随机变量及其分布：利用二项分布、超几何分布求概率专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

随机变量及其分布：利用二项分布、超几何分布求概率专项训练 随机变量及其分布：利用二项分布、超几何分布求概率专项训练 考点目录 利用二项分布求概率 利用超几何分布求概率 考点一 利用二项分布求概率 例1．（25-26高二下·山东烟台·期中）某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示： 机器编号 1 2 3 4 5 6 7 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% (1)从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； (2)从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望； (3)以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率. 例2．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 例3．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 变式1．（25-26高二下·山西晋中·月考）车间有3台车床各自独立工作.设同时发生故障的车床数为，在下列两种情形下分别求的分布列. (1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是30%； (2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为20%，B型车床发生故障的概率为10%. 变式2．（25-26高二下·河北衡水·期中）某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 变式3．（25-26高三下·云南昭通·期中）为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 考点二 利用超几何分布求概率 例1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于2026年1月13日在哈尔滨开幕，吸引了32支冰球队近200名运动员参加.为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取500人进行打分（满分100分），经统计打分全部位于内，整理后打分情况如下表所示. 打分区间 人数 5 10 35 100 200 150 (1)估计样本数据的第60百分位数； (2)用分层随机抽样的方法从打分位于内的市民中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记为打分位于的市民人数，求的分布列和数学期望. 例2．（25-26高二下·广东珠海·期中）某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为. (1)求的值； (2)某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元： ①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列； ②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？ 例3．（2026·广西南宁·三模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 变式1．（25-26高二下·四川德阳·月考）已知甲箱子中有5个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）. (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球，求取出的这个球是白球的概率. 变式2．（2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 变式3．（2025·河北·模拟预测）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． (1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； (2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：利用二项分布、超几何分布求概率专项训练 随机变量及其分布：利用二项分布、超几何分布求概率专项训练 考点目录 利用二项分布求概率 利用超几何分布求概率 考点一 利用二项分布求概率 例1．（25-26高二下·山东烟台·期中）某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示： 机器编号 1 2 3 4 5 6 7 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% (1)从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； (2)从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望； (3)以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 期望为 (3) 【详解】（1）8台机器中，故障率小于2%的机器有6台：． （2）故障率小于2%的机器共6台，其中故障率小于1%的有3台， 的可能取值为，，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： （3）设为抽取的5台中故障率小于2%的台数，则， ． 例2．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）用全概率公式求出“一次回答问题，AI软件答对问题”的概率. （2）求出X的可能值及对应的概率，并列出分布列与期望 【详解】（1）设“一次回答问题，AI软件答对问题”，“选出语文问题让AI回答”， 依题意，，，，， 所以； （2）由（1）知，随机选取1道题让AI软件回答正确的概率为， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， ， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望. 例3．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 【答案】(1)； (2) 0 1 2 ，； (3). 【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，利用二项分布求出分布列，进而求出期望、方差. （3）利用二项分布概率最大问题列出不等式组求解. 【详解】（1）设事件 “两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 所以所求概率. （2）粒子个数的可能值为：，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； 方差. （3）的可能取值为，， 个粒子返回室的概率为， 则， 即， 整理得，解得，而，因此， 所以，当时，取最大值. 变式1．（25-26高二下·山西晋中·月考）车间有3台车床各自独立工作.设同时发生故障的车床数为，在下列两种情形下分别求的分布列. (1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是30%； (2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为20%，B型车床发生故障的概率为10%. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）本题中服从参数的二项分布，利用二项分布概率公式计算取各可能值的概率，即可得到的分布列； （2）分情况枚举取各可能值时故障车床的型号组合，利用独立事件的概率乘法与加法公式计算对应概率，即可得到的分布列. 【详解】（1）易知同时发生故障的车床数， ， ， ， ， X的分布列为： 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 （2）设2台A型车床故障概率为0.2，1台B型车床故障概率为0.1，各车床故障独立，的可能取值为， （无故障）：， （仅1台故障）：， （仅2台故障）：， （全故障）：， X的分布列为： 0 1 2 3 0.576 0.352 0.068 0.004 变式2．（25-26高二下·河北衡水·期中）某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. (1)求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； (2)求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 5 . 【分析】（1）先定义对应随机事件，分析交事件含义为第二次固定识别成功，剩余四次恰好两次成功，据此用独立概率和组合公式算出联合概率，再结合第二次识别成功的基础概率，套用条件概率公式求出结果. （2）先判断随机变量服从二项分布，确定取值范围，利用二项分布概率公式依次算出每个取值对应的概率，列出分布列，再直接用二项分布期望公式计算数学期望. 【详解】（1）设事件：第二次识别成功；事件：次中恰有3次识别成功. 则事件：第二次识别成功，且5次中恰有3次识别成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功. 所以. 因为，所以. （2）由题意，得，且的所有可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 . 变式3．（25-26高三下·云南昭通·期中）为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为 （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. （3）由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人， 则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是. 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 考点二 利用超几何分布求概率 例1．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于2026年1月13日在哈尔滨开幕，吸引了32支冰球队近200名运动员参加.为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取500人进行打分（满分100分），经统计打分全部位于内，整理后打分情况如下表所示. 打分区间 人数 5 10 35 100 200 150 (1)估计样本数据的第60百分位数； (2)用分层随机抽样的方法从打分位于内的市民中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记为打分位于的市民人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)87.5 (2)分布列见解析， 【分析】（1）先计算各区间累计频率确定第百分位数所在区间，再用线性插值法计算出该百分位数的估计值； （2）先确定两组人数比例得到抽取样本中两类人数，再用超几何分布计算随机变量的各取值概率，列出分布列并计算数学期望. 【详解】（1）市民打分位于的累计频率为， 市民打分位于的累计频率为， 所以样本数据的第60百分位数位于内，设其为， 则， 解得， 故估计样本数据的第60百分位数为87.5. （2）因为，两组数据的人数之比为，所以7人中打分位于，内的人数分别为4，3. 由题意可知的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 例2．（25-26高二下·广东珠海·期中）某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为. (1)求的值； (2)某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元： ①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列； ②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？ 【答案】(1) (2)①的分布列如下： ②消费元时，选择抽奖优惠的平均返现金额更大，消费元时，选择八五折优惠的平均返现金额更大. 【分析】（1）由古典概型概率公式列方程即可求解； （2）①先求出随机变量的所有取值，再根据超几何分布求出其概率，从而可求出分布列；②由分布列得到的数学期望，从而得到一次抽奖的期望返现，对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题可得，抽奖箱内共有个球，一次抽取2个球全是红球的概率为； 即，化简得到， 因为，解得. （2）①的可能取值为，根据超几何分布的概率公式可得： ；； ；； 则的分布列如下： ②由①知的数学期望为， 则单次抽奖的期望返现为：元， 情况1：消费元 抽奖优惠：每满元抽次，可抽次，总期望返现为元， 八五折优惠：节省金额为元， 由于，故消费元时，选择抽奖优惠的方式更划算； 情况2：消费元 抽奖优惠：每满元抽次，可抽次，总期望返现仍然为元， 八五折优惠：节省金额为元， 由于，故消费元时，选择八五折优惠的方式更划算. 例3．（2026·广西南宁·三模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)X的分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式计算即可求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【详解】（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件， 则，，所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）随机变量的值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 变式1．（25-26高二下·四川德阳·月考）已知甲箱子中有5个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）. (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球，求取出的这个球是白球的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出可能取值，求出可能取值的概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式求出期望； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可能取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 期望. （2）设“甲箱中取出2个球都为白球”；“甲箱中取出2个球为一白一红”； “甲箱中取出2个球都为红球”；“乙箱中取出的1个球为白球” 由全概率公式： . 变式2．（2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 变式3．（2025·河北·模拟预测）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”． (1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； (2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，求出、的值，利用条件概率公式求出的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，即可求出的值. 【详解】（1）记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生， 所以，， 由条件概率公式可得； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $