条件概率、全概率公式、二项分布、超几何分布 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

条件概率、全概率公式、二项分布、超几何分布专项训练 条件概率、全概率公式、二项分布、超几何分布专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 二项分布 超几何分布 考点一 条件概率 例1．（25-26高二下·山东济宁·期中）某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单. (1)该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率； (2)该订单发生延迟的概率； (3)若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率. 例2．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在一个盒子中有大小一样、编号为的8个球，其中有3个红球和5个白球. (1)现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率. (2)将这8个球全部取出并排成一列，若3个红球互不相邻，则有多少种不同的排法？ 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为． (1)求； (2)在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率； (3)求的概率分布和期望． 变式1．（25-26高二下·河北沧州·期中）某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． (1)求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； (2)设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 变式2．（25-26高二下·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 变式3．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 考点二 全概率公式 例1．（25-26高二下·河南郑州·期中）小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 例2．（25-26高二下·河南郑州·期中）阿郑操场跑圈，一周3次，一次跑4圈或5圈，第一次跑4圈或5圈的概率均为，若第次跑4圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为．若第次跑5圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为． (1)求阿郑一周跑圈的概率； (2)若一周至少跑圈为运动量达标， ①求阿郑一周运动量达标的概率； ②若阿郑连续跑4周，每周间的跑圈互不影响，记达标周数为，求随机变量的分布列及． 例3．（2026·河南周口·三模）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 变式1．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）甲乙两个人进行一次迷宫游戏，两个人在两个房间内游走.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.甲从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟甲乙两人都在一个房间，那么下一分钟乙必定移动到另一个房间，否则乙从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，甲在0号房间，乙在1号房间.设在第分钟时，甲乙两人在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，甲乙两人所在房间号之和为1的概率； (2)求，的通项公式. (3)若为等比数列，求，的值. 变式2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市，从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案，，的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）在研发的这套智能自适应调度系统的核心算法下，求物流提前送达的概率；（提示：可构造为等比数列（其中，为常数）） （iii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率，并说明理由. 变式3．（25-26高二下·河北保定·期中）某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． (1)求这单花艺作品达到设计标准的概率； (2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） (3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 考点三 二项分布 例1．（25-26高二下·重庆·期中）某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． (1)求电梯A最终停在6楼的概率； (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； (3)若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 例2．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 例3．（2026·江苏南通·三模）某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 变式1．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 变式3．（2026·河南新乡·三模）2026年的春晚舞台上，机器人的出色表现，展示了中国智造的魅力.某公司在对某型号机器人研发测试的过程中，工程师发现该型号机器人成功完成动作指令的概率为，但工程师对机器人下达的动作指令分为两类，一类表述清晰，另一类表述模糊.若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成动作指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成动作指令的概率为.每次测试该型号机器人能否成功完成动作指令相互独立. (1)求工程师下达的动作指令表述模糊的概率； (2)现对一台该型号机器人完成动作指令的情况进行次测试，记这次测试中恰有2次未成功完成动作指令的概率为，求取得最大值时的值. 考点四 超几何分布 例1．（25-26高二下·江苏南通·期中）为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． (1)若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； (2)求使得最大的的值． 例2．（25-26高二下·山东济南·期中）某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球. (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； (2)设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望. 例3．（25-26高二下·宁夏·期中）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 变式1．（25-26高二下·河北邢台·期中）某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是． (1)若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率； (2)若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望． 变式2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球. (1)若有放回的依次抽取，求恰有2次抽取到白球的概率； (2)若无放回的依次抽取，记抽到白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望. 变式3．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； (2)现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $条件概率、全概率公式、二项分布、超几何分布专项训练 条件概率、全概率公式、二项分布、超几何分布专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 二项分布 超几何分布 考点一 条件概率 例1．（25-26高二下·山东济宁·期中）某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单. (1)该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率； (2)该订单发生延迟的概率； (3)若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ， 由题意可知，， 可得， 所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为． （2）由题意可得 ， 所以该订单发生延迟的总概率． （3）由题意可得， 所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为． 例2．（25-26高二下·江苏泰州·期中）在一个盒子中有大小一样、编号为的8个球，其中有3个红球和5个白球. (1)现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率. (2)将这8个球全部取出并排成一列，若3个红球互不相邻，则有多少种不同的排法？ 【答案】(1)； (2)14400. 【分析】（1）根据给定条件，利用概率的乘法公式求解. （2）利用不相邻问题插空法列式求解. 【详解】（1）记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次摸出白球”， 则，， 所以第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为. （2）先排5个白球，有种方法，再在每种排法形成的6个间隙中取出3个排3个红球，有种方法， 所以所求排法种数是. 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为． (1)求； (2)在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率； (3)求的概率分布和期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用独立事件乘法公式求概率即可； （2）利用条件概率公式求解即可； （3）利用分布列来求解期望. 【详解】（1）前2次命中目标1次，第3次命中目标，则 （2）前3次命中目标1次，第4次命中目标，则． 记该射手第2次射击射中目标为事件，耗用子弹数为4为事件， 则． 所以． （3），，， ． 所以． 变式1．（25-26高二下·河北沧州·期中）某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． (1)求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； (2)设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)2 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式求得正确答案. （2）利用超几何分布的分布列求法求得分布列并计算出数学期望. （3）对进行分类讨论，结合条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为， 所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为； （2）X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以； （3）当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 当时，，， ，故m的最小值为2． 变式2．（25-26高二下·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 已知甲品牌的占比和甲品牌的合格率，根据条件概率乘法公式，可直接计算出机器人是甲品牌合格品的概率； （2）要求该机器人是合格品的概率，需要分别计算出甲，乙，丙三个品牌的合格品概率，再根据进行计算. 【详解】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率 （2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，结合（1）得 ． 变式3．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 考点二 全概率公式 例1．（25-26高二下·河南郑州·期中）小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. (1)求； (2)写出与()的递推关系（不必证明），并求出； (3)试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 【答案】(1)0.4; (2)()，; (3)从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 【分析】(1)由全概率公式求解； (2)先求出与的递推式，再转化为等比数列求通项公式解出； (3)通过的表达式，求解满足的的取值范围. 【详解】（1）由全概率公式得； （2）因为()，即()， 构造等比数列()， 因为，所以数列是以为首项，0.5为公比的等比数列. 所以，即()； （3）由（2）可知 ∴当时， 若()，则，即. ∵，， ∴当时，. 实际意义从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 例2．（25-26高二下·河南郑州·期中）阿郑操场跑圈，一周3次，一次跑4圈或5圈，第一次跑4圈或5圈的概率均为，若第次跑4圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为．若第次跑5圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为． (1)求阿郑一周跑圈的概率； (2)若一周至少跑圈为运动量达标， ①求阿郑一周运动量达标的概率； ②若阿郑连续跑4周，每周间的跑圈互不影响，记达标周数为，求随机变量的分布列及． 【答案】(1) (2)①；② 0 1 2 3 4 【分析】（1）根据已知条件列出所有的可能情况，再计算所有可能情况的概率的和即为所求概率； （2）①先列出符合条件的所有情况，再计算所有可能情况的概率的和，从而求出达标概率；②利用二项分布概率公式求概率得出分布列，利用二项分布期望公式求期望． 【详解】（1）记阿郑一周跑圈为事件，则可能结果为，，， ， 阿郑一周跑圈的概率为． （2）①记阿郑一周运动量达标为事件，则可能结果为，，，， ， 阿郑一周运动量达标的概率为； ②由于每周间的跑圈互不影响， 达标周数符合二项分布：， ；； ；； ； 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 ． 例3．（2026·河南周口·三模）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为 (3) 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可； （2）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望； （3）设相应事件，结合全概率公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为. （2）用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为， 可知随机变量的可能取值为0，1，2， 则； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为. （3）设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则， 设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，， 因为， 即，解得， 所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为. 变式1．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）甲乙两个人进行一次迷宫游戏，两个人在两个房间内游走.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.甲从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟甲乙两人都在一个房间，那么下一分钟乙必定移动到另一个房间，否则乙从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，甲在0号房间，乙在1号房间.设在第分钟时，甲乙两人在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，甲乙两人所在房间号之和为1的概率； (2)求，的通项公式. (3)若为等比数列，求，的值. 【答案】(1)0.5 (2)， (3)或 【分析】（1）根据房间号之和为1的情况是甲在0号乙在1号，或甲在1号乙在0号，所以需分别计算这两种情况的概率再相加； （2）根据甲在第分钟和第分钟在0号房间的概率关系，建立关于的递推公式，再利用递推数列求通项的方法求解；先分析第分钟甲乙同房间、不同房间的概率，再结合乙的移动规则建立的递推公式，进而求通项； （3）根据等比数列的定义，即后项与前项的比值为常数，结合（2）中得到的、的通项公式，建立关于、的方程求解. 【详解】（1）初始条件：第0分钟，甲在0号，乙在1号， 故（甲在0号概率），（乙在0号概率）. 甲第1分钟在0号概率：（留在原房间），甲在1号概率为 ； 第0分钟甲乙不同房间，故乙移动或留房概率均为0.5， 乙第1分钟在0号概率：，在1号概率为. 房间号之和为1即一人0号一人1号， 概率为：. （2）①求：由题意，， 当时，甲在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为 ； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为 ， 所以 ，则 ， 又因为 ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，满足上式也满足题意，则. ②求，乙第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟甲和乙都在1号房间，乙转移到0号房间的概率为 ； 上一分钟甲在0号房间，乙在1号房间，乙转移到0号房间的概率为 ； 上一分钟甲在1号房间，乙在0号房间，乙仍在0号房间的概率为 ； 所以 ， 整理可得， 因为， 所以， 即， 又因为 ，所以数列是首项为， 公比为的等比数列，则， ，满足上式也满足题意，则. （3）设,由（2）可得： ， 若数列为常数列，则应满足且，即且，显然不成立； 若数列不为常数列，因为为等比数列，其通项公式中至多含有一个指数项，且常数项为0，故有： 情况一：当 且 时，解得. 情况二：当且时，解得. 综上， 或 . 变式2．（25-26高二下·辽宁大连·期中）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市，从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案，，的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）在研发的这套智能自适应调度系统的核心算法下，求物流提前送达的概率；（提示：可构造为等比数列（其中，为常数）） （iii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率，并说明理由. 【答案】(1)； (2)（i），，证明见解析；（ii）；（iii）能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率； （iii）分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为， 则 ， （iii）随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 变式3．（25-26高二下·河北保定·期中）某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． (1)求这单花艺作品达到设计标准的概率； (2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） (3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用全概率公式计算出单花艺作品达到设计标准的概率即可； (2)利用全概率公式计算出单花艺作品未被客户采纳的概率,再利用贝叶斯公式计算该单花艺作品是中式花艺作品的概率； (3)利用全概率公式计算这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率； 【详解】（1）设事件：这单花艺作品达到设计标准,事件: 抽取一单花艺作品为中式花艺作品， 事件: 抽取一单花艺作品为现代花艺作品，那么 . （2）设事件：单花艺作品未被客户采纳，那么 ， 所以，若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率为 ; （3）设事件：单花艺作品达到标准且被客户采纳,那么 . 考点三 二项分布 例1．（25-26高二下·重庆·期中）某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和． (1)求电梯A最终停在6楼的概率； (2)若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望； (3)若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率． 【答案】(1)； (2)的分布列见详解，的数学期望为度； (3). 【分析】（1）先通过目标楼层反推电梯运行的次数组合，用方程确定两种运行方式的次数，再利用独立重复试验的特征，计算目标组合的概率，最后建立总耗电量与运行次数的线性关系，用期望性质直接计算即可； （2）先识别出随机变量服从，再通过公式计算各取值概率，列出分布列；并建立总耗电量与的线性关系，最后利用期望的线性性质，结合二项分布期望公式，直接求出的数学期望即可； （3）先确定电梯A停在6楼的所有运行序列，再针对每一种序列，按“每一步楼层差不超过1”的同步条件，分步枚举所有符合要求的B序列，接着计算出“同步且A停在6楼”的联合概率，最后利用条件概率公式，用联合概率除以“A停在6楼”的概率，得到最终结果即可. 【详解】（1）设电梯A在3次运行中，向上运行1层的次数为，向上运行2层的次数为， 因为电梯从1楼出发，最终停在6楼，总上升层数为：， 所以，解得：， 即电梯A需要1次向上运行1层，2次向上运行2层， 根据二项分布，概率为：， 所以电梯A最终停在6楼的概率为. （2）由题意，为3次运行中向上运行1层的次数，每次运行向上1层的概率为，因此， 所以， ， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 3 由题意，总耗电量与的关系为：， 化简得：， 则期望：， 因此，的数学期望： ， 所以的分布列如上，的数学期望为度. （3）事件M：电梯A停在6楼，其运行序列为“1次1层、2次2层”， 所以电梯A运行序列共有种排列，记为：. 同步条件：对，， ①当电梯A运行序列为时：   符合条件的电梯B运行序列：，共6种，其概率和为. ②当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. ③当电梯A运行序列为时： 此时电梯B运行序列中也只有不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为. A停在6楼的总概率：， 每种电梯A运行序列的概率： 所以总同步概率：同步且停在6楼 所以条件概率：同步停在6楼， 故当电梯A最终停在6楼时，两部电梯始终同步的概率为. 例2．（25-26高二下·福建福州·期中）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， (3)该系统会得到推广，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则； （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ，； （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则， 满足推广条件，因此该系统会得到推广. 例3．（2026·江苏南通·三模）某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知，当时，再根据二项分布，结合条件概率求解即可； （2）由题意知，再根据导数求解最值即可得答案； （3）由题知，，，令，进而将问题转化为证明，再构造函数，，证明，，最后结合不等式放缩得即可证明. 【详解】（1）解：因为连续取件芯片，故障芯片的件数为随机变量，芯片独立出厂, 所以服从二项分布，即，故当连续抽取4件芯片时， 所以 且， 所以 . （2）解：当时， 故恰好出现2件故障芯片的概率为，， 所以， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 若对任意，恒有，则实数的最小整数值为1. （3）证明：因为，，所以，， 所以 令，则，， 故要证，只需证， 只需证，只需证 只需证， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 又， 所以，， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以成立，证毕. 变式1．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 【答案】(1) 1 2 3 4 5 6 7 (2)小明同学不能盈利. 【分析】（1）根据题意，确定服从二项分布并求解分布列，利用分布列的期望计算方法求； （2）根据与的对应关系，结合的分布列求出的分布列，再计算的数学期望，再比较大小即可. 【详解】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7. ， ，   ， 则的概率分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 数学期望 ； （2）因为当或7时，；当或6时，；当或5时，；当时，. 利用（1）得的概率分布列为： 1 4 6 10 ， 所以小明同学不能盈利. 变式3．（2026·河南新乡·三模）2026年的春晚舞台上，机器人的出色表现，展示了中国智造的魅力.某公司在对某型号机器人研发测试的过程中，工程师发现该型号机器人成功完成动作指令的概率为，但工程师对机器人下达的动作指令分为两类，一类表述清晰，另一类表述模糊.若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成动作指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成动作指令的概率为.每次测试该型号机器人能否成功完成动作指令相互独立. (1)求工程师下达的动作指令表述模糊的概率； (2)现对一台该型号机器人完成动作指令的情况进行次测试，记这次测试中恰有2次未成功完成动作指令的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全概率公式可构建关于的方程，从而可求工程师下达的动作指令表述模糊的概率； （2）根据二项分布可求，判断其单调性后可求取得最大值时的值. 【详解】（1）设事件“工程师下达的动作指令表述模糊”， 事件“工程师下达的动作指令表述清晰”，事件“机器人成功完成动作指令”， 根据题意得. 设，则. 由全概率公式，得， 所以，解得. 即工程师下达的动作指令表述模糊的概率为. （2）由题意知， 则. 所以当时，，当时，，当时，. 所以当或时，取得最大值. 考点四 超几何分布 例1．（25-26高二下·江苏南通·期中）为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． (1)若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； (2)求使得最大的的值． 【答案】(1)， (2)在时取得最大值． 【分析】（1）根据超几何分布进行直接求解即可； （2）易知，再根据函数单调性解不等式可得当时，，当时，，所以在时取得最大值. 【详解】（1）因为，所以服从超几何分布， 其中，，． ，． （2）当时，． 当时，． 设，则． 由，解得， 即时，， 即时，， 所以在时取得最大值． 例2．（25-26高二下·山东济南·期中）某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球. (1)求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； (2)设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）随机变量的可能取值并求出每个值的概率即可求解 【详解】（1）从9个球中摸出3个球，共有种， 其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况， 所以一共有种可能， 所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为. （2）由题意可得， 且，， ，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 . 例3．（25-26高二下·宁夏·期中）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【答案】(1)（i）（ii）分布列见解析，期望为 (2) 【分析】（1）（i）根据组合数求概率即可； （ii）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）法1：根据题意可知，，再根据二项分布的期望公式，期望与方差的线性关系求解即可；法2：每位职工培训合格与否相互独立，计算一位职工的期望与方差，可得总的期望与方差，利用方差公式求解． 【详解】（1）（i） （ii）由题意可知，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 （2）法1：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为培训合格的职工人数，则 所以 ，解得 则 从而 法2：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为第个职工创造的年利润， 则 ， 所以 因为 所以 解得， 所以 ， 所以， 所以． 变式1．（25-26高二下·河北邢台·期中）某奶茶店推出一款新奶茶——抹茶奶绿．已知从该店在售的奶茶中随机购买1杯，买到抹茶奶绿的概率是． (1)若顾客甲从该店在售的奶茶中随机购买3杯奶茶，求顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率； (2)若顾客乙从该奶茶店已经做好的10杯奶茶（其中抹茶奶绿有3杯）中随机购买4杯，记顾客乙购买的奶茶中抹茶奶绿的数量为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）用二项分布的概率公式计算即可； （2）用超几何分布公式算出各个取值的概率，列出分布列，进而可求期望. 【详解】（1）由题意可得顾客甲购买的奶茶中恰好有2杯是抹茶奶绿的概率． （2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 故． 变式2．（25-26高二下·江苏连云港·期中）一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球. (1)若有放回的依次抽取，求恰有2次抽取到白球的概率； (2)若无放回的依次抽取，记抽到白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 期望为： 【分析】（1）使用二项分布概率公式求解； （2）使用超几何分布的概率公式求解. 【详解】（1）恰有2次抽取到白球的概率为： （2）可能的取值为：0，1，2 ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 期望为： 变式3．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数； (2)现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值. 【答案】(1)（人），平均数，中位数为 (2) 均值 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算样本的平均数及中位数可得； （2）根据随机变量服从超几何分布，从而可得分布列及期望. 【详解】（1）由图可知，健康上网天数未超过天的频率为. 所以健康上网的天数超过天的人数是（人）. 频率分布直方图中的平均数 设频率分布直方图中的中位数为，因为前三组的频率和为，前四组的频率和为， 所以中位数在第四组中，得：， 整理得： （2）因为名学生中健康上网天数超过天的人数有人， 随机变量的所有可能的取值为，且服从超几何分布，所以有： ，，， 所以Y的分布列为 所以的均值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $