精品解析：山东省淄博市沂源县2025-2026学年七年级下学期4月期中数学试题（五四学制）

初二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号， 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列语句不是命题的为（ ） A. 同角的余角相等 B. 作直线的垂线 C. 若，则 D. 两条直线相交，只有一个交点 2. 随机掷一个均匀的骰子（六个面上分别标有数字），则这个小正方体朝上的一面数字是1的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列选项中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某学习小组做“用频率估计概率的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( ) A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上 B. 任意写一个整数，它能被2整除 C. 不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 6. 一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖概率为的奖券10张中奖”是必然事件 B. 气象局预报说“明天下雨的概率是70%”，就是说明天70%的时间下雨 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 D. “水中捞月”是不可能事件 8. 如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 一次函数与的图象如图，下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 自然现象中，“太阳从东方升起”是______事件． 12. 若关于的方程组的解满足，则的值为________． 13. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是________________． 14. 如图，在中有一点，、分别平分与，，若，，则的周长是______. 15. 已知，，，，且，请直接写出、、的数量关系________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程组； （1） （2）， 17. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． （1）按照小云的方法，的值为_________，的值为_________； （2）请按照小辉的思路求出的值． 18. 如图，，，点D，F分别是垂足，．求证：． 19. 某超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如下的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不获奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于200元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图1 谢谢惠顾 50元 20元 20元 100元 20元 20元 50元 谢谢惠顾 图2 （1）某顾客购物消费了220元，获得一次翻奖牌的机会，则该顾客获得100元购物券的概率是______，获得20元购物券的概率是______，不获奖的概率是______； （2）求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到0.1）； （3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是． 20. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE=∠G． （1）求证：AD∥EG； （2）设∠B=x，∠G=y，若x-y=30°，∠ADC=110°，求∠B的度数． 21. 如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， （1）求的值； （2）直接写出二元一次方程组的解； （3）若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 22. 某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ （2）若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材 背景 一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完角的定义及其性质和平行线的性质与判定，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 一副三角尺如图，， ， ，． 问题解决 任务1 将这副三角尺如图摆放，使点B与F重合，且，则的度数为_______； 任务2 将这副三角尺如图摆放，顶点C与F重合，，求的度数． 任务3 两个三角尺如图摆放，直角顶点C与F重合，保持三角尺DEF固定不动，将三角尺绕着点F逆时针旋转度（）．请直接写出当旋转角为多少度时，边与的一边平行？ 解答区 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号， 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列语句不是命题的为（ ） A. 同角的余角相等 B. 作直线的垂线 C. 若，则 D. 两条直线相交，只有一个交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的定义依次分析各项即可，解答本题的关键是熟练掌握命题的定义：对某一件事情作出正确判断的句子叫做命题． 【详解】解：A、C、D均是命题，B不是命题，故选B. 2. 随机掷一个均匀的骰子（六个面上分别标有数字），则这个小正方体朝上的一面数字是1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】掷均匀骰子时，所有等可能的朝上结果共种，其中朝上数字为的结果只有种， 概率为 ． 3. 如图，下列选项中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行可判断A，根据内错角相等，两直线平行可判断C，根据同旁内角互补，两直线平行可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵ ∴，故D不符合题意； ∵，且，是同旁内角， ∴不能判定，故B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． 4. 如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 某学习小组做“用频率估计概率的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( ) A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上 B. 任意写一个整数，它能被2整除 C. 不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，及其概率,计算四个选项的概率，约为0.33的即为正确答案. 【详解】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，出现1点朝上的概率为≈0.17，不符合题意； B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意； C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率≈0.33，符合题意； D、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是，不符合题意； 故选C． 【点睛】考查了概率的计算，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键. 6. 一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据平角和直角定义，得方程x+y=90； 根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50． 可列方程组为， 故选C． 【点睛】考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角． 7. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖概率为的奖券10张中奖”是必然事件 B. 气象局预报说“明天下雨的概率是70%”，就是说明天70%的时间下雨 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 D. “水中捞月”是不可能事件 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率的意义，必然事件、随机事件、不可能事件的意义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．“买中奖概率为的奖券10张中奖”是随机事件，故此选项不符合题意； B．气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天大概率下雨，是随机事件，故此选项不符合题意； C．抛掷―枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故此选项不符合题意； D．“水中捞月”是不可能事件，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了概率的意义以及必然事件、随机事件、不可能事件等知识，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．正确掌握概率的意义是解题的关键． 8. 如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 9. 在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】甲看错①中的，但未看错②中的，因此甲的解满足方程②，可求出正确的；乙看错②中的，但未看错①中的，因此乙的解满足方程①，可求出正确的． 【详解】解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 10. 一次函数与的图象如图，下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数的交点问题对进行判断；结合函数图象对进行判断． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∵直线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，故正确； ∵关于x的方程可变形为 又一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴关于x的方程的解是，故错误； 由图象可得，当时，，故③正确； 当时，函数， ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的是①③④。 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 自然现象中，“太阳从东方升起”是______事件． 【答案】必然 【解析】 【详解】解：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件，太阳从东方升起是确定一定会发生的自然现象，符合必然事件的定义，因此“太阳从东方升起”是必然事件． 12. 若关于的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，得，根据得到，即可求出﹒ 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得﹒ 故答案为：2 13. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的面积除以整个网格的面积即可得． 【详解】解：由题意可知，整个网格的面积为， 的面积为， 则向正方形网格中投针，落在内部的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 14. 如图，在中有一点，、分别平分与，，若，，则的周长是______. 【答案】60 【解析】 【分析】根据平行线的性质，以及角平分线的性质，可知△MOB和△NOC为两个等腰三角形，从而把周长转化到求AB和AC之和问题上． 【详解】解：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO=∠OBC， ∵MN∥BC， ∴∠OBC=BOM， ∴∠ABO=∠BOM， ∴BM=OM， 同理可得CN=ON， ∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ∵AB=24，AC=36， ∴△AMN的周长=24+36=60． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 15. 已知，，，，且，请直接写出、、的数量关系________． 【答案】（上式变式都正确） 【解析】 【分析】过点E作，过点F作，可得出（根据平行于同一直线的两条直线互相平行），根据平行线的性质，可得出各个角之间的关系，利用等量代换、等式的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查平行线的性质及等式的性质，作出相应的辅助线、找出相应的角的关系是解题关键． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程组； （1） （2）， 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ，得，解得， 将代入②，得， 所以原方程组的解是； 【小问2详解】 解： ，得④ ，得⑤ 由得，解得， 把代入④，得，解得， 把，代入①，解得， 所以原方程组的解为． 17. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． （1）按照小云的方法，的值为_________，的值为_________； （2）请按照小辉的思路求出的值． 【答案】（1）5； （2） 【解析】 【分析】（1）将①③联立得到，得，，解得，把代入①求得即可； （2）得，则，得到，即可得到，求出的值即可． 【小问1详解】 解：将①③联立得到 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 ，得， 即, ∴， ∵， ∴， 解得． 即的值为1． 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 18. 如图，，，点D，F分别是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：如图，，，垂足分别为D，F， , ， ， ， ， ． 19. 某超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如下的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不获奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于200元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图1 谢谢惠顾 50元 20元 20元 100元 20元 20元 50元 谢谢惠顾 图2 （1）某顾客购物消费了220元，获得一次翻奖牌的机会，则该顾客获得100元购物券的概率是______，获得20元购物券的概率是______，不获奖的概率是______； （2）求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到0.1）； （3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是． 【答案】（1），， （2）元 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可进行求解； （2）根据题意可直接进行求解； （3）根据题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：获得20元购物券有4次机会，获得50元购物券有2次机会，获得100元购物券有1次机会，不获奖有2次机会， ∴该顾客获得100元购物券的概率是，获得20元购物券的概率是，不获奖的概率是； 【小问2详解】 解：因为顾客获得50元购物券的概率是， 所以顾客平均每次翻奖牌获奖金额为元； 答：顾客平均每次翻奖牌获奖金额为元． 【小问3详解】 解：顾客翻奖牌一次，获得50元及以上购物券，（答案不唯一） ∴概率为． 20. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF交BA延长线于点G，∠CFE=∠G． （1）求证：AD∥EG； （2）设∠B=x，∠G=y，若x-y=30°，∠ADC=110°，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的性质得，又因为，从而可得，即可证AD∥EG； （2）由题意可知，，进而可列方程，即可求出∠B. 【详解】解：（1）平分 解得： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，对顶角相等，三角形的外角性质以及根据内错角相等判定直线平行. 21. 如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， （1）求的值； （2）直接写出二元一次方程组的解； （3）若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可； （2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案； （3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 把点P坐标代入中得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解为； 【小问3详解】 解：如图，作点A关于y轴对称点，则， 由两点之间线段最短可知的最小值为的长， ， 在中，当时，， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得 解得 直线的表达式为， 在中，当时，， 点C的坐标为． 22. 某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ （2）若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 【答案】（1）1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运5吨 （2）较省钱的一种租车方案为租A型车1辆，B型车6辆 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）根据设1辆A型车装满路面砖一次可运x吨，1辆B型车装满路面砖一次可运y吨，已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖．列方程求解即可； （2）设计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设1辆A型车装满一次可运x吨路面砖，1辆B型车装满一次可运y吨路面砖， 由题意得：，解得：， 答：1辆A型车装满一次可运3吨路面砖，1辆B型车装满一次可运5吨路面砖； 【小问2详解】 设租用A型车a辆，B型车b辆，由题意得：，整理得：， ∵a，b均为正整数，∴或，∴有2种租车方案： ①租A型车6辆，B型车3辆，方案租金：（元）， ②租A型车1辆，B型车6辆，方案租金：（元）， ∵， ∴较省钱的一种租车为方案②：A型车1辆，B型车6辆． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材 背景 一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完角的定义及其性质和平行线的性质与判定，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 一副三角尺如图，， ， ，． 问题解决 任务1 将这副三角尺如图摆放，使点B与F重合，且，则的度数为_______； 任务2 将这副三角尺如图摆放，顶点C与F重合，，求的度数． 任务3 两个三角尺如图摆放，直角顶点C与F重合，保持三角尺DEF固定不动，将三角尺绕着点F逆时针旋转度（）．请直接写出当旋转角为多少度时，边与的一边平行？ 解答区 【答案】任务1：；任务2：；任务3：α的度数为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角、内错角相等）、三角尺特殊角度（、、、）的运用及旋转角的分类讨论．熟练掌握平行线性质，结合三角尺角度拆分、合成角，通过分类讨论旋转后直线平行的不同位置关系是解题关键． 任务1：利用平行线性质（两直线平行，内错角相等），结合三角尺已知角度，通过角的差计算． 任务2：借助平行线性质，作辅助平行线，将拆分为与三角尺角度相关的两个角，通过角的和求解． 任务3：分情况讨论与三边（、、）平行时的旋转状态，依据平行线性质、三角尺角度，结合旋转角定义计算． 【详解】解：任务1 ∵，，，点与重合． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． 任务2 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）； ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴． 任务3 三角尺固定，，，；三角尺绕逆时针旋转（），分以下情况： 情况1：, 如图，当与同向平行时， ∵, ∴ ∴，即． 如图，当与反向平行时, ∵, ∴ ∴， ∴即． ． 情况2： 如图，∵， ∴, ∴ 情况3： ∵， ∴． 综上，α的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $