精品解析：山东省青岛市李沧区2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

七年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “山深未必得春迟，处处山樱花压枝”，这句诗描绘了山樱盛放、春意盎然的景象．其中，一朵山樱花的花粉颗粒直径约为0.000042米．将数据0.000042用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的个数为（ ） ①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上； ②足球队员罚点球时，破门得分； ③小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜； ④掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于7． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 直尺和三角板是常用的绘图工具，将一个三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，给出的下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的袋子里装有1个黑球、2个黄球、4个白球和5个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，重复多次试验，绘制了某种颜色的球出现频率的折线统计图．则这种颜色的球可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 白球 D. 红球 8. 如图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．将纸条按图2方式折叠，使与重合，得到折痕．将纸条展开后，再按图3方式折叠，使与重合，得到折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得到折痕，……，依次类推，第6次折叠后，的度数为（ ） A. B. C. D. 第II卷（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：__________． 10. 从一副拿掉大、小王的扑克牌中，抽取一张，抽到红桃的概率是_________. 11. 如图，点，在直线上，且，三角形的面积为．若是直线上任意一点，连接，则线段的最小长度为__________． 12. 如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 13. 如果的乘积中不含的一次项，则的值为__________． 14. 第十五届全国运动会，开创了多个“首次”，包括首次不新建大型场馆．某升级改造的长方形场馆面积为平方米，宽为米，则这个场馆的长为__________米． 15. 共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 16. 用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图为某公园草坪平面图，现计划过点修一条小路，使与平行，且点在草坪边缘上．请在图中作出小路的示意图． 四、解答题（本大题共7小题，共68分） 18. 计算 （1） （2） （3）； （4）（用乘法公式计算）． 19. 规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： （1）__________； （2）若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； （3）若，求的值． 20. 任意掷一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，骰子的1个面标有“6”，2个面标有“5”，3个面标有“4”，4个面标有“3”，5个面标有“2”，其余的面标有“1”． （1）掷出的数字是1的概率是多少？ （2）掷出的数字小于4的概率是多少？ （3）掷出的数字是奇数的概率是多少？ 21. 比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法；一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较和的大小 解：因为，， 所以． ②比较和的大小 解：因为，，， 所以． 根据上述材料，解决下列问题： （1）比较和的大小； （2）已知，，，试比较，，的大小． 22. 如图，，，，平分． （1）判断与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）求的度数． 23. 在数学学习中，我们经常利用图形的面积关系理解数学等式，使抽象的数量关系直观化． 【思考探究】 （1）图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积（请用含有，的代数式表示），第一种方法可表示为：__________，第二种方法可表示为：__________；由此可得等式__________； （2）图2所示的大正方形，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的三边长分别为，，，其中，为直角边．试通过两种不同的方法计算小正方形的面积，说明． （3）如果图2中直角三角形的两条直角边满足，，请你利用（1）和（2）的结论，求出图2中小正方形的面积． 【拓展延伸】 （4）图3所示的大正方形，是由四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成，长方形的长为，宽为．可以得到，和之间的等量关系为__________； （5）当时，应用（4）的结论，可得的值为__________． 24. 在几何光学中，凹透镜对光线起发散作用．如图1，平行于主光轴的光线和通过凹透镜后发散，发散光线和的反向延长线相交于主光轴上的点． 【提出问题】，和三个角之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】可以利用平行线相关知识进行研究． 【解决问题】 （1）解：因为， 根据①__________， 所以． 因为， 所以②__________ 因为， 根据③__________， 所以，和三个角的数量关系是④__________． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线，点是，之间的一点，点，分别在直线，上，连接，．和的平分线和相交于点． ①写出，和之间的数量关系式：__________； ②若，则__________． 【拓展提高】 （3）如图3，，，，若，则的度数为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “山深未必得春迟，处处山樱花压枝”，这句诗描绘了山樱盛放、春意盎然的景象．其中，一朵山樱花的花粉颗粒直径约为0.000042米．将数据0.000042用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 下列事件是必然事件的个数为（ ） ①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上； ②足球队员罚点球时，破门得分； ③小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜； ④掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于7． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件指一定条件下一定发生的事件，再逐个判断每个事件的类型，统计必然事件的个数即可得到结果． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件． ②足球队员罚点球时，破门得分可能发生也可能不发生，属于随机事件． ③小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜可能发生也可能不发生，属于随机事件． ④掷一枚质地均匀的骰子，骰子最大点数为，因此掷出的点数一定小于，该事件是必然事件． ∴必然事件的个数为个． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； B、单项式除法中，数与同底数幂分别相除， ∴，B错误； C、合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，C错误； D、根据幂的乘方与积的乘方法则， ∴，D正确． 故选：D． 4. 直尺和三角板是常用的绘图工具，将一个三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，即可求得，再根据平行线的性质得． 【详解】解：如图， 根据题意，， ∵， ∴， 根据题意，， ∴． 5. 如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 6. 如图，给出的下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、，内错角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意； B、的对顶角和是一对同位角，由对顶角相等和，得这一对同位角相等，则同位角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意； C、，不可以判断，符合题意； D、的对顶角和是一对同旁内角，由对顶角相等和，得这一对同旁内角互补，则同旁内角互补，两直线平行，可以判断，不符合题意； 故选：C． 7. 在一个不透明的袋子里装有1个黑球、2个黄球、4个白球和5个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，重复多次试验，绘制了某种颜色的球出现频率的折线统计图．则这种颜色的球可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 白球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，根据统计图可得摸到这种颜色的球的概率，再根据概率公式可求出这种颜色的球的数量，结合题意即可得到答案． 【详解】解：由题意得，随着试验次数的增加摸到该种颜色的球的频率逐步稳定在附近，即摸到该种颜色的球的概率为， ∴该种颜色的球的数量约为个， ∴则这种颜色的球可能是白球． 8. 如图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．将纸条按图2方式折叠，使与重合，得到折痕．将纸条展开后，再按图3方式折叠，使与重合，得到折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得到折痕，……，依次类推，第6次折叠后，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，依此类推：，，，…，从而得出规律（为正整数），即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 依此类推：，，，…， ∴（为正整数）， 当时，． 第II卷（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】逆用积的乘方运算法则，对原式变形后进行简便计算． 【详解】解：． 10. 从一副拿掉大、小王的扑克牌中，抽取一张，抽到红桃的概率是_________. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一副拿掉大、小王的扑克牌共有52张，红桃的有13张， ∴抽取一张，这张牌是红桃的概率是： 故答案为 11. 如图，点，在直线上，且，三角形的面积为．若是直线上任意一点，连接，则线段的最小长度为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】设点C到距离为，根据三角形的面积公式求出h，即为线段的最小长度． 【详解】解：设点C到距离为，线段的最小长度为， ∵，三角形的面积为， ∴， 解得， ∴线段的最小长度为4． 12. 如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 13. 如果的乘积中不含的一次项，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则将已知式子展开，可找出所有含x的项，合并同类项，令含x项的系数等于0，即可求的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式的法则可知： ， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， 解得：． 14. 第十五届全国运动会，开创了多个“首次”，包括首次不新建大型场馆．某升级改造的长方形场馆面积为平方米，宽为米，则这个场馆的长为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式可得长等于面积除以宽． 利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：米， 故这个场馆的长为米． 15. 共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知，，，则__________°． 【答案】65 【解析】 【分析】结合两直线平行，同旁内角互补得，又因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 16. 用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可得 ，观察图形可知阴影部分的面积等于底为高为的三角形面积减去底为高为的三角形面积，利用整式的混合运算法则化简求值即可 ． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得 ， 阴影部分的面积为        ． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图为某公园草坪平面图，现计划过点修一条小路，使与平行，且点在草坪边缘上．请在图中作出小路的示意图． 【答案】见详解 【解析】 【分析】在点作，运用同位角相等，两直线平行，证明，即可作答． 【详解】解：小路的示意图，如图所示： 四、解答题（本大题共7小题，共68分） 18. 计算 （1） （2） （3）； （4）（用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2） （3） （4）1 【解析】 【分析】（1）先利用有理数乘方、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用积的乘方、幂的乘方计算，然后再利用单项式乘单项式法则计算即可； （3）先化成同底数幂，然后再利用同底数幂除法法则计算即可； （4）先凑出平方差的形式，然后利用平方差公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 19. 规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： （1）__________； （2）若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； （3）若，求的值． 【答案】（1）8 （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）根据定义可得，据此求解即可； （2）根据定义可得，根据完全平方式的特点确定一次项即可得到答案； （3）由，可以得到，则可推出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵的结果是一个关于，的完全平方式， ∴一次项为， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 任意掷一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，骰子的1个面标有“6”，2个面标有“5”，3个面标有“4”，4个面标有“3”，5个面标有“2”，其余的面标有“1”． （1）掷出的数字是1的概率是多少？ （2）掷出的数字小于4的概率是多少？ （3）掷出的数字是奇数的概率是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式，先求出标有“1”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （2）找到数字小于4的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （3）找出数字是奇数的面数，然后利用概率公式计算可得答案． 【小问1详解】 解：由条件可知标有“1”的面数为面， ∴掷出“1”的概率是； 【小问2详解】 解：掷出的数字小于4的概率是； 【小问3详解】 解：掷出的数字是奇数的概率是． 21. 比较底数大于1的幂的大小时，通常有两种方法；一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较和的大小 解：因为，， 所以． ②比较和的大小 解：因为，，， 所以． 根据上述材料，解决下列问题： （1）比较和的大小； （2）已知，，，试比较，，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将和化成底数为2的数，然后再比较即可； （2）将，，化成指数为13的数，然后再比较即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． 22. 如图，，，，平分． （1）判断与有怎样的位置关系？请说明理由； （2）求的度数． 【答案】（1）平行，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，则，根据同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，即可求解． 【小问1详解】 解：与的位置关系是平行，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 在数学学习中，我们经常利用图形的面积关系理解数学等式，使抽象的数量关系直观化． 【思考探究】 （1）图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积（请用含有，的代数式表示），第一种方法可表示为：__________，第二种方法可表示为：__________；由此可得等式__________； （2）图2所示的大正方形，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的三边长分别为，，，其中，为直角边．试通过两种不同的方法计算小正方形的面积，说明． （3）如果图2中直角三角形的两条直角边满足，，请你利用（1）和（2）的结论，求出图2中小正方形的面积． 【拓展延伸】 （4）图3所示的大正方形，是由四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成，长方形的长为，宽为．可以得到，和之间的等量关系为__________； （5）当时，应用（4）的结论，可得的值为__________． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）100 （4）（形式不唯一） （5）0 【解析】 【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可解答； （2）用两种方法表示中间的正方形的面积即可得解答； （3）利用和，然后将已知条件代入求值即可； （4）用两种方法表示阴影部分的面积即可解答； （5）利用（4）的结论求解即可． 【小问1详解】 解：由图形可知：． ． 【小问2详解】 解：∵中间正方形的面积，中间正方形的面积， ． 【小问3详解】 解：由（1）可得：， ∵，， ， 由（2）可得， ∴，即图2中小正方形的面积为100． 【小问4详解】 解：如图3：由题意可得：， ∴. 【小问5详解】 解：设，则，， ∴， ∵， ∴． 24. 在几何光学中，凹透镜对光线起发散作用．如图1，平行于主光轴的光线和通过凹透镜后发散，发散光线和的反向延长线相交于主光轴上的点． 【提出问题】，和三个角之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】可以利用平行线相关知识进行研究． 【解决问题】 （1）解：因为， 根据①__________， 所以． 因为， 所以②__________ 因为， 根据③__________， 所以，和三个角的数量关系是④__________． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线，点是，之间的一点，点，分别在直线，上，连接，．和的平分线和相交于点． ①写出，和之间的数量关系式：__________； ②若，则__________． 【拓展提高】 （3）如图3，，，，若，则的度数为__________． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②；③等量代换；④ （2）①；② （3）160 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和已给推理过程求解即可； （2）①由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，再由（1）的结论可得答案；②求出，根据角平分线的定义得到，再由（1）的结论可得答案； （3）过点F作，则，根据平行线的性质和角的和差关系可推出，由（1）得，由平行线的性质得到，则，据此得到，则，可求出，则． 【小问1详解】 解：因为， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 因为， 根据等量代换， 所以，和三个角的数量关系是． 【小问2详解】 解：①∵和的平分线和相交于点， ∴； ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； ②∵，， ∴； ∵和的平分线和相交于点， ∴， ∴由（1）的结论可得； 【小问3详解】 解：如图所示，过点F作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $