精品解析：黑龙江鸡西市部分学校2025-2026学年下学期期中 八年级数学试卷

2025-2026年八年级下学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分24分） 1. 下列为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各组数据为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 8，10，12 D. 7，15，17 3. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 1 5. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 3.2 C. 3.6 D. 4 7. 如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结．下列结论中，正确的结论有（ ）． ①；②；③；④ A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（每题3分，满分24分） 9. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 10. 比较大小：________． 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 13. 定义新运算“*”，若，则的值为_______． 14. 如图1是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙的距离为，点和点距离窗台为都是，则的长是_______． 15. 平行四边形中，平分交直线于点，若，，则的长为_______． 16. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2026次旋转后，顶点的坐标为_______． 三、解答题（满分72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，，，，又已知，求这块土地的面积． 20. 已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 21. 如图，是平行四边形的边的中点，延长交的延长线于点．，求的长． 22. 如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． （1）________，________；（用含t的代数式表示） （2）当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 23. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图正方形网格（每个小正方形的边长为）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积___________． （2）【拓展运用】 ①在图中，设轴，轴，于点，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式； ②图中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：___________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，是轴的正半轴上一点，点、分别在轴的负半轴上和正半轴上，、、的长满足，过点作直线的垂线，交于点． （1）求出点、、的坐标； （2）求线段的长； （3）在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级下学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分24分） 1. 下列为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的判定条件，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 对选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 对选项C：的被开方数既不含分母，也不含能开得尽方的因式，满足条件，是最简二次根式，符合题意． 对选项D：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 2. 下面各组数据为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 8，10，12 D. 7，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据题意逐一对选项按照进行计算，即可得到本题答案． 【详解】解：A选项，，故不符合题意， B选项，，能构成直角三角形，故符合题意， C选项，，故不符合题意， D选项，，故不符合题意， 故选：B． 3. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答． 【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方， ， 正方形、的面积分别为、， 最大正方形的面积， 故选：B． 4. 实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴、绝对值与二次根式的化简，解题的关键是根据数轴判断与的符号，再利用绝对值和二次根式的性质进行化简． 根据数轴可知，由此判断，，再根据绝对值和的性质化简式子，最后合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，， ，． ∴ 故选：． 5. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 6. 如图，在中，过点A分别作的垂线段，垂足为E，F，若，，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 3.2 C. 3.6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，由平行四边形的性质得，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 7. 如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，根据证明，得，，得到是的中位线，推出，即可得到的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结．下列结论中，正确的结论有（ ）． ①；②；③；④ A. ①③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用. 由等腰三角形的性质得到，，证明≌，即可判断①；由≌得到，进而证明，即可判断③；由勾股定理得到，，即可判断④；无法证明与相等，即可判断②． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴≌， ∴，①正确； ∵≌， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故③正确； 在中，， 在中，， ∴． 在中， ， 在中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵≌， ∴， ∵与相等无法证明， ∴不一定成立，故②错误； 故选． 二、填空题（每题3分，满分24分） 9. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 10. 比较大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数比较大小，平方后结果更大的原数也更大，分别计算两个数的平方，比较平方结果即可得到原数的大小关系. 【详解】解∵，，， . 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 【答案】AB=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）． 还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 13. 定义新运算“*”，若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴. 14. 如图1是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙的距离为，点和点距离窗台为都是，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 取的中点，由题意可知：，，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】取的中点，由题意可知：，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 15. 平行四边形中，平分交直线于点，若，，则的长为_______． 【答案】4或8 【解析】 【分析】分E点在线段上和在延长线上两种情况讨论，根据平行四边形性质以及角平分线的定义，推出即可求解． 【详解】解：当E点在线段上时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 当E点在延长线上时，如图， 同理可求出； 综上， 的长为4或8 16. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2026次旋转后，顶点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，根据正六边形每次旋转，旋转4次为一个周期可知，正六边形旋转了506个周期，经过2026次旋转后，点落在第三象限，根据旋转后的坐标变换规律即可求解． 【详解】解:在正六边形中，, ， 在中，， ， 点的坐标为， 正六边形关于直线对称， 点的坐标为， 余1， 正六边形经过2026次旋转后，相当于旋转了506个周期加2次，即逆时针旋转两次， 点的坐标为． 三、解答题（满分72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合与运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴原式． 19. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，，，，又已知，求这块土地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答． 【详解】解：连接BD， ， 则，因此， 平方米． 【点睛】此题考查勾股定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成运用勾股定理解直角三角形的问题再解答． 20. 已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论． 【详解】证明：∵在四边形中，F、G分别是的中点． ∴是的中位线， ∴． 同理推知，是的中位线， 则． 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，是平行四边形的边的中点，延长交的延长线于点．，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵是平行四边形的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． （1）________，________；（用含t的代数式表示） （2）当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】（1）， （2）15秒 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据动点M的速度为，动点N的速度为，设运动时间为，根据平行四边形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵动点M的速度为，动点N的速度为， 设运动时间为， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． 故运动时，四边形是平行四边形． 23. 在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图． （1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】请在图正方形网格（每个小正方形的边长为）内， ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积___________． （2）【拓展运用】 ①在图中，设轴，轴，于点，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式； ②图中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，则的最小值为___________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：___________． 【答案】（1）（）①画图见解析；② （2）①，；②；③ 【解析】 【分析】（）①根据题意画出三角形即可；②利用割补法计算即可； （）①根据题意和坐标系写出答案即可；②作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点，可得，即得是的最小值，再利用两点间的距离公式计算即可；③由得表示点到点的距离与点到点和点到的距离之和，可知当点共线时，距离之和最小，最小值为线段的长，利用两点间的距离公式求出即可； 本题考查了平面直角坐标系内任意两点间的距离公式及其应用，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； ②， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意得，，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：； ③∵， ∴表示点到点的距离与点到点和点到的距离之和， 由图可知，当点共线时，距离之和最小，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，是轴的正半轴上一点，点、分别在轴的负半轴上和正半轴上，、、的长满足，过点作直线的垂线，交于点． （1）求出点、、的坐标； （2）求线段的长； （3）在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）12 （3）存在，点的坐标为，， 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，平等四边形的性质等知识： （1）根据非负数的性质可求出的长，从而确定点、、的坐标； （2）先求出和的长，再根据面积关系可求出； （3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，结合中点坐标公式求解即可 【小问1详解】 解：∵，且 ∴ ∴ ∵A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴, 又 ∴； 【小问3详解】 解：存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形 设点， 当为对角线时，的中点与的中点重合， ∵，，， ∴的中点坐标为，即， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，的中点与的中点重合， ∵，，， ∴的中点坐标为，即， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，的中点与的中点重合， ∵，，， ∴的中点坐标为，即， ∴， ∴， ∴； 综上，存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，此时点的坐标为，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $