ；（用含的式子表示） 【应用】 （1）　　 ；（化简） （2）求的值． 20．（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 六、（本题满分12分） 21．（12分）已知，． （1）求和的值； （2）请直接利用（1）的结果． ①求的值； ②求的值． 七、（本题满分12分） 22．（12分）滁菊是安徽滁州特有的菊花，在我国药用菊花中排名第一．某抖音主播以每罐克）20元的价格新进一批滁菊，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐．后来经过市场调查发现，每罐滁菊的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种滁菊的售价为元． （1）该抖音主播每天售出滁菊　　 罐；（用含的式子表示） （2）抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过，若该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，求该种滁菊每罐的售价． （3）在（2）的条件下，抖音主播为回馈粉丝，每天从利润中拿出510元返还给购买滁菊的粉丝，求抖音主播实际是按照原售价的几折出售？ 八、（本题满分14分） 23．（14分）【材料学习】在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是　　 ； ．函数思想 ．分类讨论思想 ．数形结合思想 ．整体思想 （2）如图3，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图4，在四边形中，，过点作交于点，连接．若，，，求的长度（结果保留根号）． 安徽省六安市舒城县仁峰实验学校2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B A C D B C D 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行判断． 【解答】解：，，， 与是同类二次根式． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2．（4分）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．6 【分析】把代入，然后解关于的方程即可． 【解答】解：把代入程得， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（4分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：、因为，所以不能构成直角三角形； 、因为，所以不能构成直角三角形； 、因为，所以能构成直角三角形； 、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．（4分）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】、、选项均根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可； 选项根据算术平方根的定义进行判断即可． 【解答】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； ．的算术平方根是，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 5．（4分）若，是一元二次方程的根，则（　　） A．7 B． C．10 D． 【分析】利用一元二次方程的两根之和等于，即可求出的值． 【解答】解：，是一元二次方程的根， ． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 6．（4分）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【分析】由数轴得，，进一步得出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 7．（4分）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（　　） A．， B．， C． D． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【解答】解：， ， ， 则，即 ，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 8．（4分）已知，化简二次根式的正确结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定、的取值，最后再化简即可． 【解答】解：， ，或，， 又有意义， ， ，， 当，时，， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定、的取值． 9．（4分）如图，在△中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】根据勾股定理求出的长，得出的长，再在△中，由勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：由勾股定理得，， ， 在△中，由勾股定理得， ， 即， 解得或， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 10．（4分）如图，在△中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．下列说法错误的是（　　） A．垂直平分 B．△的周长为8 C．的长是 D．△的面积为 【分析】、利用等腰三角形的性质证得垂直平分，、把△的周长转化为求即可，、先求的长，利用求得结论，、求得边上的高，即可求△的面积． 【解答】解：、， ， ， ， 平分， ， 在△和△中， ， △△， ， 平分， 垂直平分， 故选项正确； 、△中，勾股定理得， ，， ， △△， ， ，， △的周长， 故选项正确； 、如图，设与相交于点， △中，设，则， 勾股定理得， 解得， 即， △中，， ， ， 解得， ， 故选项正确； 、如图，过点作，垂足为， ， ， 解得， ， 故选项错误， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题；每小题5分，满分20分） 11．（5分）一元二次方程的解是， ． 【分析】利用直接开平方法解方程得出即可． 【解答】解：， ， 解得：，． 故答案为：，． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． 12．（5分）比较大小：　　 ． 【分析】分别估算、的取值范围，即可得出、的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 13．（5分）若，是一元二次方程的两根，则的值为　　 ． 【分析】利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入原式中，即可求出结论． 【解答】解：，是一元二次方程的两根， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 14．（5分）如图，在△中，，平分交于点． （1）若，则　100　 ； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为　　 ． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论； （2）在取点，使，连接，，过点作于，利用三角形内心的定义可得出，利用证明△△，得出，则 ，当、、三点共线时，最小，最小值为，利用含 的直 角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【解答】解：（1），平分交于点， ， ， ； 故答案为：100； （2），， ， 在取点，使，连接，，过点作于， 平分交于点， ， 又， △△， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为， ，， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：． 【分析】先根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 16．（8分）解方程：． 【分析】先把方程写成一般式，再用配方法解方程． 【解答】解：由题意得，， ， ， ， 解得：，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 【分析】设的长度为尺，则尺，在△中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设的长度为尺，则尺， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 18．（8分）如图，在网格中，已知格点（网格线的交点）线段． （1）线段的长为　　 ； （2）画格点△，使△是等腰三角形，且是钝角； （3）画格点△，使． 【分析】（1）利用勾股定理计算即可． （2）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． （3）画以点为直角顶点或点为直角顶点的等腰直角三角形即可． 【解答】解：（1）由勾股定理得，． 故答案为：． （2）如图，△即为所求． （3）如图，△即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）如图，已知线段的长度为1，以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；以为直角边作等腰直角△，；，照此方法一直作图下去． 【填空】 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； 【猜想】　　 ；（用含的式子表示） 【应用】 （1）　　 ；（化简） （2）求的值． 【分析】【填空】根据等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍，依次求值即可； 【猜想】观察填空中的数值，发现规律，归纳出通用公式； 【应用】（1）借助猜想中的公式化简即可； （2）借助公式求前10项的和． 【解答】解：【填空】由题意可得， ， ， 即等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍， 同理可得，，，，， 故答案为：，2，，4，，8； 【猜想】由填空发现，， 故答案为：； 【应用】（1）， 故答案为：； （2） ． 【点评】本题考查了勾股定理，列代数式，规律型：图形的变化类，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 20．（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根， △，即， 解得； （2）是方程的一个实数根， ， ， ， ， 整理得：， 解得，， 又由（1）可知， ． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21．（12分）已知，． （1）求和的值； （2）请直接利用（1）的结果． ①求的值； ②求的值． 【分析】（1）先利用完全平方公式计算出，，然后利用二次根式的加法运算计算的值，利用平方差公式计算的值； （2）①利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算； ②利用通分和完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1），， ； ； （2）①； ②． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算． 七、（本题满分12分） 22．（12分）滁菊是安徽滁州特有的菊花，在我国药用菊花中排名第一．某抖音主播以每罐克）20元的价格新进一批滁菊，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐．后来经过市场调查发现，每罐滁菊的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种滁菊的售价为元． （1）该抖音主播每天售出滁菊　　 罐；（用含的式子表示） （2）抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过，若该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，求该种滁菊每罐的售价． （3）在（2）的条件下，抖音主播为回馈粉丝，每天从利润中拿出510元返还给购买滁菊的粉丝，求抖音主播实际是按照原售价的几折出售？ 【分析】（1）结合每天可售出200罐，每罐滁菊的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，进行列式化简，即可作答； （2）根据数量乘单件利润等于获利1700元，进行列式计算，即可作答； （3）结合由（2）知每罐滁菊的售价为30元，每天能售出170罐，再设实际是按照原售价的折出售，依题意进行列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）根据题意列方程得， 整理得， 解得，． ， ， 不符合题意，舍去， ． 答：该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元； （3）由（2）知每罐滁菊的售价为30元，每天能售出170罐， 设实际是按照原售价的折出售， 根据题意列方程得，， 整理得，， 解得． 答：抖音主播实际是按照原售价的九折出售． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题意，找准等量关系． 八、（本题满分14分） 23．（14分）【材料学习】在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 【问题解决】 （1）材料中的方法体现的数学思想是　　 ； ．函数思想 ．分类讨论思想 ．数形结合思想 ．整体思想 （2）如图3，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程； 【灵活应用】 （3）如图4，在四边形中，，过点作交于点，连接．若，，，求的长度（结果保留根号）． 【分析】（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）根据列出关系式，进而得出结论； （3）根据平行线的性质得到，求得，得到，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：； （2）证明：如图，连接， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， 过点作于点， ， 在△和△中， ， ， （负值舍去）． 【点评】此题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $