精品解析：河南平顶山市汝州市2025-2026学年八年级下学期4月期中质量检测数学试卷

2025~2026学年下学期期中质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 2. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有： A、，原不等式不成立，A不符合题意； B、，原不等式不成立，B不符合题意； C、，原不等式成立，C符合题意，正确； D、，原不等式不成立，D不符合题意． 故选：C． 3. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 4. 在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正在向下运动，为了使所有图案消失，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ） A. 顺时针旋转，向右平移 B. 逆时针旋转，向右平移 C. 顺时针旋转，向左平移 D. 逆时针旋转，向左平移 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转和平移，根据旋转的性质，平移的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，为了使所有图案消失，需将小方格体顺时针旋转，向右平移； 故选A． 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【详解】解：A、，解得x≤5，未知数系数为正数，不符合题意； B、，未知数系数为正数，不符合题意； C、-2x≥-10，解得x≤5，符合题意； D、-2x≤-10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 6. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等边三角形的三边都相等 C. 对顶角相等 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】先根据逆命题的定义，交换每个选项中原命题的题设和结论得到逆命题，再结合初中几何和代数知识判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】解：A 、原命题逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形， ∵三个对应角相等的三角形只是形状相同，大小不一定相同，不一定全等， ∴该逆命题是假命题，不符合要求； B 、原命题逆命题为：三边都相等的三角形是等边三角形， ∵等边三角形的定义为三边都相等的三角形， ∴该逆命题是真命题，符合要求； C 、原命题逆命题为：相等的角是对顶角， ∵相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角， ∴该逆命题是假命题，不符合要求； D 、原命题逆命题为：若，则， ∵当时，也满足，不一定有， ∴该逆命题是假命题，不符合要求． 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点B1的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又 ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵ ∴的坐标是，即 故选：A． 8. 校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（ ） A. 线段、的交点 B. 、角平分线的交点 C. 线段、垂直平分线的交点 D. 线段、垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断为D． 【详解】解：如图，、角平分线的交点P，，，，垂足分别为K，L，M，则，即点P到三面墙的距离相等； 故选：B 【点睛】本题考查角平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 9. 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，两点之间线段最短的应用，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 根据平行线的性质得出内错角相等，证明，得出，然后根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：选项D符合题意，利用如下： 如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，且为定值，此时，值最小， 即此时路径最短， 故选：D． 10. 如图，将三角板绕顶点逆时针旋转一个角度得到，若，相交于点，，则旋转角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，则，由可得，则，所以，进而完成解答． 【详解】解：由题意可得：， 根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由可得 ， 解得． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 12. 如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 13. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，函数的图象在x轴下方， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴时，函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为． 14. 如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 【答案】17 【解析】 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 15. 如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则的长为 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，含和含角直角三角形的性质，勾股定理，二弄清线段之间的关系，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．先根据勾股定理求出，进而求出，，证明出，即可求出，，解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式：，并将解集在数轴上表示． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 在数轴上表示为： ． 17. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后写出所有整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为，整数解为． 18. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定．根据角平分线的性质可得，可证明，推出，据此即可证明是的垂直平分线． 【详解】证明：是的角平分线，，， ， 在和中，， ， ， ∵， ∴是的垂直平分线． 19. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，绕点顺时针旋转得到， 的坐标为． 20. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1）甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 （2）购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 【小问2详解】 解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 21. 如图，在中，，，是上一点，且． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图、全等三角形的性质与判定： （1）利用过直线上一点作直线高的方法作图即可； （2）连接，先证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【小问1详解】 解：如解图，即为所求． 【小问2详解】 证明：如解图，连接． 由（1），得． ． ， ． ． 在和中， ， 又 22. 完成下列题目 （1）如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，，且满足点，，三点在同一条直线上，连接，求的长； （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，且满足点，，三点在同一条直线上．若，请猜想，，之间具有怎样的数量关系？并说明理由（提示：可直接使用结论“等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍”）． 【答案】（1）6 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转得到，且，然后证明为等边三角形，根据点、、三点共线，由即可求解； （2）由旋转得，由角度计算得，，故，则． 【小问1详解】 解：绕点逆时针旋转得到， ， ，， ， 是等边三角形， ， ∵点、、三点共线， ， 【小问2详解】 解：；理由如下： 设与相交于点， 由旋转可知，，，， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ． 23. 甲、乙、丙三名同学围绕不等式与一次函数的知识展开讨论： 甲同学：“对于任意实数，都有．” 乙同学：“这不一定，需要对的取值进行分类讨论： 当时，，，所以； 当时，因为，不等式两边同时乘以正数，可得， ……” 甲同学：“哦，原来是这样．” 丙同学提出：“也可以构造一次函数并运用图象比较两个代数式的大小．” （1）补全乙同学关于与大小关系的说理过程． （2）类比乙同学的说理过程，比较代数式与的大小． （3）根据丙同学的想法，比较代数式与的大小．运用一次函数的相关知识，令，，如图将这两个函数图象画在同一个坐标系中，请你直接根据函数图象比较代数式与的大小． 【答案】（1）见解析 （2）当时，；当时，；当时，； （3）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质即可解答； （2）根据不等式的性质即可解答； （3）根据图象交点结合图象位置解答即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴； 当时， ∵，不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变， ∴， 当时， ∵，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ∵，， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，； 【小问3详解】 解：由函数图象可知， 当时，， ∴； 当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴； 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴， 综上，当时，；当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年下学期期中质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 4. 在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正在向下运动，为了使所有图案消失，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ） A. 顺时针旋转，向右平移 B. 逆时针旋转，向右平移 C. 顺时针旋转，向左平移 D. 逆时针旋转，向左平移 5. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等边三角形的三边都相等 C. 对顶角相等 D. 若，则 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点B1的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（ ） A. 线段、的交点 B. 、角平分线的交点 C. 线段、垂直平分线的交点 D. 线段、垂直平分线的交点 9. 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将三角板绕顶点逆时针旋转一个角度得到，若，相交于点，，则旋转角（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为___________度． 12. 如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 13. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 14. 如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 15. 如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则的长为 _________________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式：，并将解集在数轴上表示． 17. 解不等式组：并写出它的所有整数解． 18. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 19. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 20. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 21. 如图，在中，，，是上一点，且． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． （2）求证：． 22. 完成下列题目 （1）如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，，且满足点，，三点在同一条直线上，连接，求的长； （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，且满足点，，三点在同一条直线上．若，请猜想，，之间具有怎样的数量关系？并说明理由（提示：可直接使用结论“等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍”）． 23. 甲、乙、丙三名同学围绕不等式与一次函数的知识展开讨论： 甲同学：“对于任意实数，都有．” 乙同学：“这不一定，需要对的取值进行分类讨论： 当时，，，所以； 当时，因为，不等式两边同时乘以正数，可得， ……” 甲同学：“哦，原来是这样．” 丙同学提出：“也可以构造一次函数并运用图象比较两个代数式的大小．” （1）补全乙同学关于与大小关系的说理过程． （2）类比乙同学的说理过程，比较代数式与的大小． （3）根据丙同学的想法，比较代数式与的大小．运用一次函数的相关知识，令，，如图将这两个函数图象画在同一个坐标系中，请你直接根据函数图象比较代数式与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $