精品解析：河南省平顶山市汝州市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试卷

2024~2025学年下学期期中质量检测八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，如果要从甲到乙，可经过的变化正确的是（　　） A. 轴对称、平移 B. 平移、轴对称 C. 旋转、轴对称 D. 平移、旋转 4. 下列定理中，没有逆定理的是（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 若三角形三边长（其中）满足，则该三角形是直角三角形 5. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，可以先假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）． A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “的3倍与的差小于零”用不等式表示为________． 12. 如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 13. 如图，在中，，，平分交于点，，垂足为.若，则的长为_________. 14. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 15. 如图，在中，是斜边上的两点，且，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则有下列结论：①；②；③连接，则垂直平分；④设中边上的高为，则．其中正确的是___________．（填入所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 17. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 18. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 19. 等边中，D、E是、上的点，，与相交于点Q，．求证： （1）； （2）． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 21. 已知：如图，在中，是的角平分线，，当时，求证：是等边三角形． 22. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 23. 在等腰直角三角形中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． [尝试发现] （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为____________； [类比探究] （2）当点在线段的延长线上时，先在图（2）中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； [联系拓广] （3）若，请直接写出的值为____________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年下学期期中质量检测八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可. 【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 如果，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，故A不符合题意； 、，，故B不符合题意； 、，，，故C不符合题意； 、，，故D符合题意； 故选：D． 3. 如图，如果要从甲到乙，可经过的变化正确的是（　　） A. 轴对称、平移 B. 平移、轴对称 C. 旋转、轴对称 D. 平移、旋转 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，根据常见几何变换的特征即可解决问题．熟知常见几何变换的特征是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 将甲图形先平移，再旋转可得到乙图形或将甲图形先旋转，再平移可得到乙图形 只有D选项符合题意． 故选：D． 4. 下列定理中，没有逆定理的是（　　） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 若三角形三边长（其中）满足，则该三角形是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，直角三角形的性质，勾股定理． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，该说法错误，故A符合题意； B、直角三角形的两锐角互余的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，该说法正确，故B不符合题意； C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形是等腰三角形，该说法正确，故C不符合题意； D、若三角形三边长（其中）满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为直角三角形三边长，，（其中，那么，该说法正确，故D不符合题意． 故选：A． 5. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，可以先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B+∠C，则∠A＞90°”时，应先假设∠A≤90°． 故选B． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用图象法进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，直线在直线的上方，即：， ∴不等式的解集是； 故选C． 【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．正确的识图，是解题的关键． 7. 如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）． A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 9. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3， ∴周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “的3倍与的差小于零”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 首先表示“的3倍与的差”，再表示“小于 0”即可． 【详解】解：的3倍与的差小于零，用不等式表示为：， 故答案为：． 12. 如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 【答案】(4，3) 【解析】 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3)， 故答案为：(4，3). 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系. 13. 如图，在中，，，平分交于点，，垂足为.若，则的长为_________. 【答案】2＋##＋2 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，则∠DFC＝90°，由30°角直角三角形的性质可得BD＝2DE＝2，由角平分线的性质可得DF＝DE＝1，可证△CDF是等腰直角三角形，FC＝DF＝1，由勾股定理得CD＝，即可得到BC的长． 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，则∠DFC＝90°， ∵， ∴∠BED＝90°， ∵，， ∴BD＝2DE＝2， ∵平分交于点，，， ∴DF＝DE＝1， ∵， ∴∠FDC＝90°－∠C＝45°， ∴FC＝DF＝1， ∴CD＝， ∴BC＝BD＋CD＝2＋， 故答案为：2＋ 【点睛】此题考查了角平分线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 14. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 15. 如图，在中，是斜边上的两点，且，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则有下列结论：①；②；③连接，则垂直平分；④设中边上的高为，则．其中正确的是___________．（填入所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据旋转可得，，，结合，得出．证出，得出①正确；得出．即可得，故②错误；根据，，得出垂直平分，故③正确；根据，得出，得出中边上的高与中边上的高相等，为，结合，得出中边上的高等于，即，故④正确． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴，，，， ∵， ∴． 又， ∴，故①正确； ∴． ∴，故②错误； ∵，， ∴垂直平分，故③正确； ∵， ∴， ∴中边上的高与中边上的高相等，为， ∵， ∴，中边上的高等于， ∴，故④正确； ∴正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集．去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 17. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【小问1详解】 解：解不等式①得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解不等式②得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在数轴上表示如下： 【小问4详解】 解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 18. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：等腰直角如图所示： 19. 等边中，D、E是、上的点，，与相交于点Q，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合三角形全等的判定定理证明即可． （2）根据全等三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，证明即可． 【小问1详解】 证明：∵等边， ∴，, ∵， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)画图见解析；（2）画图见解析；（3）(0，－2) 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标． 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2即为所求； （3）旋转中心坐标（0，﹣2）． 作图－旋转变换；作图－平移变换． 【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 21. 已知：如图，在中，是的角平分线，，当时，求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】作于点E，作于点F，利用角平分线的性质定理，易证，得到，即可证明结论． 【详解】证明：如图，作于点E，作于点F， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 22. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 （2）至少种植甲作物5亩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； 【小问2详解】 解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 23. 在等腰直角三角形中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． [尝试发现] （1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为____________； [类比探究] （2）当点在线段的延长线上时，先在图（2）中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； [联系拓广] （3）若，请直接写出的值为____________ 【答案】（1）；（2）见详解，，见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）补全图形如图： ， 理由如下： 过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得， ， ； 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得， ， ， ， 综上，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $