考点05 条件概率与全概率公式（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

考点05 条件概率与全概率公式 考点一：条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 考点二：全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 考点三：贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 题型一：条件概率的计算 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 【例1】某中学计划组织主题为“探访辽宁红色六地”的游学夏令营，目的地包括代表“抗日战争起始地”的沈阳九一八历史博物馆、代表“解放战争转折地”的锦州辽沈战役纪念馆、代表“新中国国歌素材地”的本溪东北抗日义勇军纪念馆、代表“抗美援朝出征地”的丹东抗美援朝纪念馆、代表“共和国工业奠基地”的鞍山鞍钢博物馆、代表“雷锋精神发祥地”的抚顺雷锋纪念馆.已知安排行程时要求每个目的地只去一次，在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为（   ） A． B． C． D． 【例2】一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为___________.在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的概率是___________. 【变式1-1】一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况， 从某社区随机调查了 1200 位居民(其中出生月份在 6~8 月的有 400 人). 每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:若骰子朝上点数为奇数，则回答问题 1 :你的出生月份是 6 月、7 月或 8 月吗？若骰子朝上点数为偶数， 则回答问题 2: 你对该政策的落实是否感到满意?调查结束后，统计得到回答 “是” 的居民共有 620 人. 调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题， 并假设所有居民都如实回答了自己的问题. (1)试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例； (2)从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答“是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率. 题型二：条件概率的性质应用 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 【例3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【例4】已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】对于事件A，B，，，，则____ 【变式2-3】已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则__________，__________. 题型三：条件概率与互斥、对立、独立事件 【例5】若事件满足：，，，则（    ） A．与互斥但不对立 B．与相互对立 C．为必然事件 D．与相互独立 【例6】（多选）某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（   ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D． 【变式3-1】（多选）已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 【变式3-2】（多选）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 【变式3-3】（多选）眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（   ） A．与互为对立 B．与相互独立 C． D． 题型四：全概率公式 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 【例7】甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【例8】有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 【变式4-1】某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产量的 ，其产品次品率为 ；乙生产线的产量占全厂总产量的 ，其产品次品率为 .若从全厂产品中随机抽取 1 件，抽到次品的概率为_______. 【变式4-3】三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 题型五：贝叶斯公式 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 【例9】一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 【例10】近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为_______________. 【变式5-1】某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______. 【变式5-2】假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的，，，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.15，丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试剂，其纯度不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为_____. 【变式5-3】甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 题型六：全概率公式与数列的结合 通过全概率公式建立状态转移递推关系，将概率问题转化为数列模型，通常涉及马尔科夫链或一维随机游走模型，通过设定状态变量（如第n次处于某状态的概率），利用全概率公式推导相邻项的递推式，再通过构造等比数列或其他数列通项公式方法求解，核心是将概率的动态转移过程转化为数列的递推关系并解通项 【例11】已知正四棱柱，其中，顶点处有一只蚂蚁，该蚂蚁每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且沿任一棱长为1的棱移动概率为，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若蚂蚁的初始位置位于点处，记蚂蚁移动次后仍在面上的概率为，则___________． 【例12】已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式； 【变式6-1】有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【变式6-2】已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则______． 【变式6-3】随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以在店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天抽2张奖券的概率； (2)求第二天获得优惠金额的数学期望； (3)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出. 一、单选题 1．已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 2．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 5．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 二、多选题 7．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 8．设为一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设的二项展开式中各项系数分别为，则从这六个数中不放回地依次任取两个数，在已知所抽取的第一个数为正数的情况下，第二个数大于4的概率为________． 10．人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 11．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 四、解答题 12．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰. (1)求该部门招工的淘汰率; (2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 13．（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率． 14．人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 15．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 条件概率与全概率公式 考点一：条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 考点二：全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 考点三：贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 题型一：条件概率的计算 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 【例1】某中学计划组织主题为“探访辽宁红色六地”的游学夏令营，目的地包括代表“抗日战争起始地”的沈阳九一八历史博物馆、代表“解放战争转折地”的锦州辽沈战役纪念馆、代表“新中国国歌素材地”的本溪东北抗日义勇军纪念馆、代表“抗美援朝出征地”的丹东抗美援朝纪念馆、代表“共和国工业奠基地”的鞍山鞍钢博物馆、代表“雷锋精神发祥地”的抚顺雷锋纪念馆.已知安排行程时要求每个目的地只去一次，在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记沈阳九一八历史博物馆为,丹东抗美援朝纪念馆为,鞍山鞍钢博物馆为,其余3个地点为普通元素. 6个元素全排列且不相邻： 总排列,相邻排列数(捆绑法)：, 故条件总数. 最后一位固定为,前5位排列剩余5个元素且不相邻： 前5位全排列, 相邻排列数, 故符合要求数. 所以在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为. 【例2】一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为___________.在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的概率是___________. 【答案】 【详解】放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，所有可能的结果共有种， 其中这列数中恰有3个不同整数有种，从而这列数中恰有3个不同整数的概率为， 在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3共有种情况， 从而在恰有三个不同整数的前提下第二次取到3的概率. 【变式1-1】一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，， 故. 【变式1-2】从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶， 由题意可得，， 所以. 【变式1-3】某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况， 从某社区随机调查了 1200 位居民(其中出生月份在 6~8 月的有 400 人). 每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:若骰子朝上点数为奇数，则回答问题 1 :你的出生月份是 6 月、7 月或 8 月吗？若骰子朝上点数为偶数， 则回答问题 2: 你对该政策的落实是否感到满意?调查结束后，统计得到回答 “是” 的居民共有 620 人. 调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题， 并假设所有居民都如实回答了自己的问题. (1)试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例； (2)从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答“是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为骰子朝上点数为奇数、偶数的概率各为 ， 所以估计回答问题 1 和问题 2 的居民各有 人. 由题意，出生月份在 月的比例为 ， 从而回答 “是” 的居民中回答问题 1 的应为 人， 所以回答 “是” 的居民中回答问题 2 的为 (人)， 故估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 . （2）由(1)知，该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 ， 设事件 A 表示居民回答 “是”，事件 B 表示居民所抛骰子是偶数点朝上. 回答 “是” 的概率为 . 回答 “是” 且点数是偶数的概率为 . 因此，所求条件概率为 ， 故已知居民回答 “是” 的条件下，他所抛骰子是偶数点朝上的概率约为 . 题型二：条件概率的性质应用 条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 【例3】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【答案】 【详解】已知， ， ， ． 【例4】已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，由，是互斥事件知，， 所以， 故选：A． 【变式2-1】（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 【变式2-2】对于事件A，B，，，，则____ 【答案】/0.5 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 【变式2-3】已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则__________，__________. 【答案】 0.8/ 0.6/ 【详解】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    题型三：条件概率与互斥、对立、独立事件 【例5】若事件满足：，，，则（    ） A．与互斥但不对立 B．与相互对立 C．为必然事件 D．与相互独立 【答案】C 【详解】由，得．所以事件与不互斥．所以选项A，B错误． 又，所以．所以．所以选项C正确． 又因为，，所以，即事件与不独立．所以选项D错误． 故选：C． 【例6】（多选）某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（   ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D． 【答案】BD 【详解】对于A，甲可以同时选打球和唱歌，，故与不互斥，故A错误， 对于B，先从4个项目中选择个给其中一个人，有种选法， 再将这个项目与另外两个项目全排列，分给甲、乙、丙3名学生，有种排法， 根据分步乘法计数原理可得总的样本数为种, 甲只选唱歌，此时从剩下个项目给乙、丙，有种； 甲只选唱歌和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给乙、丙，共有种，故，故B正确， 对于C，乙只选跳舞，此时从剩下个项目给甲、丙，有种； 乙选跳舞和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给甲、丙，有种，故， 甲选唱歌且乙选跳舞，此时有种情况，， ，故与不相互独立，故C错误， 对于D，，故D正确. 【变式3-1】（多选）已知随机事件满足，，，，则（    ） A． B．事件相互独立 C． D．若，则A与C互斥 【答案】ABD 【详解】对于A，由概率加法公式得， 解得，故A正确， 对于B，因为，所以， 则事件相互独立，故B正确， 对于C，由条件概率公式得，故C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以由条件概率公式得， 可得，则， 解得，则A与C互斥，故D正确. 故选：ABD 【变式3-2】（多选）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为与一定互斥，所以A对； 独立，B对． 对． 错， 故选：ABC 【变式3-3】（多选）眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件）和“老花”（设为事件）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设，，，则（   ） A．与互为对立 B．与相互独立 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，，， 则，所以， 所以，则与不对立，故A错误； 得到，与相互独立，故B正确； 而，故，故C正确； ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 题型四：全概率公式 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 【例7】甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”. 由全概率公式得，由题意可知，， 当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球， 则从乙盒取两球均为白球的概率为， 当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为， 代入全概率公式计算可得. 故取出的两球都是白球的概率为. 【例8】有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 【答案】 【详解】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球， 则 ； ， 则， 故在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为. 【变式4-1】某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知：一周训练量达标即为游趟或趟，设第一次游趟为事件， 第一次游趟为事件，第二次游趟为事件，第二次游趟为事件， 可分为以下三种情况： 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得， 由三种情况为互斥事件，因此，该同学一周训练量达标的概率. 【变式4-2】某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产量的 ，其产品次品率为 ；乙生产线的产量占全厂总产量的 ，其产品次品率为 .若从全厂产品中随机抽取 1 件，抽到次品的概率为_______. 【答案】/ 【详解】设抽到的产品来自甲生产线为事件，来自乙生产线为事件，抽到次品为事件， 则， 所以 【变式4-3】三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 【答案】 【详解】记｛球取自号罐｝，{取得红球}， 显然的发生总是伴随着之一同时发生， 即，且两两互斥， ， 由全概率公式可得， 题型五：贝叶斯公式 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 【例9】一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”， 则事件为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”， ， ， 所以． 【例10】近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为_______________. 【答案】 【详解】记事件“小明迟到”， 事件“乘飞机”，事件“乘动车”，事件“乘非机动车”， 则 ， 则. 故答案为：. 【变式5-1】某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______. 【答案】 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 【变式5-2】假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的，，，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.15，丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试剂，其纯度不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为_____. 【答案】0.5/ 【详解】记甲、乙、丙分别为第1，2，3个实验室，为事件“化学试剂为第个实验室制备”，则，，， 记为事件“任取一个试剂，其纯度不合格”，故由全概率公式得 ， 由贝叶斯概率公式得. 故答案为：0.5. 【变式5-3】甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； （2）记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； （3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 题型六：全概率公式与数列的结合 通过全概率公式建立状态转移递推关系，将概率问题转化为数列模型，通常涉及马尔科夫链或一维随机游走模型，通过设定状态变量（如第n次处于某状态的概率），利用全概率公式推导相邻项的递推式，再通过构造等比数列或其他数列通项公式方法求解，核心是将概率的动态转移过程转化为数列的递推关系并解通项 【例11】已知正四棱柱，其中，顶点处有一只蚂蚁，该蚂蚁每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且沿任一棱长为1的棱移动概率为，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若蚂蚁的初始位置位于点处，记蚂蚁移动次后仍在面上的概率为，则___________． 【答案】 【详解】由题意可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当蚂蚁在下底面A点时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 可得蚂蚁沿长度为的侧棱移动的概率为， 依题意，， 因，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，移项得，， 于是，． 故答案为：． 【例12】已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式； (3)求的数学期望（用表示）． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）； ； ； （2）记第次操作后，甲袋黑球数的分布为：，，， 第次操作结果是由第次操作后甲袋黑球数(可能值为、、)决定； 当时(甲黑白，乙黑白)：取和的概率分别为和，取的概率为； 当时(甲黑白，乙黑白)：取，，的概率分别为，，； 当时(甲黑白，乙黑白)，取，的概率分别为和，取的概率为； 用全概率公式可得，； 所以， 所以， （3）由（2）， 所以，又， 所以， 因为随机变量的分布列为 0 1 2 故. 【变式6-1】有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 【变式6-2】已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则______． 【答案】 【详解】若质点Q位于平面的顶点处，再移动一次， 有的概率会位于平面的顶点处，有的概率位于平面的顶点处， 由题意得， 设，则，所以， 解得，所以， 又，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， . 故答案为：. 【变式6-3】随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以在店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天抽2张奖券的概率； (2)求第二天获得优惠金额的数学期望； (3)记“第天抽取1张奖券”的概率为，写出与的关系式并求出. 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）第二天抽2张奖券的概率P=； （2）设第二天获得的优惠券金额为的可能取值为， 第二天抽1张奖券的概率为，抽2张奖券的概率为， 若抽2张奖券，优惠金额20元的概率为，优惠金额30元的概率为， ， ， ， 故第二天获得优惠金额的数学期望. （3）记“第天抽取1张奖券”的概率为，则“第天抽取2张奖券”的概率为， 则“第天抽取1张奖券”的概率为， ， 设，则， 又，则， 所以数列是公比为的等比数列， . 一、单选题 1．已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】代入，， . 2．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若取出的是甲袋，取到红球的概率为， 若取出的是乙袋，取到红球的概率为， 故取到的球为红球的概率是. 3．对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 4．有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，设事件为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），事件B为“零件为次品”. 由全概率公式： . 故选：A 5．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 6．随机事件A，B满足，，，其中和分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．事件A与B不独立 D． 【答案】BC 【详解】对于A选项，因为，所以， 所以，因为，所以， 联立，因为，所以解得，故A选项错误； 对于B选项，因为，所以，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以，因为，所以，所以事件A与B不独立，故C选项正确； 对于选项D，因为，而，故D选项错误． 故选：BC． 二、多选题 7．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为第1，2，3台车床加工的零件数的比为，所以，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD 8．设为一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，，，得，，， 由，得， 解得，B错误； 对于D，由，得，D错误； 对于A，，A正确； 对于C，，，C正确． 故选：AC. 三、填空题 9．设的二项展开式中各项系数分别为，则从这六个数中不放回地依次任取两个数，在已知所抽取的第一个数为正数的情况下，第二个数大于4的概率为________． 【答案】 【详解】有， 可得各项系数依次为： 即六个数为：，其中正数共3个；大于4的数共2个. 设事件：第一个抽取的数为正数，事件：第二个抽取的数大于4，所求为. ：第一个为正数的所有取法， 第一个有3种选择，第二个从剩余5个数选，共， ：第一个为正数且第二个大于4的取法， 若第一个取（非大于4的正数），第二个有2种（5,10），共种； 若第一个取或（大于4的正数），取走1个后剩余1个大于4的数，共种； 所以，故. 10．人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 【答案】/ 【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案 已知输入无语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案 输入有语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 两种情况互斥，所以软件生成正确答案的总概率为： 11．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 四、解答题 12．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰. (1)求该部门招工的淘汰率; (2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 【答案】(1)0.7192 (2)0.48. 【分析】 【详解】（1）设B表示最终通过考核，分别表示通过第一、二、三、四项考核. 因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为，因此该部门招工的淘汰率为. （2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为，因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为. 13．（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个，求这个零件是次品的概率． 【答案】（1）①；② （2） 【分析】 【详解】（1）①根据题意，若第一次取出红球，此时袋中剩余个红球，5个白球. 则在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率.。 ②根据题意，用表示第次取到红球， 则第二次才取到红球即为第一次取到白球，第二次取到红球， 其概率为. （2）根据题意，记事件为“车床加工的零件为次品”，事件为“该零件由第台车床加工”，则. 已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为,则. 故. 则这个零件是次品的概率为. 14．人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】(1) (2)①；②方案二 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为、是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率 为， 方案二中取到红球的概率 为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 15．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)第二次，证明见解析 【分析】 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，， ． 因为，，， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $