山东省青岛市李沧区、城阳区2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省青岛市李沧区、城阳区七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 2.“天壤之间，水居其多”，苏轼的诗描绘了自然界中水资源的丰富.一个水分子的直径约为米.将数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.若一个正方体的棱长为米，则这个正方体的体积为(    ) A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 4.下列事件是必然事件的有(    ) ①明天是晴天； ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数； ③地球绕着太阳转； ④同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5.如图，给出的下列条件中不能判断的是(    ) A. B. C. D. 6.将五张除数字外完全相同的不透明卡片，分别标上数字2，6，1，9，反面朝上洗匀后，从中任意抽出一张，则该卡片上的数字能被3整除的概率是(    ) A. B. C. D. 7.将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是(    ) A. B. C. D. 8.数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和筒洁性.在数学中，记…!，2!，3!，…，n!…则的值为(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若，，则______. 10.如图，要使，可以添加的条件是______填写一个你认为正确的即可 11.三角板是一种常用的绘图工具，将一副三角板按如图所示的方式摆放，使它们最长的边平行，则______ 12.甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是2的倍数，则乙赢.这个游戏对甲、乙来说是______的填“公平”或“不公平” 13.第三宇宙速度是指从地球起飞的航天器飞行速度达到米/秒时，无需后续加速就可以摆脱太阳引力的束缚.艺术形式下的哪吒踢毽子时，毽子速度大约是米/秒，则毽子的速度约是第三宇宙速度的______倍. 14.综合实践课上，同学们设计摸球试验.在一个不透明的布袋中，装有除颜色外完全相同的30个红球和10个白球，小明想使摸到白球的概率是，则需要再向袋中加入______个白球. 15.生活中的反射现象，遵循物理学中光的反射定律.如图，入射光线BC经过平面镜AE上的点C反射后，反射光线CD恰好与AB平行，已知，，则______ 16.如图，按一定的规律分割平行四边形后，第1个图形中共有2个三角形，第2个图形中共有8个三角形，第3个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第n个图形中共有______个三角形. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题4分 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹： 人勤不负好春光，春耕备耕正当时.如图，农田中有一条笔直的灌溉渠AB，点C是农田外的一个水源，现在要过点C修一条新灌溉渠CD，使CD与AB平行.请在图中画出 18.本小题16分 计算. ； ； ； 用乘法公式计算 19.本小题6分 先化简再求值：，其中， 20.本小题8分 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试.下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 y 填空：______，______，______； 测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是______精确到； 根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是______次； 如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 21.本小题8分 五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形.商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券. “转动一次转盘获得100元的购物券”是______；填必然事件、不可能事件或随机事件 转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ 如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 22.本小题8分 如图，的平分线BG交AC于点G，， 判断AB与FG有怎样的位置关系？说说你的理由； 已知，求的度数. 23.本小题10分 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象.数形结合的思想就是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来. 如图①从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形后，将剩下的阴影部分沿虚线剪开，拼成图②所示的长方形. 通过比较图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是______； 在计算时，可以利用中的结论，请你补全计算过程： 解：， ， ______， ______， =______. 利用以上的结论和方法计算： 根据你发现的规律填空： ______. 24.本小题12分 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚.这个《秧BOT》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破. 【提出问题】 图①是H1练习时的侧面示意图，上身AB与地面呈垂直状态，脚面DE呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形. 【问题解决】 解：如图②，过点B作，过点C作，则 因为，， 所以， 因为，， 根据______， 所以， 根据______， 所以； 因为， 所以______， 所以______ 【迁移应用】 如图③，在一款手推车的平面示意图中 若，，则______； 写出，，之间的数量关系，并说明理由. 【拓展提高】 如图④，，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点P是线段EF上的一点，，MH平分，NH平分，则______ 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、，故该项正确，符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选： 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】B  【解析】解：正方体的体积， ， ， 故选： 根据正方体的体积公式计算，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算即可得解． 本题考查了负整数指数幂的运算，按照幂的运算性质进行计算即可，比较简单，本题要注意科学记数法的表示形式． 4.【答案】D  【解析】解：①明天是晴天，是随机事件； ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数，是随机事件； ③地球绕着太阳转，是必然事件； ④同一平面内三条直线两两相交，交点个数是1个或3个，是随机事件． 所以列事件是必然事件的有1个． 故选： 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5.【答案】D  【解析】解：A、由同位角相等，两直线平行判定，故A不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行判定，故B不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行判定，故C不符合题意； D、由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故D符合题意． 故选： 由平行线的判定方法，即可判断． 本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 6.【答案】B  【解析】解：因为数字2，6，1，9，5中能被3整除的有6和9， 所以从中任意抽出一张，则该卡片上的数字能被3整除的概率是 故选： 根据概率公式计算即可． 本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 7.【答案】C  【解析】解：根据题意得①，②，③， ①+③， ， ， 即 故选： 利用互余得到得①，②，③，然后利用加减消元法求出，，的关系． 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 8.【答案】B  【解析】解：原式…… …… ， 故选： 根据题意列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 9.【答案】4  【解析】解：， ， ， 则 故答案为： 根据同底数幂的乘法运算即可求解． 本题考查同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 10.【答案】答案不唯一  【解析】解：由同位角相等，两直线平行，可以添加条件答案不唯一，使 故答案为：答案不唯一 由平行线的判定方法，即可判断． 本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行． 11.【答案】75  【解析】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， 故答案为： 根据两直线平行，内错角相等可得，是三角形的外角，利用外角的性质即可求得的度数． 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握定理的基本图形是解题的关键． 12.【答案】公平  【解析】解：掷出的点数共有6个，其中奇数有3个，点数是2的倍数有3个， 甲赢的概率，乙赢的概率， ， 这个游戏对甲、乙来说是公平的． 故答案为：公平． 先确定奇数得个数与2的倍数的个数，再计算出甲赢和乙赢的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． 13.【答案】18  【解析】解：， 即毽子的速度约是第三宇宙速度的18倍． 故答案为： 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 14.【答案】5  【解析】解：设需要再向袋中加入x个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 需要再向袋中加入5个白球． 故答案为： 首先设需要再向袋中加入x个白球，根据摸到白球的概率是可得方程，解分式方程即可求得答案． 本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 15.【答案】30  【解析】解：，， ， ， 故答案为： 根据平角的定义，求出的度数，再根据平行线的性质，得到即可． 本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由所给图形可知， 第1个图形中三角形的个数为：； 第2个图形中三角形的个数为：； 第3个图形中三角形的个数为：； …， 所以第n个图形中三角形的个数为个． 故答案为： 根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加6是解题的关键． 17.【答案】见解析．  【解析】解：如图，直线CD即为所求． 作直线CT交AB于点T，在直线CT的下方作，直线CD即为所求． 考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 18.【答案】         【解析】解： 根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可． 根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可． 将式子化为，再利用平方差公式计算即可． 本题考查平方差公式、实数的运算、幂的乘方与积的乘方、整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 19.【答案】，  【解析】解： ， 当，时，原式 根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a的值代入计算即可． 本题考查的是整式的混合运算-化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20.【答案】100、、415；   ；   120；   不一样，因为表格中计算的是命中的频率，“实验频率”与“概率”意义不同，随着实验次数的增加，“实验频率”越来越稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率，因此，重新再投篮500次，得到的结果与原来不一定相同．  【解析】解：，，， 故答案为：100、、415； 根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是， 故答案为：； 根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是次， 故答案为：120； 不一样，因为表格中计算的是命中的频率，“实验频率”与“概率”意义不同，随着实验次数的增加，“实验频率”越来越稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率，因此，重新再投篮500次，得到的结果与原来不一定相同． 根据频率=频数总数求解即可； 利用频率估计概率求解即可； 投篮次数乘以命中概率即可得出答案； 根据“实验频率”与“频率”区别与联系，得出结论． 本题主要考查利用频率估计概率，理解“实验频率”“概率”的意义是得出结论的前提，“概率”是“实验频率”的稳定值． 21.【答案】不可能事件；  ，，；   得不到购物券的概率大．  【解析】解：由题意可得，“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； 故答案为：不可能事件； 转动一次转盘获得50元购物券的概率是， 转动一次转盘获得30元购物券的概率是， 转动一次转盘获得20元购物券的概率是； 得到购物券的概率是，得不到购物券的概率是， ， 得不到购物券的概率大． 根据必然事件、不可能事件和随机事件的定义即可得出答案； 直接利用概率公式即可求得答案； 分别求出得到购物券的概率和得不到购物券的概率，然后判断即可． 此题考查了概率公式和随机事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22.【答案】，理由见解答；     【解析】解：， 理由：， ， ， ； ， ， 平分， ， ， 先利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； 先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 23.【答案】          【解析】解：图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积， 图①和图②中阴影部分的面积相等， ， 故答案为： 原式 ， 故答案为：，， 原式 原式 ， 故答案为： 图①中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图②中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； 利用平方差公式计算即可得； 将式子转化为，再利用平方差公式计算即可得； 利用平方差公式计算，得出一般规律即可得． 本题考查了平方差公式与图形面积、利用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键． 24.【答案】平行于同一条直线的两条直线平行，   两直线平行，内错角相等，   ，   ； 【迁移应用】  130，   数量关系为，理由见解析部分； 【拓展提高】  【解析】【问题解决】 解：如图②，过点B作，过点C作，则， 因为，， 所以， 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以， 因为， 所以， 所以； 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行， 两直线平行，内错角相等， ， ； 【迁移应用】如图③，过G作， ， ， ，. ， ， ， ， ， 故答案为：130； 数量关系为，理由如下： 如图③，过G作， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【拓展提高】 如图④，作，， 平分，NH平分， 令，， 由可得， 同理， ， ， 故答案为： 【问题解决】根据题意，对每个步骤填写结论和依据，即可得到结果， 【迁移应用】仿照示例，作，求出的度数以及，，之间的数量关系； 【拓展提高】参照示例，令，，利用平行线，及角平分线，得到的度数． 本题考查了平行线的判定和性质的应用，涉及到角平分线定义的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$