2026年广东省中考数学冲刺卷（广州市专用）

**基本信息** 以科技创新、氢能源、工业机器人等时代素材为情境，通过中心对称图形判断、科学记数法、增长率方程等问题，考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配广州中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称、方差、三视图、二次函数综合|结合企业图标考图形性质，用氢能源数据考科学记数法| |填空题|6/18|分式意义、圆锥半径、菱形翻折|以人脸扫描仪情境考解直角三角形，菱形翻折综合空间观念| |解答题|9/72|统计图表、圆的切线、新定义“置换函数”、正方形动态综合|24题新定义函数考查推理能力，25题正方形与三角板动态问题发展创新意识|

2026届广东省中考数学冲刺卷（广州市专用） （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．氢被认为是21世纪理想的清洁能源，在助力北京2022年冬奥会实现碳中和目标的过程中扮演了重要角色．北京和延庆两大赛区，312辆氢燃料电池汽车自2月4日到2月14日，累计用氢约．将数据42040用科学记数法表示，其结果是（    ） A． B． C． D． 3．在以下关于某射击运动员射击环数的统计量中，能反映该运动员射击成绩稳定情况的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 5．广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某工业机器人制造公司在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 6．把函数的图象绕坐标原点旋转，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 7．如图，放置在正方形网格中，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 9．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 12．若，则____0． 13．如图，，，，则__________°． 14．如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____． 15．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 16．如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分） 解方程：． 18．（本题满分4分） 线段、相交于点E，，，求证：． 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中. 20．（本题满分6分） 我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 21．（本题满分8分） 中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化与贸易格局．某地举办品茶促销会，某经销店购进一批A，B两款茶杯的金额分别是1200元、900元，A款茶杯单价是B款茶杯的2倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个． (1)A，B两款茶杯的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共100个，A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元，问如何进货？ 22．（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． (1)求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 23．（本题满分10分） 如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，，求的长． 24．（本题满分12分） 我们约定：若关于的二次函数与满足，则称为的“置换函数”． (1)已知二次函数，求出其“置换函数”图象的顶点坐标； (2)若二次函数与其“置换函数”的图象交于两点，求的长； (3)若二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点，写出需要满足的条件． 25．（本题满分12分） 如图1，在数学活动课上探究正方形的图形与性质时，小明同学将一个等腰直角三角板按如图位置摆放于边长为5的正方形上，使得其直角顶点落在点处，点落在边上，点落在的延长线上． (1)求证：； (2)如图2，取的中点，连接，若，求的长； (3)若将等腰直角三角板沿方向平移，使其直角边恰好过点，与直线交于点， ①若，求的长度； ②若转动该等腰直角三角板，仍使得其直角顶点在对角线上，且直角边过点，当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省中考数学冲刺卷（广州市专用） （本试卷共三大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔(除作图外)、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．氢被认为是21世纪理想的清洁能源，在助力北京2022年冬奥会实现碳中和目标的过程中扮演了重要角色．北京和延庆两大赛区，312辆氢燃料电池汽车自2月4日到2月14日，累计用氢约．将数据42040用科学记数法表示，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，且等于原数的整数位数减1． 【详解】解：将数据42040用科学记数法表示为． 3．在以下关于某射击运动员射击环数的统计量中，能反映该运动员射击成绩稳定情况的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】方差体现数据的稳定性，集中程度；方差越小，数据越稳定．故要判断该运动员射击成绩稳定情况，需要知道他射击环数的方差． 【详解】解：由于方差反映数据的波动情况，因此能反应该运动员射击成绩稳定情况的是方差， 故选D． 4．如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 5．广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某工业机器人制造公司在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， ∵5月产值为2500万元，月均增长率为， ∴6月产值为万元， ∴7月产值为万元， ∵预计7月产值为9100万元， ∴可列方程． 6．把函数的图象绕坐标原点旋转，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点绕原点旋转的坐标变换规律，代入原函数关系推导旋转后新函数的解析式． 【详解】解：∵ 在函数的图象上任取一点， ∴ 满足，即， 将点绕坐标原点旋转后，所得新点坐标为或， 设旋转后函数解析式为， 情况1：若新点为，可得 将代入得 ， ∴； 情况2：若新点为 ，可得 将代入得， ∴； ∴ 旋转后所得图象对应的函数解析式为． 7．如图，放置在正方形网格中，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助网格图，构造直角三角形，利用勾股定理以及锐角三角函数求解． 【详解】解：如图所示， ∴ ∴， ∴． 8．如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，首先根据菱形的性质以及菱形面积公式确定的长度，再利用勾股定理解得的值，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，且， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 9．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出，，然后通过函数图象可得当时，，即可判断；通过二次函数的性质即可判断；当时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 10．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为4和正方形的边长为3， ∴正方形的面积为16，正方形的面积为9， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故选B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ， 即 ． 故答案为 ． 12．若，则____0． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．如图，，，，则__________°． 【答案】 【分析】先求出，再根据平行线的性质求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____． 【答案】 【分析】由题意根据圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π进行计算即可求解． 【详解】解：作OD⊥AC于点D，连接OA， ∴∠OAD=30°，AC=2AD， ∴AC=2OA×cos30°=2， ∴， ∴圆锥的底面圆的半径． 故答案为：． 15．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 16．如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②③ 【分析】本题利用菱形的性质和折叠的性质，结合相似三角形的判定定理和性质，以及点到直线的距离等知识进行解答．对于①，通过菱形的性质，折叠的性质及三角形内角和定理得到，再由证得；对于②，由①的结论结合三角形内角和定理求得的度数，最后利用折叠的性质即可判断；对于③，利用线段中点的性质，折叠的性质证得和是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，最后利用平行四边形邻边相等即可判断；对于④，通过折叠的性质可得点E的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆上，当C，E，M三点共线时，取得最小值，通过构造辅助线，利用解含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求得目标线段的长度进行判断． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵， 由①可知，， 在中，， 由折叠可知，， ∴， ∴，结论②正确； ∵M是的中点， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，结论③正确；    ∵菱形边长为6，M是的中点， ∴， 由折叠可知，， ∴点E的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆上， 当C，E，M三点共线时，取得最小值， 此时， 如图，过点M作交延长线于点F，    ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，结论④错误， 综上，正确结论序号是①②③． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分4分） 解方程：． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式，运用直接开方法解方程． 【详解】解： 配方法，， 直接开方， 当时，；当时，， ∴原方程的解为，． 18．（本题满分4分） 线段、相交于点E，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到．根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵线段、相交于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（本题满分6分） 先化简，再求值：，其中. 【答案】； 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 20．（本题满分6分） 我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【答案】(1)20，11； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用特别好（A）的人数特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类男生数及女生数，再求女生总人数； （2）求出“C”类别女生数，结合（1）中所求D类男生数，补充条形统计图； （3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解即可． 【详解】（1）解：调查学生数为（人）， “D”类别学生数为（人）， 其中男生为（人）， 调查女生数为（人）， 故答案为：20，11． （2）解：C类学生总数为（人），C类女生人数为（人）； 由（1）D类男生人数为1人； 补充条形统计图如图所示； （3）解：由题意，列表如下： 男A 女 女 男D 男A，男D 男D，女 男D，女 女D 女D，男A 女D，女 女D，女 共有6种等可能的结果，其中一男一女的结果有3种， ∴． 21．（本题满分8分） 中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化与贸易格局．某地举办品茶促销会，某经销店购进一批A，B两款茶杯的金额分别是1200元、900元，A款茶杯单价是B款茶杯的2倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个． (1)A，B两款茶杯的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共100个，A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元，问如何进货？ 【答案】(1)A款茶杯的单价为12元，B款茶杯的单价为6元 (2)有三种进货方案：方案一：购进A款茶杯25个，B款茶杯75个；方案二：购进A款茶杯26个，B款茶杯74个；方案三：购进A款茶杯27个，B款茶杯73个 【分析】（1）设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元． 根据题意，得：， 解得： 经检验，是原分式方程的解． ， 答：A款茶杯的单价为12元，B款茶杯的单价为6元． （2）解：设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个， 依题意得：， 解得：， 又因为A款茶杯的数量不少于25个， ， 又∵a取正整数， ∴a可取25，26，27． 即：有三种进货方案 方案一：购进A款茶杯25个，B款茶杯75个； 方案二：购进A款茶杯26个，B款茶杯74个； 方案三：购进A款茶杯27个，B款茶杯73个． 22．（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． (1)求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入得到，进而求得反比例函数的解析式； （2）先求得，设点的坐标为，根据得出，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴将代入中得，， ∴点的坐标为， ∴将代入中得，， ∴该反比例函数的表达式为， 点的坐标为； （2）∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∴ ∵， ∴，解得，或， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）∵，， 根据函数图象可得的解集为：或． 23．（本题满分10分） 如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理，得到，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形求出的长，求出的长，解直角三角形，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，则， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（本题满分12分） 我们约定：若关于的二次函数与满足，则称为的“置换函数”． (1)已知二次函数，求出其“置换函数”图象的顶点坐标； (2)若二次函数与其“置换函数”的图象交于两点，求的长； (3)若二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点，写出需要满足的条件． 【答案】(1) (2) (3)，或且 【分析】（1）根据题意得出，再由新定义确定函数解析式，化为顶点式即可求解； （2）根据题意建立方程得出或，然后确定交点在一条与轴平行的直线上，即可求解； （3）令，根据题意得出关于的方程只关于的方程中二次项系数含字母，需分情况讨论．有1个解，分情况分析：①当时，②当时，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，若为的“置换函数”， 则满足， 即， 二次函数的“置换函数”为， ， 二次函数的“置换函数”图象的顶点坐标为； （2）由题意可得二次函数的“置换函数”为， 令， 解得或， 当时，， 当时，， 交点在一条与轴平行的直线上， ； （3）二次函数的“置换函数”为， 令， 整理得， 二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点， 关于的方程有且仅有一个解．由于二次项系数含有参数，需分情况讨论， ①当时， 原方程为， 若该关于的一次方程有1个解，则， 当时，二次函数0）与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点； ②当时， 要使二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点， 则， 即， 展开得， 整理得， 即， ， ， 即， 当且时，二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点， 综上所述，当，或且时，二次函数与其“置换函数”的图象有且仅有一个交点． 25．（本题满分12分） 如图1，在数学活动课上探究正方形的图形与性质时，小明同学将一个等腰直角三角板按如图位置摆放于边长为5的正方形上，使得其直角顶点落在点处，点落在边上，点落在的延长线上． (1)求证：； (2)如图2，取的中点，连接，若，求的长； (3)若将等腰直角三角板沿方向平移，使其直角边恰好过点，与直线交于点， ①若，求的长度； ②若转动该等腰直角三角板，仍使得其直角顶点在对角线上，且直角边过点，当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；②或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由是等腰直角三角形，可得，进而证明，即可得到； （2）过点作交于点，由正方形的性质可得，，易得是的中位线，进而得到，，最后在中，利用勾股定理可求出； （3）①连接，过点作交于点，交于点，交于点，由正方形的性质可得、、都是等腰直角三角形，四边形、四边形都是矩形，进而得出，，再证明，得到，最后根据即可得出结果；②分类讨论：第一情况，当线段与的夹角为，即时；第二情况，当线段与的夹角为，即时，再由即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在与中 ∴， ∴． （2）解：过点作交于点， 由（1）得：， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵点是的中点，即， ∴，即，点是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴在中，． （3）解：①如图所示，连接，过点作交于点，交于点，交于点， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， 又∵，，， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴； ②当线段与的夹角为，即时，如图所示： ∴， 由①得：， ∴， ∴， 当线段与的夹角为，即时，如图所示： 由①得：， ∴， ∴． 综上：或． 1 / 2 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