第10章 二元一次方程组单元复习（3大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理二元一次方程组知识体系，以表格形式对比代入消元法、加减消元法、整体换元法的适用条件与步骤，清晰呈现概念辨析、解法应用、实际建模的内在逻辑，突出消元思想与等量关系构建的重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如概念辨析采用“三步判断法”培养抽象能力，培优题型如整体换元法解方程组渗透数学思维，压轴题型如方案设计应用题强化模型意识。配套易错点提醒与解题模板，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第10章 二元一次方程组 知识点1：二元一次方程（组）相关概念 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，一般形式：。 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解。 2.二元一次方程组 定义：共含两个未知数的两个一次整式方程组成的方程组。 解：两个方程的公共解，用大括号联立表示。 3.三元一次方程组 定义：含三个未知数，每个方程未知项次数为1，共三个方程的方程组。 解法：消元→二元一次方程组→再消元→一元一次方程。 知识点2：二元一次方程组的解法（核心：消元思想） 解法 适用条件 一般步骤 代入消元法 某未知数系数为±1或易表示 1.变形：用一个未知数表示另一个 2.代入：代入另一方程 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 加减消元法 同一未知数系数相等/互为相反数 1.化系数：变为相等或相反 2.加减：消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 整体/换元法 含相同整体式子 1.设整体为新元 2.解新元方程组 3.回代求原未知数 知识点3：列二元一次方程组解应用题 1.步骤：审题→找两个等量关系→设元→列方程组→求解→检验→作答。 2.常见等量关系： 行程：路程=速度×时间；顺流速度=静水速度+水速，逆流速度=静水速度−水速。 利润：利润=售价−进价；总价=单价×数量。 工程：工作总量=工作效率×工作时间。 数字：两位数=10×十位数字+个位数字。 配套：加工总量成固定比例。 【基础必考题型】 【题型1】二元一次方程（组）概念辨析 1.核心知识点: 二元一次方程三要素：两个未知数、次数为1、整式方程 二元一次方程组定义：共两个未知数、均为一次、整式方程 2.解题方法技巧: 三步判断法：一看未知数个数（必须是2个），二看未知项次数（必须都是1），三看是否为整式方程（分母不含未知数、无根号、无乘积项）。 快速排除：只要出现、、、，直接判定不是二元一次方程。 方程组判断：只要两个方程共含两个未知数，且每个方程都是一次整式，即为二元一次方程组。 【例题1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若是关于的二元一次方程，则应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此判断的系数不能为0，即可得到满足的条件． 【详解】解：方程是关于、的二元一次方程， ． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题关键是整理方程后，保证含项的系数不为． 要使方程是关于，的二元一次方程，需先整理方程，保证，的系数不为，且方程含两个未知数． 【详解】解：将原方程移项得，合并同类项得， ∵这是关于，的二元一次方程， ∴的系数，即. 故答案为：. 【变式题1-2】.（24-25七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义，判断各选项是否满足两个条件：①含有两个未知数；②每个方程都是整式方程且次数为1，即可． 【详解】解：选项A：方程组含三个未知数，不符合“二元”条件，故本选项不符合题意． 选项B：第二个方程含二次项，次数不为1，故本选项不符合题意． 选项C：第二个方程含二次项，次数不为1，故本选项不符合题意． 选项D：两个方程均为一次方程，且仅含两个未知数，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的概念； ②，符合二元一次方程组的概念； ③中，中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念； ④中，不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念； ⑤，符合二元一次方程组的概念； 综上，①②⑤是二元一次方程组． 故选：A． 【题型2】方程（组）的解判断与代入求值 1.核心知识点: 解的定义：代入后左右两边相等 已知解求参数：将解代入方程建立等式求解 2.解题方法技巧: 代入检验法：将每组解依次代入方程，左右两边相等即为方程的解。 已知解求参三步走：①代入方程；②整理得到关于参数的一元一次方程；③解方程求出参数。 快速口算：优先代入整数解，简化计算，避免复杂分数运算出错。 【例题2】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为____． 【答案】1 【分析】将代入二元一次方程求解即可． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程的一个解， ， ． 【变式题2-1】.（24-25八年级上·广东清远·期末）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A.将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将代入得，，该选项是方程的解，符合题意； D. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东河源·月考）若是方程组的解，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 【培优高频题型】 【题型3】整体代入/换元法解特殊方程组 1.核心知识点: 整体思想 换元简化复杂结构运算 2.解题方法技巧: 整体识别：看到重复出现的式子（如、），直接当作一个整体。 换元步骤：设新元→解新元方程组→回代求原未知数，三步缺一不可。 整体代入优先：不用拆开整体，直接代入另一个方程，大幅简化计算。 易错提醒：换元后必须回代，不能把新元的值当作原方程组的解。 【例题3】.（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知方程组，则的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键在于运用整体思想简化运算，无需单独解出x、y的具体值．通过将方程组两式相加，直接凑出目标式的整体值，再代入即可求解． 【详解】解： 将，得 两边同时除以，得 ， ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】根据题意易得关于的二元一次方程组的解满足，进行求解即可. 【详解】解：由题意，关于的二元一次方程组的解满足， 解得. 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用“换元法”解二元一次方程组． （1）设，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，求出方程组的解，进一步求解即可； （2）令，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，进一步求解即可． 【详解】解：（1）设， 则方程组变为：， ∵的解是， 解得， 解得； （2）整理方程组得， 令， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴， 解得． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 【题型4】同解方程组问题 1.核心知识点: 同解：一组解同时满足所有方程组 联立无参方程求公共解 2.解题方法技巧: 解题模板：先把不含参数的两个方程联立，求出公共解，这是唯一突破口。 代入求参：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组，解出参数。 拓展应用：公共解还可代入代数式求值，注意指数奇偶性判断符号。 【例题4】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【答案】， 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，进而求出a、b的值即可． 【详解】解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组与的解相同， ∴， 由得：， ， 将代入①中得：， 解得：， ∴． （2）解：∵由（1）得， ∴将代入，得， 由得：， ， 将代入①中得：，解得：， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据题意可得和，解得，则，解得，代入计算即可． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组与的解相同， ∴方程组可重新分配为和， 解得， 将代入得， 解得， ∴． 【题型5】整数解/正整数解问题 1.核心知识点: 方程变形用一个未知数表示另一个 整数、正整数限定条件 2.解题方法技巧: 变形技巧：把方程化为或的形式，方便列举。 范围限定：根据“正整数”要求，列出不等式，确定未知数的取值范围。 列举筛选：在范围内逐一试值，保留符合要求的解，不重不漏。 实际应用：购物、分配问题中，解必须为正整数，且符合实际意义。 【例题5】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【答案】(1)34 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解一元一次方程，二元一次方程． （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出，再解方程即可； （3）根据法则得出，再根据x和y都是正整数，求出正整数的值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：34； （2）解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：； （3）解：由， 得， 整理得，即， 和y都是正整数， 或或或． 【变式题5-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及整数解问题．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 通过消元法求出方程组的解，再根据方程组的解为整数可求出的值. 【详解】解：解方程组得 因为方程组有整数解， 所以和是整数．又因为m为正整数， 所以为10和15的公约数，且是正整数， 所以， 解得， 所以． 【题型6】行程、利润、配比综合应用题 1.核心知识点: 行程、利润、配比等量关系 方程组建模求解与检验 2.解题方法技巧: 行程问题：画线段图，分清顺流/逆流、相遇/追及，路程相等是核心。 利润问题：列表格，理清单价、数量、总价、利润，公式记牢不混淆。 配比问题：混合前后总量不变、纯物质（溶质）总量不变，列两个方程。 双检验：检验方程解是否正确，检验解是否符合实际意义。 【例题6】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走千米，下坡每小时走千米，平路每小时走千米．去时走了分钟，回程走了分钟．设去时上坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路返回时去时上坡变为回程下坡，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可． 【详解】解：速度单位为千米/小时，需统一单位，， 去时：上坡路程为，速度为，用时，平路路程为，速度为，用时，总时间为， ∴ 回程：原路返回，去时的上坡路变为下坡路，平路长度不变，因此下坡路程为，速度为，用时，平路用时仍为，总时间为， ∴； ∴可列方程组． 【变式题6-1】.（2026·河南驻马店·二模）某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． (1)求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． (2)现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 【答案】(1)A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元 (2)6件 【分析】（1）设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件．分别列出甲乙两商店所需的费用，然后根据费用一样建立一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元． 依题意得 解得 答：A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元． （2）解：设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件． 则在甲商店购买总费用为， 在乙商店购买总费用为． 当时， 解得． 答：购买6件A种劳动工具时，在甲、乙两商店购买的总费用一样． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【答案】生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人， 根据题意，得，解得 答：生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人． 【变式题6-3】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某经销商销售A，B两种品牌的教学设备，这两种品牌的教学设备的进价和售价如下表所示： A B 进价/（万元/套） 1.5 1.2 售价/（万元/套） 1.65 1.4 已知该经销商计划购进这两种品牌的教学设备若干套，共需66万元，全部售出后可获毛利润9万元．求该经销商计划分别购进A，B两种品牌的教学设备多少套．[毛利润＝（售价－进价）×销售量] 【答案】该经销商计划购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，根据总进价和总毛利润的等量关系列方程组求解是解题的关键． 设购进品牌设备套，品牌设备套，根据总进价为66万元和总毛利润为9万元，列出二元一次方程组，求解得到和的值． 【详解】解：设该经销商计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套， 依题意，得 解得 答：该经销商计划购进品牌的教学设备套，品牌的教学设备套． 【题型7】几何图形与方程组综合 1.核心知识点: 线段、角度、周长、面积公式 图形性质列方程组 2.解题方法技巧: 设元技巧：用、表示边长、角度、长宽等未知量。 几何等量：利用周长公式、面积公式、内角和、对顶角相等列方程。 长方形/正方形：边长关系、周长关系、面积差直接转化为等式。 单位统一：长度单位一致，角度用度，计算结果保留合理形式。 【例题7】.（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·重庆·自主招生）如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形．若，则图中阴影部分面积之和为_____． 【答案】6 【分析】设小长方形的长为，宽为，由图可知，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知，． 又∵， ， 解得， 大长方形的长， 图中阴影部分面积之和为：． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【答案】小长方形的长为，宽为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·吉林白城·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式容器150个，横式容器475个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张），（张）． 故答案为：7；3． （2）设加工的竖式容器个，横式容器个， 根据题意，得 解得： 答：加工的竖式容器150个，横式容器475个． 【压轴素养题型】 【题型8】方案设计与最优选择应用题 1.核心知识点: 方程组求单价、效率等不变量 不等式确定方案范围，选最优解 2.解题方法技巧: 先定不变量：用方程组求出单价、成本、效率等固定值。 再定范围：设数量为未知数，根据“非负、整数、不超预算”列不等式。 列举方案：写出所有整数方案，计算成本/利润/时间。 最优选择：成本最低选最小，利润最高选最大，时间最短选最快。 【例题8】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）劳动课上，老师给每组同学一根长的竹竿，要求全部用完，且截成长和长两种规格均有的竹段．设某种截法中长的竹段有a根，则a的值可能有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．10种 【答案】A 【分析】先根据竹竿总长度列出等式，再结合两种规格均有的要求，得到a、b均为正整数，据此列举出a的所有可能值，统计个数即可． 【详解】解：设长的竹段有根，根据题意得： ， ∴， ∵两种规格均要有， ∴，均为正整数， ∴，，，， ∴a的值可能有种． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 【答案】 租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 【分析】设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； 【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖南益阳·期末）2025年“湘超”联赛（湖南省足球联赛）的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 【答案】(1)A类足球单价为85元，B类足球单价为80元 (2)选择乙供应商更便宜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据两种购买方案的花费条件，设A、B类足球单价为未知数，列二元一次方程组，利用消元法求解单价； （2）分别按照甲、乙供应商的优惠规则，计算购买指定数量足球的总费用，通过比较费用大小确定更优惠的供应商． 【详解】（1）解：设A类足球的单价为x元，B类足球的单价为y元 根据题意得， ， 解得， 答：A类足球单价为85元，B类足球单价为80元； （2）解： ∵买5个A类足球送1个B类足球，购买30个A类足球， ∴可赠送B类足球的数量为（个） ∴需要购买B类足球的数量为（个） 甲供应商的总费用为（元） 乙供应商的总费用 为（元）， ∵， ∴选择乙供应商更便宜． 答：选择乙供应商更便宜． 【题型9】三元一次方程组解法与应用 1.核心知识点: 三元消元思路：三元→二元→一元 三个等量关系列方程组 2.解题方法技巧: 消元选择：优先消去系数最简单、出现次数最少的未知数。 分步消元：先消一个元得二元方程组，再消元得一元方程。 回代顺序：从最后求出的未知数依次往前回代，步骤清晰。 应用场景：三个未知量、三个独立条件，必用三元方程组。 【例题9】.（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】将，；，；，分别代入，得到三元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】将，；，；，分别代入 得，， 解得． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【答案】(1)x的值为2800，y的值为3 (2)至少要卖334件 (3)170元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和三元一次方程组的实际应用，找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“月总收入基本工资计件奖金”列出二元一次方程组，即可求解； （2）设小潮当月卖服装m件，根据“小潮某月的总收入不低于3800元”列出一元一次不等式，再根据m实际意义，即可求解； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元，列出方程组，整理得出，即为所求解． 【详解】（1）根据题意得：， 解得， 则x的值为2800，y的值为3； （2）设小潮当月卖服装m件， 根据题意得：， 解得， 又 为正整数， 的最小值为334， 则小潮当月至少要卖服装334件； （3）设甲单价为a元，乙单价为b元，丙单价为c元， 根据题意得：， 整理得， 即购买甲、乙、丙各一件共需170元． 故答案为170． 【变式题9-3】.（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 【题型10】定义新运算与方程组综合 1.核心知识点: 新运算规则转化为等式 列方程组求参数、、 2.解题方法技巧: 照猫画虎：严格按题目定义列式，直接代入数值。 转化思想：把新运算题目转化为熟悉的二元/三元方程组。 先求参数：求出、、后，再计算要求的新运算结果。 检查顺序：代入、计算、符号三步逐一核对，避免低级错误。 【例题10】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)的值为； (2)的值为或． 【分析】（）先解方程与方程，然后根据“和方程”可得，进而问题可求解； （）设另一个方程的解为，由题意得，则或，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为； （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，解二元一次方程组； （1）根据，进行计算即可求解； （2）根据，得出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据，列出方程组，求出方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 解得： （3）解：根据题中的新定义得： ①+②得：， 解得， 将代入①得 ∴ 【变式题10-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)具有友好关系．理由见解析 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 易错点 概念误判：把含项、分式、未知数次数≠1的方程当作二元一次方程。 2.消元出错：代入漏乘、加减只加减部分项、移项不变号、去括号符号错误。 3.书写不规范：方程组的解不用大括号联立，、顺序颠倒。 4.应用忘检验：未验证解是否为非负数、整数，不符合实际意义直接作答。 5.换元不回代：求出新元值，直接当作原方程组的解，忘记回代。 重点 1.二元一次方程（组）的概念、解的判断与代入求值。 2.代入消元法、加减消元法解二元一次方程组。 3.从生活、传统文化、几何情境中列二元一次方程组。 4.整体代入、换元等简便计算方法。 难点 1.含参数方程组的解的讨论与参数求解。 2.复杂情境、图表、跨学科题目的等量关系挖掘。 3.创新题型（新运算、探究题）的数学建模。 4.三元一次方程组的消元策略与实际应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题的关键是明确二元一次方程组需满足的条件：含有两个未知数、每个方程都是整式方程、未知数的最高次数为1． 根据二元一次方程组的定义，逐一分析每个选项是否符合条件． 【详解】解： A、方程为二次方程，不符合一次方程要求； B、含有三个未知数，不是二元方程组； C、方程不是整式方程； D、方程组含有两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数的最高次数为 1， 符合二元一次方程组的定义． 故选：D． 2．方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 3．已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 【答案】D 【分析】把x、y的值代入，得出关于m、n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴ ，得， ∴ 4．明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【详解】解：设肉元/斤，鱼元/斤，根据题意得， ． 二、填空题 5．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 6．方程是关于，的二元一次方程，则__________． 【答案】5 【分析】根据二元一次方程的定义，可得y的次数为1，x的系数不为0，据此列出方程与不等式，求解得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ， 解得或， 解得， ． 7．已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 【答案】 【分析】将含的项移到方程的右边，再两边除以即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．若方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【详解】解：设，则原方程组可化为， 方程组的解是， ， ， ， 方程组的解是． 三、解答题 9．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先将原方程变形，再利用加减消元法求解即可； 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入②得， 解得    ， 所以方程组的解为； （2）解： ①式去分母得， 得， 得 得， 解得， 将代入得， 解得， 所以方程组的解为． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，若该方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】因为方程组的解互为相反数，所以可得，再把二元一次方程组的两个方程相加得到，两式结合得到关于a的方程，解出即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解互为相反数， ∴ ， 设原方程组为 ， 将①+②得：， 两边同除以2化简得：． ∴ ， 解得． 11．为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 【答案】A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 【分析】设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元．根据购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元，进行列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元． 依题意，得， 解得， ∴A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 12．阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得； （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得； （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 知识点1：二元一次方程（组）相关概念 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，一般形式：。 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解。 2.二元一次方程组 定义：共含两个未知数的两个一次整式方程组成的方程组。 解：两个方程的公共解，用大括号联立表示。 3.三元一次方程组 定义：含三个未知数，每个方程未知项次数为1，共三个方程的方程组。 解法：消元→二元一次方程组→再消元→一元一次方程。 知识点2：二元一次方程组的解法（核心：消元思想） 解法 适用条件 一般步骤 代入消元法 某未知数系数为±1或易表示 1.变形：用一个未知数表示另一个 2.代入：代入另一方程 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 加减消元法 同一未知数系数相等/互为相反数 1.化系数：变为相等或相反 2.加减：消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 整体/换元法 含相同整体式子 1.设整体为新元 2.解新元方程组 3.回代求原未知数 知识点3：列二元一次方程组解应用题 1.步骤：审题→找两个等量关系→设元→列方程组→求解→检验→作答。 2.常见等量关系： 行程：路程=速度×时间；顺流速度=静水速度+水速，逆流速度=静水速度−水速。 利润：利润=售价−进价；总价=单价×数量。 工程：工作总量=工作效率×工作时间。 数字：两位数=10×十位数字+个位数字。 配套：加工总量成固定比例。 【基础必考题型】 【题型1】二元一次方程（组）概念辨析 1.核心知识点: 二元一次方程三要素：两个未知数、次数为1、整式方程 二元一次方程组定义：共两个未知数、均为一次、整式方程 2.解题方法技巧: 三步判断法：一看未知数个数（必须是2个），二看未知项次数（必须都是1），三看是否为整式方程（分母不含未知数、无根号、无乘积项）。 快速排除：只要出现、、、，直接判定不是二元一次方程。 方程组判断：只要两个方程共含两个未知数，且每个方程都是一次整式，即为二元一次方程组。 【例题1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若是关于的二元一次方程，则应满足的条件是_____． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是_____________． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·山东烟台·期中）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 【题型2】方程（组）的解判断与代入求值 1.核心知识点: 解的定义：代入后左右两边相等 已知解求参数：将解代入方程建立等式求解 2.解题方法技巧: 代入检验法：将每组解依次代入方程，左右两边相等即为方程的解。 已知解求参三步走：①代入方程；②整理得到关于参数的一元一次方程；③解方程求出参数。 快速口算：优先代入整数解，简化计算，避免复杂分数运算出错。 【例题2】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为____． 【变式题2-1】.（24-25八年级上·广东清远·期末）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东河源·月考）若是方程组的解，则 ______． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【培优高频题型】 【题型3】整体代入/换元法解特殊方程组 1.核心知识点: 整体思想 换元简化复杂结构运算 2.解题方法技巧: 整体识别：看到重复出现的式子（如、），直接当作一个整体。 换元步骤：设新元→解新元方程组→回代求原未知数，三步缺一不可。 整体代入优先：不用拆开整体，直接代入另一个方程，大幅简化计算。 易错提醒：换元后必须回代，不能把新元的值当作原方程组的解。 【例题3】.（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知方程组，则的值为_________． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【题型4】同解方程组问题 1.核心知识点: 同解：一组解同时满足所有方程组 联立无参方程求公共解 2.解题方法技巧: 解题模板：先把不含参数的两个方程联立，求出公共解，这是唯一突破口。 代入求参：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组，解出参数。 拓展应用：公共解还可代入代数式求值，注意指数奇偶性判断符号。 【例题4】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【题型5】整数解/正整数解问题 1.核心知识点: 方程变形用一个未知数表示另一个 整数、正整数限定条件 2.解题方法技巧: 变形技巧：把方程化为或的形式，方便列举。 范围限定：根据“正整数”要求，列出不等式，确定未知数的取值范围。 列举筛选：在范围内逐一试值，保留符合要求的解，不重不漏。 实际应用：购物、分配问题中，解必须为正整数，且符合实际意义。 【例题5】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【变式题5-2】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【变式题5-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求的值． 【题型6】行程、利润、配比综合应用题 1.核心知识点: 行程、利润、配比等量关系 方程组建模求解与检验 2.解题方法技巧: 行程问题：画线段图，分清顺流/逆流、相遇/追及，路程相等是核心。 利润问题：列表格，理清单价、数量、总价、利润，公式记牢不混淆。 配比问题：混合前后总量不变、纯物质（溶质）总量不变，列两个方程。 双检验：检验方程解是否正确，检验解是否符合实际意义。 【例题6】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走千米，下坡每小时走千米，平路每小时走千米．去时走了分钟，回程走了分钟．设去时上坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【变式题6-1】.（2026·河南驻马店·二模）某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． (1)求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． (2)现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【变式题6-3】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某经销商销售A，B两种品牌的教学设备，这两种品牌的教学设备的进价和售价如下表所示： A B 进价/（万元/套） 1.5 1.2 售价/（万元/套） 1.65 1.4 已知该经销商计划购进这两种品牌的教学设备若干套，共需66万元，全部售出后可获毛利润9万元．求该经销商计划分别购进A，B两种品牌的教学设备多少套．[毛利润＝（售价－进价）×销售量] 【题型7】几何图形与方程组综合 1.核心知识点: 线段、角度、周长、面积公式 图形性质列方程组 2.解题方法技巧: 设元技巧：用、表示边长、角度、长宽等未知量。 几何等量：利用周长公式、面积公式、内角和、对顶角相等列方程。 长方形/正方形：边长关系、周长关系、面积差直接转化为等式。 单位统一：长度单位一致，角度用度，计算结果保留合理形式。 【例题7】.（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_________． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·重庆·自主招生）如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形．若，则图中阴影部分面积之和为_____． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【变式题7-3】.（24-25七年级下·吉林白城·期末）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【压轴素养题型】 【题型8】方案设计与最优选择应用题 1.核心知识点: 方程组求单价、效率等不变量 不等式确定方案范围，选最优解 2.解题方法技巧: 先定不变量：用方程组求出单价、成本、效率等固定值。 再定范围：设数量为未知数，根据“非负、整数、不超预算”列不等式。 列举方案：写出所有整数方案，计算成本/利润/时间。 最优选择：成本最低选最小，利润最高选最大，时间最短选最快。 【例题8】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）劳动课上，老师给每组同学一根长的竹竿，要求全部用完，且截成长和长两种规格均有的竹段．设某种截法中长的竹段有a根，则a的值可能有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．10种 【变式题8-1】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖南益阳·期末）2025年“湘超”联赛（湖南省足球联赛）的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 【题型9】三元一次方程组解法与应用 1.核心知识点: 三元消元思路：三元→二元→一元 三个等量关系列方程组 2.解题方法技巧: 消元选择：优先消去系数最简单、出现次数最少的未知数。 分步消元：先消一个元得二元方程组，再消元得一元方程。 回代顺序：从最后求出的未知数依次往前回代，步骤清晰。 应用场景：三个未知量、三个独立条件，必用三元方程组。 【例题9】.（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）小敏到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法．并获得如下信息： 营业员 A B 月销售件数 300 400 月总收入（元） 3700 4000 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值． (2)若营业员小潮某月的总收入不低于3800元，那么小潮当月至少要卖服装多少件？ (3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需392元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需288元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需______元．（直接写出答案） 【变式题9-3】.（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【题型10】定义新运算与方程组综合 1.核心知识点: 新运算规则转化为等式 列方程组求参数、、 2.解题方法技巧: 照猫画虎：严格按题目定义列式，直接代入数值。 转化思想：把新运算题目转化为熟悉的二元/三元方程组。 先求参数：求出、、后，再计算要求的新运算结果。 检查顺序：代入、计算、符号三步逐一核对，避免低级错误。 【例题10】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 易错点 概念误判：把含项、分式、未知数次数≠1的方程当作二元一次方程。 2.消元出错：代入漏乘、加减只加减部分项、移项不变号、去括号符号错误。 3.书写不规范：方程组的解不用大括号联立，、顺序颠倒。 4.应用忘检验：未验证解是否为非负数、整数，不符合实际意义直接作答。 5.换元不回代：求出新元值，直接当作原方程组的解，忘记回代。 重点 1.二元一次方程（组）的概念、解的判断与代入求值。 2.代入消元法、加减消元法解二元一次方程组。 3.从生活、传统文化、几何情境中列二元一次方程组。 4.整体代入、换元等简便计算方法。 难点 1.含参数方程组的解的讨论与参数求解。 2.复杂情境、图表、跨学科题目的等量关系挖掘。 3.创新题型（新运算、探究题）的数学建模。 4.三元一次方程组的消元策略与实际应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 4．明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 6．方程是关于，的二元一次方程，则__________． 7．已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 8．若方程组的解是，则方程组的解是______． 三、解答题 9．解方程组 (1) (2) 10．已知关于x，y的二元一次方程组，若该方程组的解互为相反数，求的值． 11．为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 12．阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $