三角形中的旋转问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

三角形中的旋转问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 三角形中的旋转问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 考点目录 三角形中的旋转问题 特殊四边形中的旋转问题 考点一 三角形中的旋转问题 例1．（2026·广东深圳·二模）【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 例2．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． (1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转相似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转相似图形”，若，则 ，若连接，则 ． (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，求和的长． 例3．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 变式1．（2025·河北唐山·二模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，， ． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 变式2．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 变式3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 考点二 特殊四边形中的旋转问题 例1．（2026·江苏淮安·模拟预测）【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】 (1)①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． (3)如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】 (4)如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 例2．（2026·江苏宿迁·模拟预测）探索与应用： (1)如图1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． ①在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？请证明你的结论． ②如图2，若连接，则之间的数量关系是什么？请证明你的结论． (2)如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为8的菱形”，改为时，其他条件不变，四边形的面积是______． (3)如图4，在中，，D为中点，，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请直接写出线段的长是______． 例3．（2026·江苏徐州·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、． ①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 变式1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 变式2．（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）． (1)如图①，当时，，，之间满足的数量关系是______________； (2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形， 其他条件不变， 当时，（1）中的结论变为_____________________，请给出证明； (3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与直线交于点，与直线相交于点，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 变式3．（24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角形中的旋转问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 三角形中的旋转问题、特殊四边形中的旋转问题专项训练 考点目录 三角形中的旋转问题 特殊四边形中的旋转问题 考点一 三角形中的旋转问题 例1．（2026·广东深圳·二模）【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的长是或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】（1）解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 例2．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． (1)知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则 的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”）； ②如图2，若与互为“旋转相似图形”，，，则 ； ③如图2，若与互为“旋转相似图形”，若，则 ，若连接，则 ． (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于E，，求证：和互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点G为的中点，点F是上一点，D是延长线上一点，点E在线段上，且与互为“旋转相似图形”，若，求和的长． 【答案】(1)①是；②50，③10， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握“旋转相似图形”的定义是解题的关键． （1）①根据“旋转相似图形”的定义判断即可； ②根据“旋转相似图形”可得即，再根据三角形内角和定理求解即可； ③根据“旋转相似图形”可得，根据相似三角形的性质列比例式求解即可，进而证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （2）先证明可得，再先后证明、，最后根据“旋转相似图形”的定义即可证明结论； （3）如图：如图，过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质易得，再根据“旋转相似图形”的定义可得可得，再解直角三角形可得、，然后说明，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①∵，都是等边三角形， ∴， ∵有公共顶点A， ∴是的“旋转相似图形”． 故答案为：是． ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； ③如图：连接， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：10，． （2）证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成相似图形， ∴和互为“旋转相似图形”． （3）解：如图：如图，过E作于点H， ∵为等腰直角三角形，点G为中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 例3．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． 【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为； ②根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． （2）证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 变式1．（2025·河北唐山·二模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，， ． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到，则，再根据勾股定理得到，进而得到，由相似三角形对应边成比例求解即可； （2）过点作于点，由，为的中点得，，即可求出的长，再用勾股定理求出的长，由等腰三角形的三线合一求出的长，再由（1）得即可求出的长； （3）在纸片绕点旋转过程中，当，，三点能构成直角三角形时，分四种情况：①当在上时，，此时是直角三角形；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形；③当时，是直角三角形；④当时，是直角三角形；分类作图，求出相关线段长，由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在和中， ∴， ，， ， 即， 在中，，，则， 即， ∵， ， ∴， ， ∴； （2）过点作于点，连接， ，为的中点 ， ， 由（1）得 ； （3），，三点能构成直角三角形， 理由如下： ①当在上时，，此时是直角三角形，如图所示： ∴； ②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图所示： ∴； ③当时，是直角三角形，过点作于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则，解得， ∴； ④当时，是直角三角形，过点作于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或或或． 【点睛】本题考查三角形相似的综合应用，涉及旋转的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 变式2．（2025·江苏淮安·二模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M． (1)若D为的中点． ①_____； ②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； ③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值； (2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③ (2)，3 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①证明是等边三角形，得，，由正切函数可得结论； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质解决问题即可； ③证明M，D，N，C四点共圆，推出是该圆的直径，易知当是该圆的直径时，的长最短． （2）当时，根据“垂线段最短”知，的长最短，当四边形是矩形时，，此时最短．解直角三角形，求出即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵°， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于点，于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即； ③连接． ∵， ∴， ∴M，D，N，C四点共圆， ∴是该圆的直径， ∵， ∴当时，的长最短，此时． （2）解：如图，当时， 根据“垂线段最短”知，的长最短， 当四边形是矩形时，，此时最短． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：，3 变式3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 考点二 特殊四边形中的旋转问题 例1．（2026·江苏淮安·模拟预测）【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】 (1)①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． (3)如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】 (4)如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析； (3) (4)或 【分析】（1）①通过正方形对角线性质，证明与全等，得出和的数量关系； ②利用正方形边长相等转化线段，结合勾股定理推导、、的数量关系； （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用矩形性质和勾股定理证明数量关系； （3）连接辅助线，利用菱形对角线性质、中点性质，结合勾股定理分情况列方程求解； （4）利用直角梯形、中点性质，结合矩形的直角条件，分情况用勾股定理计算的长度． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵正方形的边长相等，即，， 由（）①得， ∴，即 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：结论：，理由如下： 延长交于点，连接，连接，则过中心， ∵是矩形的中心， ∴是的中点，即， ∵矩形中，， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴， ∵矩形中，，即， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴； （3）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴−， ∵，为直角， ∴由（2）得， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：分两种情况讨论： 情况，当点在线段上时，连接， ∵，， ∴， 在直角梯形中，，， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ， ∴由（2）得， ∴ 解得； 情况，当点在线段的延长线上时，过作交的延长线于，连接，，则． ， ，， 点是的中点． ． ， ， 在矩形中，，即． ． 在中，，在中， ，即， ，，， ， 即得． 综上，的长为或． 例2．（2026·江苏宿迁·模拟预测）探索与应用： (1)如图1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）． ①在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？请证明你的结论． ②如图2，若连接，则之间的数量关系是什么？请证明你的结论． (2)如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为8的菱形”，改为时，其他条件不变，四边形的面积是______． (3)如图4，在中，，D为中点，，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请直接写出线段的长是______． 【答案】(1)①不会发生变化，证明见解析；②，证明见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）①证明，根据三角形和四边形面积间的关系即可证明结论；②利用全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）在上截取，连接，证明，利用菱形的性质和勾股定理等知识求出，再利用四边形和三角形的面积之间的关系即可得到答案； （3）设则分点E，F分别在线段上和点E在线段的延长线上两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，，，， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即在旋转过程中，四边形的面积不会发生变化； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ （2）上述结论仍然成立； 在上截取，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）解：设则 当点E，F分别在线段上时，作交的延长线于点，则， ∴ ∵D为中点， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， 当点E在线段的延长线上时，如图， 把补成矩形，延长交的延长线于点，连接则，此时， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 解得 综上可知，线段的长是或． 例3．（2026·江苏徐州·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线、相交于点O，正方形的顶点A′与点O重合．将正方形绕点A′旋转，在这个过程中，若连接，则、、之间的数量关系为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，E、F分别是边、对角线上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点A逆时针旋转一定角度后得到新的菱形如图3，连接，点P为线段的中点，连接、． ①判断与的数量关系，并进行证明； ②若，，菱形在旋转过程中，当最小时，的面积为___________． 【答案】（1）； （2），见解析； （3）①，见解析；②． 【分析】（1）利用正方形的性质准备条件，证明，再根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得出结论； （2）猜想：，连接，交于G，连接，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）①延长至Q，使，连接，，DQ，先证明，再证明，利用锐角三角函数即可证明； ②分析可知M′是的中点，作，交的延长线于W，先求出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：猜想， 如图1， 延长，交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）①证明：如图2， ，理由如下： 延长至Q，使，连接，，DQ， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，∠ACD=60°，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； ②解：由①知，，， ∴， ∵， ∴当F′在上时，最小，即CP最小， 如图3， 此时M′使的中点，作，交的延长线于W， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，，，进而可得，利用等式的性质可得，利用即可证得，进而可得，于是可得； （2）由三角形的面积公式可得，由（1）可得：，由经过适当变形可得，进而可求出面积的最大值； （3）利用菱形的性质可得，，，进而可证得是等边三角形，于是可得，，利用三角形的中位线定理可证得且，利用平行线的性质可得，进而可得，，利用即可证得，进而可得，于是可得． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， 面积的最大值是； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ． 变式2．（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图①，的顶点在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）． (1)如图①，当时，，，之间满足的数量关系是______________； (2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形， 其他条件不变， 当时，（1）中的结论变为_____________________，请给出证明； (3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与直线交于点，与直线相交于点，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，，，之间满足的数量关系，直接写出结论，不用证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点落在线段，点落在线段上时，； 当点落在线段，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，． 【分析】（1）根据正方形的性质，可证，从而得到，即可得到； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质，即可得是等边三角形，利用可证，再由全等三角形的对应边相等可得，由，即可得出； （3）①当点落在线段，点落在线段上时，同理可证，那么有，从而得到； ②当点落在线段，点落在线段的延长线上时，，同理可证，那么有，从而得到； ③当点落在线段的延长线上，点落在线段的延长线上时，，同理可证，那么有，从而得到； ④当点落在线段延长线时，点落在线段上时，同理可证，那么有，从而得到； ⑤当点落在线段的延长线，点落在线段的延长线上时，，同理可证，那么有，从而得到． 【详解】（1）解：正方形的对角线，交于点， ， 在和中 故答案为：． （2）解：结论为，证明如下： 如图：取的中点，连接 四边形为菱形， ，， 是等边三角形 ， 在和中 故答案为：． （3）解：①当点落在线段，点落在线段上时，如图所示 由（2）可知， ②当点落在线段，点落在线段的延长线上时，如图所示 取线段的中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 ③当点落在线段的延长线上，点落在线段的延长线上时，如图所示 取线段的中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 ④当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示 取线段的中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 ⑤当点落在线段的延长线，点落在线段的延长线上时，如图所示 取线段的中点，同理可证，那么有， 为线段的中点 综上，当点落在线段，点落在线段上时，； 当点落在线段，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段上时，； 当点落在线段的延长线时，点落在线段的延长线上时，． 变式3．（24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $